Odkud pochází matematika - Where Mathematics Comes From

Odkud pochází matematika
Odkud pochází matematika.jpg
AutorGeorge Lakoff
Rafael E. Núñez
PředmětNumerické poznání
Publikováno2000
Stránky492
ISBN978-0-465-03771-1
OCLC44045671

Odkud pochází matematika: Jak vtělená mysl přináší matematiku v bytí (dále WMCF) je kniha od George Lakoff, a kognitivní lingvista, a Rafael E. Núñez, a psycholog. Publikováno v roce 2000, WMCF hledá založit kognitivní věda matematiky, teorie o ztělesněný matematika založená na konceptuální metafora.

WMCF definice matematiky

Matematika tvoří tu část lidského koncepčního systému, která je speciální následujícím způsobem:

„Je přesný, konzistentní, stabilní napříč časem a lidskými komunitami, symbolizovatelný, vypočítatelný, zobecnitelný, univerzálně dostupný, konzistentní v rámci každého ze svých témat a účinný jako obecný nástroj pro popis, vysvětlení a predikci v obrovském množství každodenních činnosti [od sportu] po budovy, obchod, technologie a vědu. " (WMCF50, 377)

Nikolay Lobachevsky řekl: „Neexistuje odvětví matematiky, ať už je jakkoli abstraktní, což se někdy nemusí vztahovat na jevy skutečného světa.“ Běžný typ koncepční míchání Zdá se, že tento proces platí pro celý matematický proces.

Lidské poznání a matematika

Lakoffovým a Núñezovým proklamovaným účelem je začít klást základy skutečně vědeckého porozumění matematice, založené na procesech společných pro všechny lidské poznání. Zjistili, že čtyři odlišné, ale související procesy obrazně základní aritmetika struktury: sběr objektů, konstrukce objektů, použití měřicí tyčinky a pohyb po dráze.

WMCF navazuje na dřívější knihy Lakoffa (1987) a Lakoffa a Johnsona (1980, 1999), které takové koncepty analyzují metafora a schémata obrázků z druhé generace kognitivní věda. Některé z konceptů v těchto dřívějších knihách, například zajímavé technické myšlenky v Lakoffovi (1987), chybí WMCF.

Lakoff a Núñez se domnívají, že matematika je výsledkem lidského kognitivního aparátu, a proto musí být chápána kognitivně. WMCF prosazuje (a zahrnuje některé příklady) a kognitivní analýza nápadů z matematika který analyzuje matematické myšlenky z hlediska lidských zkušeností, metafor, zobecnění a dalších kognitivních mechanismů, které je vedly. Standardní matematické vzdělávání nevyvíjí takové techniky analýzy myšlenek, protože nesleduje úvahy o A) jaké struktury mysli mu umožňují dělat matematiku nebo B) filozofie matematiky.

Lakoff a Núñez nejprve přečtou psychologickou literaturu a dospějí k závěru, že se zdá, že lidské bytosti mají vrozenou schopnost, tzv. subitizing, spočítat, přičíst a odečíst až přibližně 4 nebo 5. Tento závěr dokumentují přehledem literatury publikované v posledních desetiletích popisující experimenty s kojeneckými subjekty. Například děti se rychle stanou nadšenými nebo zvědavými, když se dostanou do „nemožných“ situací, například když se objeví tři hračky, když byly původně přítomny pouze dvě.

Autoři tvrdí, že matematika jde daleko za tuto velmi základní úroveň kvůli velkému počtu metaforický stavby. Například Pytagorejský Pozice, že vše je číslo, a související krize důvěry, ke které došlo objevem iracionality EU druhá odmocnina ze dvou, vzniká pouze z metaforického vztahu mezi délkou úhlopříčky čtverce a možným počtem objektů.

Hodně z WMCF se zabývá důležitými pojmy nekonečno a limitních procesů, které se snaží vysvětlit, jak si koneční lidé žijící v omezeném světě mohou nakonec představit skutečné nekonečno. Tolik z WMCF je ve skutečnosti studie epistemologický základy počet. Lakoff a Núñez dospěli k závěru, že zatímco potenciální nekonečno není metaforické, skutečné nekonečno je. Navíc považují všechny projevy skutečného nekonečna za instance toho, čemu říkají „Základní metafora nekonečna“, jak je představuje neustále se zvyšující posloupnost 1, 2, 3, ...

WMCF důrazně odmítá Platonistický filozofie matematiky. Zdůrazňují, že vše, co víme a kdy můžeme vědět, je lidská matematika, matematika vyplývající z lidského intelektu. Otázka, zda existuje „transcendentní“ matematika nezávislá na lidském myšlení, je nesmyslná otázka, jako je otázka, zda jsou barvy transcendentní lidskému myšlení - barvy jsou pouze různé vlnové délky světla, je to naše interpretace fyzických podnětů, díky nimž jsou barvami.

WMCF (str. 81) rovněž kritizuje důraz, který matematici kladou na koncept uzavření. Lakoff a Núñez tvrdí, že očekávání uzavření je artefaktem schopnosti lidské mysli spojovat zásadně odlišné koncepty prostřednictvím metafory.

WMCF zabývá se zejména návrhem a vytvořením alternativního pohledu na matematiku, který zakládá pole v realitě biologie člověka a zkušeností. Není to dílo technické matematiky nebo filozofie. Lakoff a Núñez nejsou prvními, kdo tvrdí, že konvenční přístupy k filozofii matematiky jsou chybné. Například se nezdá, že by byli tak dobře obeznámeni s obsahem Davise a Hersh (1981), přestože kniha vřele uznává Hershovu podporu.

Lakoff a Núñez citují Saunders Mac Lane (vynálezce, s Samuel Eilenberg, z teorie kategorií ) na podporu své pozice. Matematika, forma a funkce (1986), přehled matematiky určené pro filozofy, navrhuje, aby matematické pojmy byly nakonec zakotveny v běžných lidských činnostech, většinou v interakcích s fyzickým světem.[1]

Pedagogové se o co zajímali WMCF navrhuje, jak se matematika učí a proč se studentům zdají některé základní pojmy obtížnější než jiné.

I z hlediska vzdělávání je však WMCF stále problematický. Z pohledu teorie konceptuální metafory se metafory nacházejí v jiné sféře, abstraktní, od té konkrétní v „reálném světě“. Jinými slovy, navzdory tvrzení, že matematika je člověk, se předpokládá, že zavedené matematické znalosti - které se učíme ve škole - jsou považovány za abstraktní a zcela oddělené od fyzického původu. Nemůže odpovídat za způsob, jakým by se studenti mohli k těmto znalostem dostat.[2]

WMCF je také kritizována za svůj monistický přístup. Nejprve ignoruje skutečnost, že senzomotorická zkušenost, na které se předpokládá, že je založena na naší jazykové struktuře - tedy matematice - se může v různých kulturách a situacích lišit[3]. Zadruhé, matematikou, kterou WMCF zajímá, je „téměř úplně ... standardní promluvy v učebnicích a osnovách“[3], což je nejvíce zavedený soubor znalostí. Je to nedbalost dynamické a rozmanité povahy dějin matematiky.

Dalším cílem kritiků je přístup WMCF zaměřený na logo. I když se převážně zajímá o souvislost mezi jazykem a matematikou, nezohledňuje, jak mimojazykové faktory přispívají ke vzniku matematických myšlenek (např. Viz Radford, 2009[4]; Rotman, 2008[5]).

Příklady matematických metafor

Koncepční metafory popsáno v WMCF, kromě Základní metafory nekonečna zahrnují:

Matematické uvažování vyžaduje proměnné přes některé vesmír diskurzu, abychom mohli uvažovat spíše o obecných věcech než jen o podrobnostech. WMCF tvrdí, že uvažování s takovými proměnnými implicitně závisí na tom, co nazývá Základní Metonymie algebry.

Příklad metaforické nejednoznačnosti

WMCF (str. 151) obsahuje následující příklad toho, co autoři nazývají „metaforická nejednoznačnost“. Vezměte sadu Pak si vzpomeňte na dva bity standardní terminologie z základní teorie množin:

  1. The rekurzivní výstavba pořadová přirozená čísla, přičemž 0 je , a je
  2. The objednaný pár (a, b), definováno jako

Podle (1), A je množina {1,2}. Ale (1) a (2) to společně říkají A je také objednaný pár (0,1). Oba výroky nemohou být správné; the objednaný pár (0,1) a neuspořádaný pár {1,2} jsou zcela odlišné pojmy. Lakoff a Johnson (1999) označují tuto situaci jako „metaforicky nejednoznačnou“. Tento jednoduchý příklad zpochybňuje všechny Platonistický základy pro matematiku.

Zatímco (1) a (2) výše jsou nepochybně kanonické, zejména v rámci konsensu teorie množin známý jako Zermelo – Fraenkelova axiomatizace, WMCF neponechává to jen jednu z několika definic, které byly navrženy od úsvitu teorie množin. Například, Frege, Principia Mathematica, a Nové základy (tělo axiomatická teorie množin začal Quine v roce 1937) definovat kardinálové a řadové tak jako tříd ekvivalence pod vztahy z ekvinumerosita a podobnost, aby tato hádanka nevznikla. V teorii množin Quinian, A je jednoduše instancí čísla 2. Z technických důvodů je definování uspořádaného páru jako v bodě (2) výše v teorii množin Quinian nepříjemné. Byla navržena dvě řešení:

  • Varianta množinové teoretické definice objednaného páru komplikovanější než ta obvyklá;
  • Brát objednané páry jako primitivní.

Románek matematiky

„Románek matematiky“ je WMCF'odlehčený termín pro trvalé filozofické hledisko o matematice, které autoři popisují a poté zavrhují jako intelektuální mýtus:

  • Matematika je transcendentní, konkrétně existuje nezávisle na lidských bytostech a strukturuje naši skutečnou fyziku vesmír a jakýkoli možný vesmír. Matematika je jazyk přírody a je primární koncepční strukturou, kterou bychom měli společnou s mimozemskými mimozemšťany, pokud vůbec existují.
  • Matematický důkaz je branou do říše transcendentní pravdy.
  • Uvažování je logika a logika je v podstatě matematická. Proto matematické struktury všechny možné úvahy.
  • Protože matematika existuje nezávisle na lidských bytostech a uvažování je v zásadě matematické, samotný rozum je bez těla. Proto, umělá inteligence je možné, alespoň v zásadě.

Je to velmi otevřená otázka, zda WMCF se nakonec ukáže jako začátek nové školy v EU filozofie matematiky. Proto je hlavní hodnota WMCF zatím může být kritická: její kritika Platonismus a romantismus v matematice.

Kritická odpověď

Mnoho pracujících matematiků odolává přístupu a závěrům Lakoffa a Núñeze. Recenze matematiky z WMCF v odborných časopisech, i když často respektuje jeho zaměření na koncepční strategie a metafory jako cesty k porozumění matematice, přijaly výjimku pro některé z WMCF'filozofické argumenty na základě toho, že matematické výroky mají trvalé „objektivní“ významy. Například, Fermatova poslední věta znamená přesně to, co to znamenalo kdy Fermat původně navrhl 1664. Jiní recenzenti poukázali na to, že v souvislosti se stejným matematicky definovaným pojmem, často stejnou osobou, lze použít několik koncepčních strategií (bod, který je slučitelný s názorem, že běžně chápeme „stejný“ koncept s různé metafory). The metafora a koncepční strategie nejsou stejné jako formální definice které matematici používají. Nicméně, WMCF zdůrazňuje, že formální definice jsou vytvářeny pomocí slov a symbolů, které mají význam pouze z hlediska lidské zkušenosti.

Kritiky WMCF zahrnout vtipné:

„Je pro mě těžké představit si metaforu pro reálné číslo, které se zvýší na složitou moc, ale pokud nějaká existuje, rád bych ji viděl.“ - Joseph Auslander[6]

a fyzicky informovaní:

"Ale jejich analýza ponechává alespoň několik otázek nedostatečně zodpovězených. Autoři zaprvé ignorují skutečnost, že mozek nejen pozoruje přírodu, ale je také součástí přírody. Možná matematika, kterou mozek vynalézá, má podobu, kterou má, protože matematika měl ruku v ruce s formováním mozků na prvním místě (prostřednictvím působení přírodních zákonů omezujících vývoj života). Dále je jedna věc přizpůsobit rovnice aspektům reality, které jsou již známy. povědomí o jevech, o kterých se dříve nepředpokládalo. Když rovnice Paula Diraca popisující elektrony vyprodukovaly více než jedno řešení, domníval se, že příroda musí vlastnit další částice, nyní známé jako antihmota. Ale vědci takové částice objevili až poté, co mu Diracova matematika řekla, že musí existovat. Pokud je matematika lidským vynálezem, zdá se, že příroda ví, co bude vynalezeno. “[6]

Lakoff si získal reputaci propojením lingvistika na kognitivní věda a analýza metafora. Núñez, vzdělaný v Švýcarsko, je produktem Jean Piaget je škola kognitivní psychologie jako základ pro logiku a matematiku. Núñez hodně přemýšlel o základech skutečná analýza, nemovitý a komplexní čísla a základní metafora nekonečna. Tato témata, i když jsou hodná, tvoří součást nadstavby matematiky. Kognitivní věda by se měla více zajímat o základy matematiky. A opravdu, autoři věnovali poměrně brzy pozornost logika, Booleova algebra a Zermelo – Fraenkelovy axiomy, dokonce trochu přetrvávající teorie skupin. Ale ani jeden autor není dobře vyškolen logika (neexistuje žádná položka rejstříku pro „kvantifikátor "nebo" kvantifikace "), filozofie teorie množin, axiomatická metoda, metamatematika, a teorie modelů. Ani ne WMCF řekněte dost o odvození číselné systémy (dále jen Peanoovy axiomy jít bez zmínky), abstraktní algebra, rovnocennost a objednat vztahy, pouhá teologie, topologie, a geometrie.

Lakoff a Núñez mají tendenci odmítat negativní názory, o kterých se matematici vyjádřili WMCF, protože jejich kritici neoceňují poznatky kognitivní vědy. Lakoff a Núñez tvrdí, že jejich argumentaci lze pochopit pouze pomocí objevů posledních desetiletí o způsobu, jakým lidské mozky zpracovávají jazyk a význam. Tvrdí, že jakékoli argumenty nebo kritiky, které nejsou založeny na tomto porozumění, se nemohou zabývat obsahem knihy.[7]

Bylo zdůrazněno, že to není vůbec jasné WMCF stanoví, že tvrzení „inteligentní mimozemský život by měl matematické schopnosti“ je mýtus. K tomu by bylo nutné ukázat, že inteligence a matematické schopnosti jsou oddělitelné, a to se nestalo. Na Zemi se zdá, že inteligence a matematické schopnosti jdou ruku v ruce ve všech formách života, jak zdůraznil Keith Devlin mezi ostatními.[8] Autoři WMCF nevysvětlili, jak by se tato situace (nebo dokonce mohla) lišila kdekoli jinde.

Zdá se, že Lakoff a Núñez také neocenili, do jaké míry intuicionisté a konstruktivisté očekávali svůj útok na Romance (platonické) matematiky. Brouwer, zakladatel intuicionista /konstruktivistický hlediska, ve své disertační práci Na základech matematiky, tvrdil, že matematika je mentální konstrukce, svobodné stvoření mysli a zcela nezávislé na logice a jazyku. Pokračuje v upomínce formalistů na budování verbálních struktur, které jsou studovány bez intuitivní interpretace. Symbolický jazyk by neměla být zaměňována s matematikou; odráží, ale neobsahuje, matematickou realitu.[9]

Shrnutí

WMCF (str. 378–79) končí některými klíčovými body, z nichž řada následuje. Matematika vychází z našich těl a mozků, našich každodenních zkušeností a obav z lidských společností a kultur. To je:

  • Výsledkem normálních kognitivních schopností dospělých, zejména schopnosti koncepční metafory, a jako takové je lidský univerzál. Schopnost konstruovat koncepční metafory je neurologicky založený a umožňuje lidem uvažovat o jedné doméně pomocí jazyka a konceptů jiné domény. Konceptuální metafora je to, co umožnilo matematice růst z každodenních činností, a to, co umožňuje matematice růst neustálým procesem analogie a abstrakce;
  • Symbolický, což nesmírně usnadňuje přesný výpočet;
  • Ne transcendentní, ale výsledek člověka vývoj a kultura, kterému vděčí za svou účinnost. Během zážitku ze světa se v lidské mysli děje spojení s matematickými myšlenkami;
  • Systém lidských konceptů, které mimořádně využívají běžné nástroje lidského poznání;
  • Otevřený výtvor lidských bytostí, které zůstávají odpovědné za jeho udržování a rozšiřování;
  • Jeden z největších produktů kolektivní lidské představivosti a skvělý příklad krásy, bohatství, komplexnosti, rozmanitosti a důležitosti lidských myšlenek.

Kognitivní přístup k formální systémy, jak je popsáno a implementováno v WMCF, se nemusí omezovat pouze na matematiku, ale mělo by se ukázat jako plodné při aplikaci na formální logiku a na formální filozofii jako Edward Zalta je teorie abstraktních objektů. Lakoff a Johnson (1999) plodně využívají kognitivní přístup k přehodnocení velké části filozofie mysli, epistemologie, metafyzika a historie myšlenek.

Viz také

Poznámky pod čarou

  1. ^ Viz zejména tabulka v Mac Lane (1986), str. 35.
  2. ^ de Freitas, Elizabeth; Sinclair, Natalie (2014). Matematika a tělo: Materiální zapletení ve třídě. NY, USA: Cambridge University Press.
  3. ^ A b Schiralli, Martin; Sinclair, Natalie (2003). „Konstruktivní reakce na„ Odkud pochází matematika'". Pedagogická studia z matematiky. 52: 79–91.
  4. ^ Radford, Luis (2009). „Proč jsou gesta důležitá? Smyslné poznání a hmatatelnost matematických významů“. Pedagogická studia z matematiky. 70: 111–126.
  5. ^ Rotman, Brian (2008). Stát se vedle sebe: abeceda, duchové a distribuovaná lidská bytost. Durham: Duke University Press.
  6. ^ A b Jaká je podstata matematiky?, Michael Sutcliffe, uváděný jako odkaz na 1. února 2011
  7. ^ Vidět http://www.unifr.ch/perso/nunezr/warning.html Archivováno 13. Června 2002 v Wayback Machine
  8. ^ Devlin, Keith (2005), Matematický instinkt / Proč jsi matematický génius (spolu s humry, ptáky, kočkami a psy), Thunder's Mouth Press, ISBN  1-56025-839-X
  9. ^ Burton, David M. (2011), Dějiny matematiky / Úvod (7. vydání), McGraw-Hill, str. 712, ISBN  978-0-07-338315-6

Reference

  • Davis, Philip J. a Reuben Hersh, 1999 (1981). Matematická zkušenost. Mariner Books. Nejprve publikoval Houghton Mifflin.
  • George Lakoff, 1987. Ženy, oheň a nebezpečné věci. Univ. of Chicago Press.
  • ------ a Mark Johnson, 1999. Filozofie v těle. Základní knihy.
  • ------ a Rafael Núñez, 2000, Odkud pochází matematika. Základní knihy. ISBN  0-465-03770-4
  • John Randolph Lucas, 2000. Konceptuální kořeny matematiky. Routledge.
  • Saunders Mac Lane, 1986. Matematika: forma a funkce. Springer Verlag.

externí odkazy