Důkaz kontrapozitivním - Proof by contrapositive
v logika, kontrapozitivní a podmiňovací způsob výrok je tvořen negací obou termínů a obrácením směru závěru. Přesněji řečeno kontrapozitivem výroku „pokud A, pak B„je“, pokud ne Bpak ne A"Výrok a jeho kontrapozitiv jsou logicky ekvivalentní v tom smyslu, že pokud je tvrzení pravdivé, pak je jeho kontrapozitiv pravdivý a naopak.[1]
v matematika, důkaz kontrapozitivní, nebo důkaz kontrapozicí, je a pravidlo závěru použito v důkazy, kde lze odvodit podmíněné tvrzení z jeho kontrapozitu.[2] Jinými slovy, závěr „pokud A, pak B„je odvozeno vytvořením dokladu o nároku“, pokud ne Bpak ne A"místo toho. Tento přístup je častěji upřednostňován, pokud je kontrapozitiv snazší dokázat než původní podmíněné tvrzení samotné."[3]
Logicky lze platnost důkazu kontrapozitivním způsobem prokázat použitím následujícího pravdivostní tabulka, kde je prokázáno, že str → q a q → str sdílet stejné hodnoty pravdy ve všech scénářích:
str | q | str | q | str → q | q → str |
---|---|---|---|---|---|
T | T | F | F | T | T |
T | F | F | T | F | F |
F | T | T | F | T | T |
F | F | T | T | T | T |
Příklad
Nechat X být celé číslo.
- Dokázat: Li X2 je tedy vyrovnaný X je sudý.
Ačkoli přímý důkaz lze dát, rozhodli jsme se prokázat toto tvrzení kontrapozicí. Kontrapositivem výše uvedeného tvrzení je:
- Li X tedy ani není X2 není.
Toto druhé tvrzení lze prokázat následovně: Předpokládejme, že X tedy ani není X je zvláštní. Součin dvou lichých čísel je proto lichý X2 = X·X je zvláštní. Tím pádem X2 není.
Poté, co jsme dokázali kontrapozitivitu, můžeme odvodit, že původní tvrzení je pravdivé.[4]
Viz také
- Kontrapozice
- Modus tollens
- Reductio ad absurdum
- Důkaz rozporem: vztah k jiným důkazním technikám.
Reference
- ^ Sheldon, Frederick. „Formuláře podmíněného prohlášení“. www.csm.ornl.gov. Citováno 2019-10-26.
- ^ Cusick, Larry. „Důkazy Contrapositive“. zimmer.csufresno.edu. Citováno 2019-10-26.
- ^ „Definitivní glosář vyššího matematického žargonu - kontrapozitivní“. Matematický trezor. 2019-08-01. Citováno 2019-10-26.
- ^ Franklin, J.; A. Daoud (2011). Důkaz z matematiky: Úvod. Sydney: Knihy Kew. ISBN 0-646-54509-4. (str. 50).