Nezávislost axiomu - Axiom independence - Wikipedia
An axiom P je nezávislý pokud neexistují žádné další axiomy Q takové, že Q implikuje P.
V mnoha případech je žádoucí dosáhnout nezávislosti závěr redukované sady axiomů, nebo být schopen nahradit nezávislý axiom a vytvořit výstižnější systém (například paralelní postulát je nezávislý na ostatních axiomech Euklidovská geometrie, a poskytuje zajímavé výsledky, když je negován nebo nahrazen).
Prokazování nezávislosti
Pokud původní axiomy Q nejsou konzistentní, pak žádný nový axiom není nezávislý. Pokud jsou konzistentní, pak P může být zobrazeno nezávisle na nich, pokud k nim přidáme P nebo přidáme negaci P, obě přinášejí konzistentní sady axiomů. [1] Například Euklidovy axiomy včetně paralelního postulátu poskytují euklidovskou geometrii a se negovaným paralelním postulátem poskytují neeuklidovská geometrie. Například, eliptická geometrie (žádné paralely) a hyperbolická geometrie (mnoho paralel). Eliptická i hyperbolická geometrie jsou konzistentní systémy, což ukazuje, že paralelní postulát je nezávislý na ostatních axiomech.[2]
Prokázat nezávislost je často velmi obtížné. Nutí je jedna běžně používaná technika. [3]
Reference
- ^ Kenneth Kunen, Teorie množin: Úvod do důkazů o nezávislosti, strana xi.
- ^ Harold Scott Macdonald Coxeter Neeuklidovská geometrie, strany 1-15
- ^ Kenneth Kunen, Teorie množin: Úvod do důkazů o nezávislosti, strany 184-237