F-krystal - F-crystal

Pro F-krystaly, kde F je kategorie vláken, viz krystal (matematika).

v algebraická geometrie, F-krystaly jsou objekty zavedené Mazur (1972) které zachycují část struktury krystalická kohomologie skupiny. Dopis F znamená Frobenius, což naznačuje F-krystaly mají na sebe účinek Frobenia. F-isokrystaly jsou krystaly "až do isogeny".

F-krystaly a F-isokrystaly nad dokonalými poli

Předpokládejme to k je perfektní pole, s kroužkem Wittovy vektory Ž a nechte K. být pole kvocientu Ž, s Frobenius automorphism σ.

Přes pole k, an F-crystal je bezplatný modul M konečné pozice nad prstenem Ž Wittových vektorů k, společně s σ-lineárním injektivním endomorfismem M. An F-isokrystal je definován stejným způsobem, kromě toho M je modul pro pole kvocientu K. z Ž spíše než Ž.

Teorém klasifikace Dieudonné – Manin

Teorém klasifikace Dieudonné – Manin byl prokázán Dieudonné (1955) a Manin (1963). Popisuje strukturu F-isokrystaly nad algebraicky uzavřeným polem k. Kategorie takových F-isocrystals je abelian a semi-jednoduchý, takže každý F-isocrystal je přímý součet jednoduchých F-isokrystaly. Jednoduché F-izokrystaly jsou moduly Es/r kde r a s jsou coprime celá čísla s r> 0. The F-isokrystal Es/r má základ nad K. formuláře proti, F v, F2proti,...,Fr−1proti pro nějaký prvek proti, a Frproti = strsproti. Racionální číslo s/r se nazývá sklon F-isokrystal.

Přes nealgebraicky uzavřené pole k jednoduché F-isokrystaly je těžší popsat explicitně, ale F-isokrystal lze stále psát jako přímý součet subkrystalů, které jsou izoklinické, kde an F-krystal se nazývá izoklinický, pokud přes algebraické uzavření k je to součet F-isokrystaly se stejným sklonem.

Newtonův mnohoúhelník F-isokrystal

Newtonův mnohoúhelník F-isokrystal kóduje rozměry kousků daného sklonu. Pokud F-isokrystal je součet izoklinických kusů se svahy s1 < s2 <... a rozměry (jako Wittovy kruhové moduly) d1, d2, ... pak Newtonův polygon má vrcholy (0,0), (X1, y1), (X2, y2),... Kde nten úsečka spojující vrcholy má sklon sn = (yn−yn−1)/(Xn−Xn−1) a projekce na X- osa délky dn = Xn − Xn−1.

Hodgeův mnohoúhelník F-krystal

Hodgeův mnohoúhelník F-krystal M kóduje strukturu M/FM považován za modul přes Wittův prsten. Přesněji řečeno, protože Wittův prsten je hlavní ideální doménou, modul M/FM lze zapsat jako přímý součet nerozložitelných modulů délek n1 ≤ n2 ≤ ... a Hodgeův polygon má potom vrcholy (0,0), (1,n1), (2,n1+ n2), ...

Zatímco Newtonův mnohoúhelník F-krystal závisí pouze na odpovídajícím isokrystalu, je možné i pro dva F-krystaly odpovídající tomu samému F-isokrystal, který má různé Hodgeovy polygony. Hodgeův polygon má hrany s celočíselnými svahy, zatímco Newtonův polygon má hrany s racionálními svahy.

Isocrystals přes obecnější schémata

Předpokládejme to A je kompletní diskrétní oceňovací kruh z charakteristický 0 s pole kvocientu k charakteristické str> 0 a perfektní. Afinní rozšíření systému X0 přes k sestává z torze A-algebra B a ideál Já z B takhle B je kompletní v Já topologie a obraz Já je nilpotentní v B/pB, spolu s morfismem ze Spec (B/Já) až X0. Konvergentní isokrystal nad a k-systém X0 sestává z a modul přes B⊗Q pro každé afinní zvětšení B který je kompatibilní s mapami mezi afinními zvětšeními (Faltings 1990 ).

An F-isokrystal (zkratka pro Frobenius isocrystal) je isokrystal spolu s izomorfismem k jeho zpětnému rázu pod Frobeniově morfismem.

Reference

  • Berthelot, Pierre; Ogusi, Artur (1983), "F-isocrystals and de Rham cohomology. I", Inventiones Mathematicae, 72 (2): 159–199, doi:10.1007 / BF01389319, ISSN  0020-9910, PAN  0700767
  • Crew, Richard (1987), „F-isokrystaly a p-adické reprezentace“, Algebraická geometrie, Bowdoin, 1985 (Brunswick, Maine, 1985), Proc. Symposy. Čistá matematika., 46„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 111–138, doi:10.1090 / pspum / 046.2 / 927977, ISBN  9780821814802, PAN  0927977
  • de Shalit, Ehud (2012), F-isokrystaly (PDF)
  • Dieudonné, Jean (1955), „Lieovy skupiny a Lieovy hyperalgebry nad polem charakteristické p> 0. IV“, American Journal of Mathematics, 77 (3): 429–452, doi:10.2307/2372633, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372633, PAN  0071718
  • Faltings, Gerd (1990), „F-isokrystaly na otevřených odrůdách: výsledky a domněnky“, Grothendieck Festschrift, sv. II, Progr. Matematika., 87, Boston, MA: Birkhäuser Boston, s. 219–248, PAN  1106900
  • Grothendieck, A. (1966), Dopis J. Tateovi (PDF).
  • Manin, Ju. I. (1963), „Teorie komutativních formálních skupin nad poli konečné charakteristiky“, Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk, 18 (6): 3–90, doi:10.1070 / RM1963v018n06ABEH001142, ISSN  0042-1316, PAN  0157972
  • Mazur, B. (1972), „Frobeniova a Hodgeova filtrace“, Býk. Amer. Matematika. Soc., 78 (5): 653–667, doi:10.1090 / S0002-9904-1972-12976-8, PAN  0330169
  • Ogusi, Artur (1984), "F-isocrystals and de Rham cohomology. II. Convergent isocrystals", Duke Mathematical Journal, 51 (4): 765–850, doi:10.1215 / S0012-7094-84-05136-6, ISSN  0012-7094, PAN  0771383