Symetrický polynom mocninného součtu - Power sum symmetric polynomial
v matematika, konkrétně v komutativní algebra, mocninový součet symetrických polynomů jsou typem základního stavebního bloku pro symetrické polynomy, v tom smyslu, že každý symetrický polynom s racionálními koeficienty lze vyjádřit jako součet a rozdíl součinů symetrických polynomů součtu výkonů s racionálními koeficienty. Ne každý symetrický polynom s integrálními koeficienty je však generován integrálními kombinacemi součinů polynomů součtu výkonů: jsou generující množinou přes racionální, ale ne přes celá čísla.
Definice
Síla součet symetrický polynom stupně k v proměnné X1, ..., Xn, psaný pk pro k = 0, 1, 2, ..., je součet všech kth pravomoci proměnných. Formálně,
Prvních několik z těchto polynomů je
Tedy pro každé nezáporné celé číslo existuje přesně jeden symetrický polynom stupně výkonu v proměnné.
The polynomiální kruh vytvořený převzetím všech integrálních lineárních kombinací součinů mocninných symetrických polynomů je a komutativní prsten.
Příklady
Následující seznam uvádí výkonový součet symetrické polynomy kladných stupňů až n pro první tři kladné hodnoty V každém případě je jedním z polynomů. Seznam se stupňuje n protože součet výkonů symetrické polynomy stupňů 1 až n jsou základní ve smyslu hlavní věty uvedené níže.
Pro n = 1:
Pro n = 2:
Pro n = 3:
Vlastnosti
Sada symetrických polynomů součtu výkonů stupňů 1, 2, ..., n v n proměnné generuje the prsten z symetrické polynomy v n proměnné. Konkrétněji:
- Teorém. Kruh symetrických polynomů s racionálními koeficienty se rovná racionálnímu polynomickému kruhu Totéž platí, pokud jsou koeficienty zohledněny v libovolném pole jehož charakteristika je 0.
To však není pravda, pokud musí být koeficienty celá čísla. Například pro n = 2, symetrický polynom
má výraz
což zahrnuje zlomky. Podle věty je to jediný způsob, jak reprezentovat ve smyslu p1 a p2. Proto, P nepatří do integrálního polynomiálního kruhu Pro další příklad, elementární symetrické polynomy Ek, vyjádřené jako polynomy v polynomech součtového výkonu, ne všechny mají integrální koeficienty. Například,
Věta je také nepravdivá, pokud má pole jinou charakteristiku než 0. Například pokud pole F má tedy charakteristiku 2 , tak p1 a p2 nelze generovat E2 = X1X2.
Náčrt dílčího důkazu věty: Podle Newtonovy identity výkonové součty jsou funkce elementárních symetrických polynomů; z toho vyplývá následující relace opakování, ačkoli explicitní funkce, která dává výkonové součty ve smyslu Ej je komplikované:
Při přepisování stejného opakování má člověk elementární symetrické polynomy, pokud jde o výkonové součty (také implicitně, explicitní vzorec je komplikovaný):
To znamená, že elementární polynomy jsou racionální, i když ne integrální, lineární kombinace polynomů součtu výkonů stupňů 1, ..., n. Protože základní symetrické polynomy jsou algebraickým základem pro všechny symetrické polynomy s koeficienty v poli, vyplývá z toho, že každý symetrický polynom v n proměnné je polynomiální funkce symetrických polynomů součtu výkonů p1, ..., pn. To znamená, že kruh symetrických polynomů je obsažen v kruhu generovaném silovými součty, Protože každý polynom mocninového součtu je symetrický, jsou si oba kroužky stejné.
(To neukazuje, jak dokázat polynom F je jedinečný.)
Pro další systém symetrických polynomů s podobnými vlastnostmi viz kompletní homogenní symetrické polynomy.
Reference
- Macdonald, I.G. (1979), Symetrické funkce a Hallovy polynomy. Oxfordské matematické monografie. Oxford: Clarendon Press.
- Macdonald, I.G. (1995), Symetrické funkce a Hallovy polynomy, druhé vydání. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0 (brožovaný výtisk, 1998).
- Richard P. Stanley (1999), Enumerativní kombinatorika, Sv. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1