Formální zákony - Laws of Form

Formální zákony (dále LoF) je kniha od G. Spencer-Brown, publikovaný v roce 1969, který překračuje hranici mezi matematika a filozofie. LoF popisuje tři odlišné logické systémy:

• "Primární aritmetika" (popsaná v kapitole 4 kapitoly 4) LoF), jehož modely zahrnují Booleova aritmetika;
• Primární algebra "(Kapitola 6 LoF), jehož modely patří dvouprvková booleovská algebra (dále zkráceně 2), Logická logika a klasický výrokový kalkul;
• „Rovnice druhého stupně“ (kapitola 11), jejichž interpretace zahrnout konečné automaty a Alonzo Church Omezená rekurzivní aritmetika (RRA).

„Boundary algebra“ je Meguireova (2011)^[1] termín pro spojení primární algebry a primární aritmetiky. Formální zákony někdy volně odkazuje na „primární algebru“ i na LoF.

Kniha

Tato sekce potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. (Listopadu 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Předmluva uvádí, že práce byla poprvé prozkoumána v roce 1959, a Spencer Brown uvádí Bertrand Russell jako podporu jeho úsilí. Také děkuje J. C. P. Miller z University College v Londýně za pomoc s korekturou a za poskytnutí dalších pokynů. V roce 1963 byl Spencer Brown pozván Harry Frost, odborný asistent v oboru přírodních věd na katedře mimomurálních studií University of London absolvovat kurz matematiky logiky.

LoF vycházel z práce v elektronickém inženýrství, kterou její autor provedl kolem roku 1960, az následných přednášek matematická logika dal pod záštitou University of London rozšiřující program. LoF se objevil v několika vydáních. Druhá série vydání se objevila v roce 1972 „Předmluvou k prvnímu americkému vydání“, která zdůrazňovala použití sebereferenčních paradoxů.^[2] nejnovější je německý překlad z roku 1997 a nikdy nevyšel z tisku.

Matematika vyplňuje jen asi 55 procentních bodů a je poněkud základní.^{[původní výzkum? ]} Ale LoF 'mystická a deklamativní próza a její láska k paradox, ať je to náročné čtení pro všechny. Spencer-Brown byl ovlivněn Wittgenstein a R. D. Laing. LoF také odráží řadu témat ze spisů Charles Sanders Peirce, Bertrand Russell, a Alfred North Whitehead.

Celá kniha je napsána operativně a dává čtenáři pokyny, místo aby mu říkala, co „je“. V souladu se zájmem G. Spencer-Browna o paradoxy je jedinou větou, která činí prohlášení, že něco je, prohlášení, které říká, že v této knize nejsou žádná taková prohlášení použita.^[3] Kromě této jedné věty lze knihu považovat za příklad E-Prime.

Recepce

Zdánlivě dílo formální matematiky a filozofie, LoF se stalo něčím z kultovní klasika: pochválil ji Heinz von Foerster když to zkontroloval pro Katalog celé Země.^[4] Ti, kteří souhlasí, poukazují na LoF jako ztělesnění záhadné "matematiky" vědomí ", jeho algebraická symbolika zachycující (snad i" "") implicitní kořen poznání: schopnost „rozlišovat“. LoF tvrdí, že primární algebra odhaluje nápadné souvislosti mezi logika, Booleova algebra a aritmetika a filozofie jazyka a mysl.

Banaschewski (1977)^[5] tvrdí, že primární algebra není nic jiného než nový zápis booleovské algebry. Opravdu dvouprvková booleovská algebra 2 lze chápat jako zamýšlenou interpretaci primární algebry. Přesto zápis primární algebry:

• Plně využívá dualita charakterizující nejen Booleovy algebry ale všichni mříže;
• Zdůrazňuje, jak syntakticky odlišné příkazy v logice a 2 může mít stejné sémantika;
• Dramaticky zjednodušuje výpočty booleovské algebry a důkazy sentenciální a sylogistické logika.

Kromě toho lze syntaxi primární algebry rozšířit i na jiné formální systémy než 2 a sentenciální logiku, což vede k hraniční matematice (viz Související práce níže).

LoF ovlivnil mimo jiné Heinz von Foerster, Louis Kauffman, Niklas Luhmann, Humberto Maturana, Francisco Varela a William Bricken. Někteří z těchto autorů upravili primární algebru mnoha zajímavými způsoby.

LoF tvrdil, že některé známé velmi dlouhé matematické dohady, jako například Věta o čtyřech barvách, Fermatova poslední věta a Goldbachova domněnka, jsou prokazatelné pomocí rozšíření primární algebry. Spencer-Brown nakonec rozeslal domnělý důkaz věty o čtyřech barvách, ale setkal se se skepticismem.^[6]

Formulář (kapitola 1)

Symbol:

Také se jí říká „značka“ nebo „kříž“, což je základní rys formálních zákonů. V nenapodobitelném a záhadném módu Spencer-Browna symbolizuje Mark kořen poznání, tj dualistické Značka označuje schopnost odlišit „toto“ od „všeho ostatního ale tento".

v LoF„Kříž označuje kresbu„ vyznamenání “a lze jej považovat za označení všech najednou:

• Akt kolem něčeho ohraničuje hranice, čímž ji odděluje od všeho ostatního;
• To, co se odlišuje od všeho nakreslením hranice;
• Přechod z jedné strany hranice na druhou.

Všechny tři způsoby znamenají akci ze strany kognitivní entity (např. Osoby), která rozlišuje. Tak jako LoF říká:

"První příkaz:

• Rozlišujte

lze vyjádřit takovými způsoby, jako jsou:

• Nechť je rozdíl,
• Najděte rozdíl,
• Vidět rozdíl,
• Popište rozdíl,
• Definujte rozdíl,

Nebo:

• Nechte rozlišit rozdíl. “(LoF, Poznámky ke kapitole 2)

Kontrapunktem ke Marked stavu je Unmarked state, což je prostě nic, prázdnota nebo nevyslovitelný nekonečno reprezentovaný mezerou. Je to prostě absence kříže. Nerozlišuje se a nic nebylo překročeno. Označený stav a prázdnota jsou dvě primitivní hodnoty zákonů formy.

Kříž lze chápat tak, že označuje rozdíl mezi dvěma státy, jedním „považovaným za symbol“ a druhým ne považovaným. Z této skutečnosti vyvstává zvědavá rezonance s některými teoriemi vědomí a Jazyk. Paradoxně je forma okamžitě pozorovatelem a pozorovatelem a je také tvůrčím aktem provádění pozorování. LoF (kromě zadní hmoty) se uzavírá slovy:

... první rozlišení, značka a pozorovatel jsou nejen zaměnitelné, ale ve své podobě stejné.

C. S. Peirce dospěl k souvisejícímu vhledu v 90. letech 19. století; vidět § Související práce.

Primární aritmetika (kapitola 4)

The syntax primární aritmetiky jde následovně. Jsou jen dva atomové výrazy:

• Prázdný kříž ;
• Celá nebo část prázdné stránky („neplatnost“).

Existují dvě indukční pravidla:

• Přes mohou být zapsány jakýmkoli výrazem;
• Jakékoli dva výrazy mohou být zřetězené.

The sémantika primární aritmetiky nejsou snad nic víc než jediný explicitní výraz definice v LoF: "Rozlišování je dokonalá kontinence".

Nechte „neoznačený stav“ být synonymem pro neplatnost. Prázdný kříž označuje „označený stav“. Kříž je přechod z jedné hodnoty, neoznačeného nebo označeného stavu, na druhou. Nyní můžeme uvést „aritmetické“ axiomy A1 a A2, které zakládají primární aritmetiku (a tedy všechny zákony formy):

„A1. Zákon o volání“. Volání dvakrát ze stavu je nerozeznatelné od volání jednou. Dvakrát rozlišovat má stejný účinek jako jednou rozlišovat. Například vyslovení slova „Budiž světlo“ a následného opakování „Nechť je světlo“ je stejné, jako když to řeknete jednou. Formálně:

${ displaystyle =}$

„A2. Zákon o křížení“. Po přechodu z neoznačeného do označeného stavu se opětovným přejetím („překřížením“) počínaje od označeného stavu vrátí jeden do neoznačeného stavu. Proto opakované křížení anuluje křížení. Formálně:

${ displaystyle =}$

V A1 i A2 má výraz napravo od '=' méně symbolů než výraz nalevo od '='. To naznačuje, že každý primární aritmetický výraz může být opakovanou aplikací A1 a A2 zjednodušený do jednoho ze dvou stavů: označeného nebo neoznačeného stavu. Je tomu skutečně tak a výsledkem je „zjednodušení“ výrazu. Dva základní metatefory primárního aritmetického stavu, které:

• Každý konečný výraz má jedinečné zjednodušení. (T3 v LoF);
• Počínaje počátečním označeným nebo neoznačeným stavem nemůže „komplikování“ výrazu konečným počtem opakovaných aplikací A1 a A2 přinést výraz, jehož zjednodušení se liší od počátečního stavu. (T4 v LoF).

Tak vztah z logická ekvivalence oddíly všechny primární aritmetické výrazy do dvou třídy ekvivalence: ty, které zjednodušují kříž, a ty, které zjednodušují prázdnotu.

A1 a A2 mají volné analogie ve vlastnostech sériových a paralelních elektrických obvodů a v jiných způsobech diagramovacích procesů, včetně vývojového diagramu. A1 odpovídá paralelnímu připojení a A2 sériovému připojení s tím, že rozlišování odpovídá změně způsobu připojení dvou bodů v obvodu, nejen přidávání kabeláže.

Primární aritmetika je analogická s následujícími formálními jazyky z matematika a počítačová věda:

• A Dyck jazyk řádu 1 s nulovou abecedou;
• Nejjednodušší bezkontextový jazyk v Chomského hierarchie;
• A přepsat systém to je silně normalizující a soutok.

Fráze "indikace" v jazyce LoF je synonymum pro „primární aritmetiku“.

Pojem kánonu

Koncept vlastní LoF je to „kánon“. Zatímco LoF nedefinuje kánon, následující dva výňatky z Poznámky k chpt. 2 jsou výstižné:

Důležitější struktury velení se někdy nazývají kánony. Jsou to způsoby, kterými se zdá, že se hlavní pokyny seskupují do konstelací, a nejsou tedy v žádném případě na sobě nezávislé. Kánon nese rozdíl v tom, že je mimo (tj. Popisuje) systém ve výstavbě, ale příkaz ke konstrukci (např. „Rozlišit rozdíl“), i když může mít zásadní význam, není kánonem. Kánon je rozkaz nebo sada rozkazů, které mají povolit nebo povolit, ale nikoli konstruovat nebo vytvářet.

... primární forma matematické komunikace není popis, ale příkaz ... Hudba je podobná umělecká forma, skladatel se ani nepokouší popsat soubor zvuků, které má na mysli, natož soubor pocitů, které skrze ně vznikají , ale zapíše si soubor příkazů, které, pokud se jich posluchač řídí, mohou vést k reprodukci původní zkušenosti skladatele.

Tyto výňatky se vztahují k rozlišení v metalogický mezi jazyk objektu, formální jazyk diskutovaného logického systému, a metajazyk, jazyk (často přirozený jazyk) odlišný od objektového jazyka, používaný k odhalení a diskusi o objektovém jazyce. Zdá se, že první citát tvrdí, že kánony jsou součástí metajazyku. Zdá se, že druhý citát tvrdí, že výroky v objektovém jazyce jsou v podstatě příkazy adresované čtenáři autorem. Ani jedno tvrzení neplatí ve standardní metalogice.

Primární algebra (kapitola 6)

Syntax

Vzhledem k jakémukoli platnému primárnímu aritmetickému výrazu vložte na jedno nebo více míst libovolný počet latinských písmen nesoucích volitelné číselné indexy; výsledkem je primární algebra vzorec. Dopisy tak zaměstnané v matematika a logika jsou nazývány proměnné. Proměnná primární algebry označuje místo, kde lze zapsat primitivní hodnotu nebo jeho doplněk . Více instancí stejné proměnné označuje více umístění se stejnou primitivní hodnotou.

Pravidla upravující logickou ekvivalenci

Znaménko '=' může spojovat dva logicky ekvivalentní výrazy; výsledkem je rovnice. „Logicky ekvivalentní“ znamená, že oba výrazy mají stejné zjednodušení. Logická rovnocennost je vztah ekvivalence nad množinou vzorců primární algebry, která se řídí pravidly R1 a R2. Nechť „C“ a „D“ jsou vzorce, z nichž každý obsahuje alespoň jednu instanci podformule A:

• R1, Nahrazení rovných. Nahradit jeden nebo více instance A v C podle B, což má za následek E. Li A=B, pak C=E.
• R2, Jednotná výměna. Nahradit Všechno instance A v C a D s B. C se stává E a D se stává F. Li C=D, pak E=F. Všimněte si, že A=B není nutné.

R2 je velmi často zaměstnán v primární algebra demonstrace (viz níže), téměř vždy tiše. Tato pravidla jsou běžně vyvolána logika a většina matematiky téměř vždy nevědomky.

The primární algebra skládá se z rovnice, tj. dvojice vzorců spojených infixem '='. R1 a R2 umožnit transformaci jedné rovnice do druhé. Proto primární algebra je rovný formální systém, jako mnoho jiných algebraické struktury, počítaje v to Booleova algebra, to jsou odrůdy. Rovnicová logika byla dříve běžná Principia Mathematica (např. Peirce,^1,2,3 Johnson 1892) a má dnešní obhájce (Gries a Schneider 1993).

Konvenční matematická logika skládá se z tautologické vzorce, signalizované předponou turniket. Pro označení, že primární algebra vzorec A je tautologie, jednoduše napište „A = ". Pokud jeden nahradí '=' v R1 a R2 s dvojpodmínečné, výsledná pravidla platí v konvenční logice. Konvenční logika se však spoléhá hlavně na pravidlo modus ponens; tak konvenční logika je potenciální. Rovnostně-ponenciální dichotomie destiluje mnoho z toho, co odlišuje matematickou logiku od zbytku matematiky.

Iniciály

An počáteční je primární algebra rovnice ověřitelná a rozhodovací postup a jako takový je ne an axiom. LoF stanoví iniciály:

Absence čehokoli napravo od „=“ výše je úmyslná.

J2 je známý distribuční právo z sentenciální logika a Booleova algebra.

Další sada iniciál, přátelštější k výpočtům, je:

Je to díky C2 že primární algebra je mříž. Na základě J1a, to je doplněná mříž jehož horní mez je . Podle J0, je odpovídající dolní mez a prvek identity. J0 je také algebraická verze A2 a objasňuje smysl, ve kterém aliasy s prázdnou stránkou.

T13 v LoF zevšeobecňuje C2 jak následuje. Žádný primární algebra (nebo sentential logic) vzorec B lze zobrazit jako objednaný strom s větve. Pak:

T13: A podformule A lze kopírovat dle libosti do jakékoli hloubky B větší než A, tak dlouho jak A a jeho kopie jsou ve stejné větvi B. Také vzhledem k více instancím A ve stejné větvi B, všechny instance kromě těch nejmělčích jsou nadbytečné.

Doklad o T13 by vyžadoval indukce, intuice, která je základem, by měla být jasná.

C2 nebo jeho ekvivalent je pojmenován:

• "Generace" v LoF;
• „Vyloučení“ v Johnsonovi (1892);
• „Všudypřítomnost“ v díle Williama Brickena.

Možná první instance axiomu nebo pravidla se silou C2 bylo "Pravidlo (de) iterace", kombinující T13 a AA = A, z C. S. Peirce je existenciální grafy.

LoF tvrdí, že zřetězení lze číst jako dojíždění a sdružování ve výchozím nastavení, a proto nemusí být výslovně předpokládány nebo předváděny. (Peirce učinil podobné tvrzení o svém existenciální grafy.) Nechť tečka je dočasný zápis k vytvoření seskupení. Že zřetězení dojíždějící a spolupracovníci lze poté prokázat z:

• Počáteční AC.D=CD.A a důsledek AA=A (Byrne 1946). Tento výsledek platí pro všechny mříže, protože AA=A je snadným důsledkem absorpční zákon, který platí pro všechny mřížky;
• Iniciály AC.D=AD.C a J0. Od té doby J0 platí pouze pro svazy se spodní mezí, tato metoda platí pouze pro ohraničené mřížky (které zahrnují primární algebra a 2). Komutativita je triviální; jen nastavit A=. Asociativita: AC.D = CAD = CD.A = A.CD.

Po prokázání asociativity může být období zahozeno.

Iniciály v Meguire (2011) jsou AC.D=CD.A, volala B1; B2, J0 výše; B3, Jla výše; a B4, C2. Podle návrhu jsou tyto iniciály velmi podobné axiomům pro abelianská skupina, G1-G3 níže.

Teorie důkazů

The primární algebra obsahuje tři druhy prokázaných tvrzení:

• Následek je primární algebra rovnice ověřená a demonstrace. Demonstrace se skládá ze sekvence kroky, každý krok je odůvodněn počátečním nebo dříve prokázaným důsledkem.
• Teorém je prohlášení v metajazyk ověřeno a důkaz, tj. argument formulovaný v metajazyku, který akceptují vyškolení matematici a logici.
• Počáteční, definované výše. Demonstrace a důkazy vyvolávají iniciálu, jako by to byl axiom.

Rozdíl mezi důsledkem a teorém platí pro všechny formální systémy, včetně matematiky a logiky, ale obvykle to není výslovně uvedeno. Demonstrace nebo rozhodovací postup lze provést a ověřit počítačem. The důkaz a teorém nemůže být.

Nechat A a B být primární algebra vzorce. Demonstrace A=B může postupovat dvěma způsoby:

• Upravit A v krocích do B je získán nebo naopak;
• Zjednodušte obojí a na . Toto se nazývá „výpočet“.

Jednou A=B bylo prokázáno, A=B lze použít k ospravedlnění kroků v následujících demonstracích. primární algebra demonstrace a výpočty často nevyžadují více než J1a, J2, C2a důsledky (C3 v LoF), (C1), a AA=A (C5).

Důsledek , C7 ' v LoF, umožňuje algoritmus, načrtnuté LoFdůkaz T14, který transformuje libovolný primární algebra vzorec na ekvivalentní vzorec, jehož hloubka nepřesahuje dvě. Výsledkem je a normální forma, primární algebra obdoba konjunktivní normální forma. LoF (T14–15) dokazuje primární algebra analog známého Booleova algebra věta, že každý vzorec má normální formu.

Nechat A být podformule některých vzorec B. Při spárování s C3, J1a lze zobrazit jako podmínku uzavření pro výpočty: B je tautologie kdyby a jen kdyby A a (A) oba se objevují v hloubce 0 B. V některých verzích se objeví související podmínka přirozený odpočet. Demonstrace výpočtem je často o něco více než:

• Opakované vyvolání T13 k odstranění nadbytečných podformulí;
• Vymazání všech podformulí, které mají formu .

Poslední krok výpočtu se vždy vyvolá J1a.

LoF obsahuje elegantní nové důkazy následujícího standardu metateorie:

• Úplnost: Všechno primární algebra důsledky jsou prokazatelné z iniciál (T17).
• Nezávislost: J1 nelze prokázat z J2 a naopak (T18).

Že sentenciální logika je kompletní se vyučuje na každém prvním univerzitním kurzu v matematická logika. Ale univerzitní kurzy booleovské algebry málokdy zmiňují úplnost 2.

Výklady

Pokud se označené a neoznačené stavy čtou jako Booleovský hodnoty 1 a 0 (nebo Skutečný a Nepravdivé), primární algebra tlumočí 2 (nebo sentenciální logika ). LoF ukazuje, jak primární algebra umí interpretovat sylogismus. Každý z těchto interpretace je popsána v podsekci níže. Prodloužení primární algebra aby to mohlo interpretovat Standard logika prvního řádu ještě musí být provedeno, ale Peirce je beta existenciální grafy naznačují, že toto rozšíření je proveditelné.

Dvouprvková booleovská algebra 2

The primární algebra je elegantní minimalistická notace pro dvouprvková booleovská algebra 2. Nechat:

• Jeden z booleovských připojit se (+) nebo setkat (×) interpretovat zřetězení;
• The doplněk z A interpretovat
• 0 (1) interpretuje prázdnou značku, pokud interpretuje join (meet) zřetězení (protože binární operaci aplikovanou na nula operandů lze považovat za rovnou prvek identity této operace; nebo jinak řečeno, operand, který chybí, lze považovat za standardně fungující jako prvek identity).

Pokud se připojit (setkat), interpretuje AC, poté se setkejte (připojte se) k tlumočníkům ${ displaystyle { overline {{ overline {A |}} { overline {C |}} { Big |}}}}$. Proto primární algebra a 2 jsou izomorfní, ale pro jeden detail: primární algebra komplementace může být nulová, v takovém případě označuje primitivní hodnotu. Modulo tento detail, 2 je Modelka primární algebry. Primární aritmetika naznačuje následující aritmetickou axiomatizaci 2: 1 + 1 = 1 + 0 = 0 + 1 = 1 = ~ 0 a 0 + 0 = 0 = ~ 1.

The soubor ${ displaystyle B = {}$ ${ displaystyle,}$ ${ displaystyle }}$ je Booleovská doména nebo dopravce. V jazyce univerzální algebra, primární algebra je algebraická struktura ${ displaystyle langle B, - -, { overline {- |}}, { overline { |}} rangle}$ typu ${ displaystyle langle 2,1,0 rangle}$. The výrazová přiměřenost z Shefferova mrtvice ukazuje na primární algebra také být ${ displaystyle langle B, { overline {- - |}}, { overline { |}} rangle}$ algebra typu ${ displaystyle langle 2,0 rangle}$. V obou případech jsou identity J1a, J0, C2 a ACD = CDA. Protože primární algebra a 2 jsou izomorfní, 2 může být viděn jako ${ displaystyle langle B, +, lnot, 1 rangle}$ algebra typu ${ displaystyle langle 2,1,0 rangle}$. Tento popis 2 je jednodušší než konvenční, jmenovitě ${ displaystyle langle B, +, times, lnot, 1,0 rangle}$ algebra typu ${ displaystyle langle 2,2,1,0,0 rangle}$.

Tyto dvě možné interpretace jsou navzájem dvojí v booleovském smyslu. (V booleovské algebře získá výměna AND ↔ OR a 1 ↔ 0 v celé rovnici stejně platnou rovnici.) Identity zůstávají invariantní bez ohledu na to, která interpretace je zvolena, takže transformace nebo způsoby výpočtu zůstávají stejné; pouze interpretace každého formuláře by byla odlišná. Příklad: J1a je . Interpretace juxtapozice jako OR a jako 1 to znamená ${ displaystyle neg A lor A = 1}$ což je pravda. Interpretace juxtapozice jako AND a jako 0 to znamená ${ displaystyle neg A land A = 0}$ což je také pravda (a dvojí ${ displaystyle neg A lor A = 1}$).

Sentenční logika

Nechte prázdnou stránku označit Nepravdivéa nechte kříž číst jako Ne. Pak má primární aritmetika následující čtení vět:

 =   Nepravdivé

 =  Skutečný  =  ne nepravda

 =  Není pravda  =  Nepravdivé

The primární algebra interpretuje sentenciální logiku následovně. Písmeno představuje jakýkoli daný sentenciální výraz. Tím pádem:

tlumočí Ne A

tlumočí A nebo B

tlumočí Ne A nebo B. nebo Pokud A, pak B.

tlumočí Ne (ne A nebo ne B)

nebo Ne (pokud A pak ne B)

nebo A a B..

Tedy jakýkoli výraz v sentenciální logika má primární algebra překlad. Ekvivalentně primární algebra tlumočí sentenciální logika. Vzhledem k přiřazení každé proměnné k označeným nebo neoznačeným stavům, toto primární algebra překlad se redukuje na primární aritmetický výraz, který lze zjednodušit. Opakováním tohoto cvičení pro všechna možná přiřazení dvou primitivních hodnot ke každé proměnné odhalíte, zda je původní výraz tautologické nebo uspokojivý. Toto je příklad a rozhodovací postup, jeden víceméně v duchu konvenčních tabulek pravdy. Vzhledem k některým primární algebra vzorec obsahující N proměnných vyžaduje tento rozhodovací postup zjednodušení 2^N primární aritmetické vzorce. Pro méně zdlouhavý postup rozhodování spíše v duchu Quine „Analýza pravdivostní hodnoty“, viz Meguire (2003).

Schwartz (1981) dokázal, že primární algebra je ekvivalentní - syntakticky, sémanticky, a důkaz teoreticky - s klasický výrokový počet. Stejně tak lze prokázat, že primární algebra je syntakticky ekvivalentní s výrazy vytvořenými obvyklým způsobem z klasiky pravdivostní hodnoty skutečný a Nepravdivé, logické spojky NOT, OR a AND a závorky.

Interpretace neoznačeného státu jako Nepravdivé je zcela svévolný; tento stav lze stejně dobře číst jako Skutečný. Vyžaduje se pouze interpretace zřetězení změna z OR na AND. KDYŽ POTOM B se nyní překládá jako namísto . Obecněji, primární algebra je „vlastnídvojí ", což znamená, že jakýkoli." primární algebra vzorec má dva sentenciální nebo Booleovský četby, každý dvojí toho druhého. Dalším důsledkem sebe-duality je irelevance De Morganovy zákony; tyto zákony jsou zabudovány do syntaxe primární algebra od začátku.

Skutečná povaha rozdílu mezi primární algebra na jedné straně a 2 a sentenciální logika na straně druhé, nyní se objevuje. V posledních formalizmech doplňování /negace provozování „ničeho“ není dobře formované. Ale prázdný kříž je dobře tvarovaný primární algebra výraz, označující označený stav, primitivní hodnotu. Neprázdný kříž je tedy operátor, zatímco prázdný kříž je operand protože označuje primitivní hodnotu. Tak primární algebra odhaluje, že dosud odlišné matematické pojmy operátor a operand jsou ve skutečnosti pouze odlišnými aspekty jedné základní akce, rozlišování.

Sylogismy

Dodatek 2 ze dne LoF ukazuje, jak přeložit tradiční sylogismy a soriti do primární algebra. Platný sylogismus je prostě ten, jehož primární algebra překlad se zjednoduší na prázdný kříž. Nechat A* označují a doslovný, tj. buď A nebo ${ displaystyle { overline {A |}}}$lhostejně. Pak každý úsudek, který nevyžaduje, aby byl jeden nebo více výrazů považován za neprázdný, je jednou z 24 možných permutací zobecnění Barbara jehož primární algebra ekvivalent je ${ displaystyle { overline {A ^ {*} B |}} { overline {{ overline {B |}} C ^ {*} { Big |}}} A ^ {*} C ^ {*}}$. Těchto 24 možných permutací zahrnuje 19 sylogistických forem považovaných za platné v Aristotelian a středověká logika. Tento primární algebra překlad logologie logiky také naznačuje, že primární algebra umět interpretovat monadický a termínová logika a že primární algebra má spřízněnost s Schémata booleovského výrazu Quine (1982: Část II).

Příklad výpočtu

Následující výpočet Leibniz je netriviální Věta Praeclarum ilustruje demonstrativní sílu primární algebra. Nechť C1 je ${ displaystyle { overline {{ overline {A |}} { Big |}}}}$ =A, C2 být ${ displaystyle A { overline {A B |}} = A { overline {B |}}}$, C3 být ${ displaystyle { overline { |}} A = { overline { |}}}$, J1a be ${ displaystyle { overline {A |}} A = { overline { |}}}$a nechme OI znamenat, že proměnné a podformule byly přeuspořádány způsobem, který umožňuje komutativita a asociativita.

[(P→R)∧(Q→S)]→[(P∧Q)→(R∧S)].	Věta Praeclarum.
P R Q S P Q R S .	primární algebra překlad
P R Q S P Q R S .	C1.
P R Q S P Q R S .	C1.
P P R Q S Q R S .	OI.
P R Q S Q R S .	C2.
P R Q Q S R S .	OI.
P R Q S R S .	C2.
P Q S R R S .	OI.
P Q S R S .	C2.
P Q S R S .	C1.
P Q S S R .	OI.
P Q B R .	J1a.
B P Q R .	OI.
B	C3. ${ displaystyle square}$

Vztah k magmatům

The primární algebra ztělesňuje bod označený Huntington v roce 1933: Booleova algebra vyžaduje, kromě jednoho unární provoz, jeden, a ne dva, binární operace. Proto je zřídka známá skutečnost, že booleovské algebry jsou magmas. (Volali se Magmas grupoidy dokud si druhý termín nebyl přivlastněn teorie kategorií.) Chcete-li to vidět, nezapomeňte, že primární algebra je komutativní:

• Poloskupina protože primární algebra juxtapozice dojíždí a spolupracovníci;
• Monoidní s prvek identity , na základě J0.

Skupiny také vyžadují a unární provoz, volala inverzní, protějšek skupiny Booleovská komplementace. Nechat označit inverzní z A. Nechat označte skupinu prvek identity. Pak skupiny a primární algebra mít stejné podpisy, jmenovitě jsou oba ${ displaystyle langle - -, { overline {- |}}, { overline { |}} rangle}$ algebry typu 〈2,1,0〉. Proto primární algebra je hraniční algebra. Axiomy pro abelianská skupina, v hraniční notaci, jsou:

• G1. abc = acb (za předpokladu asociace zleva);
• G2.
• G3. .

Z G1 a G2lze odvodit komutativitu a asociativitu zřetězení, jak je uvedeno výše. Všimněte si, že G3 a J1a jsou identické. G2 a J0 by bylo stejné, kdyby =  vyměnit A2. Toto je definující aritmetická identita teorie grup v hraniční notaci.

The primární algebra se liší od abelianská skupina dvěma způsoby:

• Z A2, z toho vyplývá, že ≠ . Pokud primární algebra byli a skupina, = by držel, a jeden z A =  neboA  = A musel by být primární algebra následek. Všimněte si, že a jsou vzájemné primární algebra doplňuje, jak to vyžaduje teorie skupin, tak ${ displaystyle { overline { { overline { { overline { |}} { Big |}}} { Bigg |}}} = { overline { |}}}$ platí jak pro teorii skupin, tak pro primární algebra;
• C2 nejjasněji vymezuje primární algebra od jiných magmat, protože C2 umožňuje předvádění absorpční zákon který definuje mříže a distribuční právo centrální vůči Booleova algebra.

Oba A2 a C2 následovat od B je objednaná sada.

Rovnice druhého stupně (kapitola 11)

Kapitola 11 LoF zavádí rovnice druhého stupně, složen z rekurzivní vzorce, které lze považovat za vzorce s „nekonečnou“ hloubkou. Některé rekurzivní vzorce se zjednodušují do označeného nebo neoznačeného stavu. Jiní mezi těmito dvěma stavy „oscilují“ neomezeně podle toho, zda je daná hloubka sudá nebo lichá. Konkrétně lze určité rekurzivní vzorce interpretovat jako oscilační mezi nimi skutečný a Nepravdivé v po sobě jdoucích časových intervalech, v takovém případě je vzorec považován za „imaginární“ hodnotu pravdy. Tok času tak může být zaveden do primární algebra.

Turney (1986) ukazuje, jak lze tyto rekurzivní vzorce interpretovat Alonzo Church Omezená rekurzivní aritmetika (RRA). Church představil RRA v roce 1955 jako axiomatickou formalizaci konečné automaty. Turney (1986) představuje obecnou metodu převodu rovnic druhého stupně do Církve RRA, ilustrující jeho metodu pomocí vzorců E1, E2, a E4 v kapitole 11 LoF. Tento překlad do RRA osvětluje jména, která dal Spencer-Brown E1 a E4, jmenovitě „paměť“ a „čítač“. RRA tedy formalizuje a objasňuje LoF Pojem imaginární hodnoty pravdy.

Související práce

Gottfried Leibniz, v memorandech, která nebyla zveřejněna před koncem 19. a začátkem 20. století, vynalezena Logická logika. Jeho notace byla izomorfní k notě LoF: zřetězení číst jako spojení, a „non- (X) "číst jako doplněk z X. Uznání průkopnické role Leibnize v algebraická logika byl předzvěstí Lewis (1918) a Rescher (1954). Úplné zhodnocení Leibnizových úspěchů však muselo čekat na dílo Wolfganga Lenzena, publikované v 80. letech a přezkoumané v Lenzen (2004).

Charles Sanders Peirce (1839–1914) očekával primární algebra ve třech žilách práce:

1. Dva příspěvky, které napsal v roce 1886, navrhly logickou algebru využívající pouze jeden symbol, stuha, téměř totožný s křížem LoF. Sémantika streameru je totožná se sémantikou kříže, až na to, že Peirce nikdy nenapsal streamer, pod kterým by nic nebylo. Výňatek z jednoho z těchto článků byl publikován v roce 1976,^[7] ale byly publikovány v plném rozsahu až v roce 1993.^[8]
2. V článku encyklopedie z roku 1902^[9] Peirce označil booleovskou algebru a sentenciální logiku způsobem tohoto záznamu, kromě toho, že použil dva styly závorek, přepínající mezi '(', ')' a '[', ']' s každým přírůstkem hloubky vzorce.
3. The syntax jeho alfa existenciální grafy je pouze zřetězení, číst jako spojení, a oválek ovály, číst jako negace.^[10] Li primární algebra zřetězení se čte jako spojení, pak tyto grafy jsou izomorfní do primární algebra (Kauffman 2001).

Ironicky, LoF cituje sv. 4 z Peirce's Sebrané dokumenty, zdroj formalizmů v (2) a (3) výše. (1) - (3) byly prakticky neznámé v době, kdy (60. léta) a v místě, kde (UK) LoF bylo napsáno. Peirce sémiotika, o které LoF mlčí, může ještě osvětlit filozofické aspekty LoF.

Kauffman (2001) pojednává o další notaci podobné té z LoF, článek článku z roku 1917 Jean Nicod, který byl žákem Bertrand Russell je.

Výše uvedené formalizmy jsou, jako primární algebra, všechny instance hraniční matematika, tj. matematika, jejíž syntaxe je omezena na písmena a závorky (uzavírací zařízení). Minimalistická syntaxe této povahy je „hraniční notace“. Hraniční notace je prostá infix, předpona nebo postfix symboly operátora. Velmi dobře známé složené závorky ('{', '}') teorie množin lze považovat za hraniční notaci.

Práce Leibnize, Peirce a Nicoda je nevinná v metateorii, jak psali dříve Emil Post mezník 1920 (který LoF cituje), což dokazuje sentenciální logika je kompletní a dříve Hilbert a Łukasiewicz ukázal, jak dokázat nezávislost axiomu použitím modely.

Craig (1979) tvrdili, že svět a to, jak lidé tento svět vnímají a jak s ním interagují, má bohatou booleovskou strukturu. Craig byl ortodoxní logik a autorita algebraická logika.

Druhá generace kognitivní věda se objevily v 70. letech poté LoF bylo napsáno. Kognitivní věda a její význam pro booleovskou algebru, logiku a teorie množin, viz Lakoff (1987) (viz položky rejstříku v části „Příklady schématu obrázku: kontejner“) a Lakoff a Núñez (2001). Ani jedna kniha neuvádí LoF.

Biologové a kognitivní vědci Humberto Maturana a jeho student Francisco Varela oba diskutují LoF ve svých spisech, které označují „rozlišení“ jako základní kognitivní akt. Berkeleyský psycholog a kognitivní vědec Eleanor Rosch rozsáhle psal o úzce souvisejícím pojmu kategorizace.

Mezi další formální systémy s možnou afinitou k primární algebře patří:

• Mereologie který má obvykle a mříž struktura velmi podobná booleovské algebře. Pro pár autorů je pouhá pouhá jednoduchost Modelka z Booleova algebra a tedy také primární algebry.
• Mereotopologie, který je ze své podstaty bohatší než booleovská algebra;
• Systém Whiteheada (1934), jehož základním primitivem je „indikace“.

Primární aritmetika a algebra jsou minimalistický formalismus sentenciální logika a booleovská algebra. Jiné minimalistické formalizmy, které mají moc teorie množin zahrnout:

• The lambda kalkul;
• Kombinovaná logika se dvěma (S a K.) nebo dokonce jeden (X) primitivní kombinátory;
• Matematická logika provedeno pouze se třemi primitivními pojmy: jeden spojovací, NAND (jehož primární algebra překlad je ${ displaystyle { overline {A B |}}}$ nebo, duálně, ${ displaystyle { overline {A |}} { overline {B |}}}$), univerzální kvantifikace a jeden binární atomový vzorec, označující soubor členství. Toto je systém Quine (1951).
• The beta existenciální grafy s jediným binární predikát označující členství v sadě. To je ještě třeba prozkoumat. The alfa výše uvedené grafy jsou zvláštním případem beta grafy.

Viz také

• Booleova algebra (Simple English Wikipedia)
• Booleova algebra (úvod)
• Booleova algebra (logika)
• Booleova algebra (struktura)
• Booleovské algebry kanonicky definovány
• Logická logika
• Entitativní graf
• Existenciální graf
• Seznam témat booleovské algebry
• Výrokový počet
• Dvouprvková booleovská algebra

Poznámky

Reference

• Vydání Formální zákony:
  • 1969. London: Allen & Unwin, vázaná kniha.
  • 1972. Crown Publishers, vázaná kniha: ISBN  0-517-52776-6
  • 1973. Knihy Bantam, brožovaná kniha. ISBN  0-553-07782-1
  • 1979. E.P. Dutton, brožovaný výtisk. ISBN  0-525-47544-3
  • 1994. Portland OR: Cognizer Company, brožovaná kniha. ISBN  0-9639899-0-1
  • 1997 německý překlad, s názvem Gesetze der Form. Lübeck: Bohmeier Verlag. ISBN  3-89094-321-7
  • 2008 Bohmeier Verlag, Lipsko, 5. mezinárodní vydání. ISBN  978-3-89094-580-4
• Bostock, David, 1997. Střední logika. Oxford Univ. Lis.
• Byrne, Lee, 1946, „Dvě formulace booleovské algebry“, Bulletin of the American Mathematical Society: 268–71.
• Craig, William (1979). "Logická logika a každodenní fyzický svět". Sborník a adresy Americké filozofické asociace. 52 (6): 751–78. doi:10.2307/3131383. JSTOR  3131383.
• David Gries a Schneider, F B, 1993. Logický přístup k diskrétní matematice. Springer-Verlag.
• William Ernest Johnson, 1892, „Logický kalkul“, Mysl 1 (n.s.): 3–30.
• Louis H. Kauffman, 2001, "Matematika CS Peirce ", Kybernetika a znalost člověka 8: 79–110.
• ------, 2006, "Přeformulování věty o barevné mapě. "
• ------, 2006a. "Zákony formy - průzkum v matematice a nadacích. "Návrh knihy (tedy velký).
• Lenzen, Wolfgang, 2004, "Leibnizova logika „in Gabbay, D., and Woods, J., eds., The Rise of Modern Logic: From Leibniz to Frege (Handbook of the History of Logic - Vol. 3). Amsterdam: Elsevier, 1–83.
• Lakoff, George, 1987. Ženy, oheň a nebezpečné věci. University of Chicago Press.
• -------- a Rafael E. Núñez, 2001. Odkud pochází matematika: Jak Embodied Mind přináší matematiku do bytí. Základní knihy.
• Meguire, P. G. (2003). „Objevování hraniční algebry: zjednodušená notace pro booleovskou algebru a funktory pravdy“. International Journal of General Systems. 32: 25–87. CiteSeerX  10.1.1.106.634. doi:10.1080/0308107031000075690.
• --------, 2011. Hraniční algebra: jednodušší přístup k základní logice a booleovské algebře. VDM Publishing Ltd. ISBN  978-3639367492. Zdroj pro většinu této položky, včetně notace, která obsahuje v závorkách co LoF místa pod křížem. Vyhýbá se spekulativnějším aspektům LoF.
• Willard Quine, 1951. Matematická logika, 2. vyd. Harvard University Press.
• --------, 1982. Metody logiky, 4. vyd. Harvard University Press.
• Rescher, Nicholas (1954). „Leibnizova interpretace jeho logických kalkulů“. Journal of Symbolic Logic. 18 (1): 1–13. doi:10.2307/2267644. JSTOR  2267644.
• Schwartz, Daniel G. (1981). „Izomorfismy G. Spencer-Browna Formální zákony a F. Varela's Calculus for Self-Reference “. International Journal of General Systems. 6 (4): 239–55. doi:10.1080/03081078108934802.
• Turney, P. D. (1986). "Formální zákony a konečné automaty ". International Journal of General Systems. 12 (4): 307–18. doi:10.1080/03081078608934939.
• A. N. Whitehead, 1934, "Označení, třídy, číslo, ověření", Mysl 43 (n.s.): 281–97, 543. Opravy na str. 543 jsou četné a důležité a pozdější dotisky tohoto článku je nezahrnují.
• Dirk Baecker (ed.) (1993), Kalkül der Form. Suhrkamp; Dirk Baecker (ed.), Probleme der Form. Suhrkamp.
• Dirk Baecker (ed.) (1999), Problémy s tvarem, Stanford University Press.
• Dirk Baecker (ed.) (2013), Matematika formy, sociologie pozorovatelů, Cybernetics & Human Knowing, sv. 20, č. 3-4.

externí odkazy

• Formální zákony, archiv webových stránek Richarda Shoupa.
• Spencer-Brown's talks at Esalen, 1973. Self-referential forms are introduced in the section entitled "Degree of Equations and the Theory of Types".
• Louis H. Kauffman, "Box Algebra, Boundary Mathematics, Logic, and Laws of Form. "
• Kissel, Matthias, "A nonsystematic but easy to understand introduction to Formální zákony. "
• The Laws of Form Forum, where the primary algebra and related formalisms have been discussed since 2002.
• A meeting with G.S.B by Moshe Klein
• The Markable Mark, an introduction by easy stages to the ideas of Formální zákony
• The BF Calculus and the Square Root of Negation by Louis Kauffman and Arthur Collings; it extends the Laws of Form by adding an imaginary logical value. (Imaginary logical values are introduced in chapter 11 of the book Formální zákony.)
• Laws of Form Course - a free on-line course taking people through the main body of the text of Laws of Form by Leon Conrad, Spencer-Brown's last student, who studied the work with the author.