Gilliesova domněnka - Gillies conjecture - Wikipedia

tento článek vyžaduje pozornost odborníka na toto téma. Specifický problém je: Musí být zkontrolován editorem s pokročilými znalostmi matematiky. Při umisťování této značky zvažte přidružení této žádosti s WikiProject. (Leden 2014)

v teorie čísel, Gilliesova domněnka je dohad o rozdělení hlavních dělitelů Mersennova čísla a byl vytvořen Donald B.Gillies v dokumentu z roku 1964^[1] ve kterém také oznámil objev tří nových Mersenne připraví. Domněnka je specializací věta o prvočísle a je zdokonalením dohadů kvůli I. J. Dobrý^[2] a Daniel Shanks.^[3] Domněnka zůstává otevřeným problémem: několik článků poskytuje empirickou podporu, ale nesouhlasí s široce přijímaným (ale také otevřeným) Lenstra – Pomerance – Wagstaffova domněnka.

Domněnka

${ displaystyle { text {If}}}$${ displaystyle A$

${ displaystyle { text {v intervalu}} [A, B] { text {je Poissonovo distribuováno s}}}$

${ displaystyle { text {mean}} sim { begin {cases} log ( log B / log A) & { text {if}} A geq 2p log ( log B / log 2p) & { text {if}} A <2p end {cases}}}$

Poznamenal, že jeho domněnka by to naznačovala

1. Počet Mersenne připraví méně než ${ displaystyle x}$ je ${ displaystyle ~ { frac {2} { log 2}} log log x}$.
2. Očekávaný počet Mersennových prvočísel ${ displaystyle M_ {p}}$ s ${ Displaystyle x leq p leq 2x}$ je ${ displaystyle sim 2}$.
3. Pravděpodobnost, že ${ displaystyle M_ {p}}$ je hlavní je ${ displaystyle ~ { frac {2 log 2p} {p log 2}}}$.

Neslučitelnost s domněnkou Lenstra – Pomerance – Wagstaff

The Lenstra – Pomerance – Wagstaffova domněnka dává různé hodnoty:^[4][5]

1. Počet Mersenne připraví méně než ${ displaystyle x}$ je ${ displaystyle ~ { frac {e ^ { gamma}} { log 2}} log log x}$.
2. Očekávaný počet Mersennových prvočísel ${ displaystyle M_ {p}}$ s ${ Displaystyle x leq p leq 2x}$ je ${ displaystyle sim e ^ { gamma}}$.
3. Pravděpodobnost, že ${ displaystyle M_ {p}}$ je hlavní je ${ displaystyle ~ { frac {e ^ { gamma} log ap} {p log 2}}}$ s A = 2 pokud p = 3 mod 4 a 6 jinak.

Asymptoticky jsou tyto hodnoty asi o 11% menší.

Výsledek

Zatímco Gillieho domněnka zůstává otevřená, několik článků přidalo k jeho platnosti empirickou podporu, včetně Ehrmanova článku z roku 1964.^[6]

Poznámky