Úplnost (logika) - Completeness (logic)
v matematická logika a metalogický, a formální systém je nazýván kompletní s ohledem na konkrétní vlastnictví pokud každý vzorec mít majetek může být odvozený pomocí tohoto systému, tj. je jedním z jeho věty; jinak se říká, že systém je neúplnýTermín „úplný“ se také používá bez kvalifikace, s různými významy v závislosti na kontextu, většinou odkazujícími na vlastnost sémantické platnost. Systém se v tomto konkrétním smyslu intuitivně nazývá úplný, pokud dokáže odvodit každý vzorec, který je pravdivý.
Vlastnictví konverzovat se nazývá úplnost zdravost: systém je ve vztahu k vlastnosti zdravý (většinou sémantická platnost), pokud tuto vlastnost má každá z jeho vět.
Formy úplnosti
Expresivní úplnost
A formální jazyk je výslovně kompletní pokud může vyjádřit předmět, pro který je určen.
Funkční úplnost
Sada logické spojky spojené s formálním systémem je funkčně kompletní pokud dokáže vyjádřit vše výrokové funkce.
Sémantická úplnost
Sémantická úplnost je konverzovat z zdravost pro formální systémy. Formální systém je úplný s ohledem na tautologičnost nebo „sémanticky úplný“, když je k dispozici tautologie jsou věty, zatímco formální systém je „zdravý“, když jsou všechny věty tautologie (tj. jsou to sémanticky platné vzorce: vzorce, které platí v každé výklad jazyka systému, který je v souladu s pravidly systému). To znamená
Například, Gödelova věta o úplnosti zavádí sémantickou úplnost pro logika prvního řádu.
Silná úplnost
Formální systém S je silně dokončeno nebo kompletní v silném smyslu pokud pro každou množinu prostorů Γ je jakýkoli vzorec, který sémanticky vyplývá z Γ, odvozitelný od Γ. To je:
Vyvrácení úplnosti
Formální systém S je vyvrácení - kompletní pokud je schopen odvodit Nepravdivé z každé nevyhovující sady vzorců. To znamená
Každý silně kompletní systém je také vyvrácen. Silná úplnost to intuitivně znamená při dané sadě vzorců , je možné vypočítat každý sémantický důsledek z , zatímco vyvrácení-úplnost znamená, že vzhledem k tomu, sada vzorců a vzorec , je možné šek zda je sémantickým důsledkem .
Mezi příklady vyvrácených systémů patří: Rozlišení SLD na Horn klauzule, superpozice na rovnici doložkové logiky prvního řádu, Robinsonovo rozhodnutí na doložka sady.[3] Ten druhý není zcela úplný: např. platí i pro výrokovou podmnožinu logiky prvního řádu, ale nelze odvodit z podle rozlišení. Nicméně, lze odvodit.
Syntaktická úplnost
Formální systém S je syntakticky kompletní nebo deduktivně úplné nebo maximálně kompletní pokud pro každého věta (uzavřený vzorec) φ jazyka systému φ nebo ¬φ je věta o S. Tomu se také říká úplnost negace, a je silnější než sémantická úplnost. V jiném smyslu je formální systém syntakticky kompletní právě když k němu nelze přidat neprokazatelnou větu, aniž by došlo k nesrovnalosti. Pravdově-funkční výroková logika a predikátová logika prvního řádu jsou sémanticky úplné, ale nejsou syntakticky úplné (například výroková logická věta skládající se z jediné výrokové proměnné A není věta a není ani její negace). Gödelova věta o neúplnosti ukazuje, že jakýkoli rekurzivní systém, který je dostatečně výkonný, jako např Peano aritmetika, nemůže být konzistentní a syntakticky kompletní.
Strukturální úplnost
v superintucionistický a modální logika, logika je strukturálně kompletní pokud každý přípustné pravidlo je odvozitelný.
Reference
- ^ Hunter, Geoffrey, Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, University of California Pres, 1971
- ^ David A. Duffy (1991). Principy automatizovaného dokazování vět. Wiley. Tady: sekta. 2.2.3.1, s. 33
- ^ Stuart J. Russell, Peter Norvig (1995). Umělá inteligence: moderní přístup. Prentice Hall. Tady: sekta. 9,7, s. 286