Kriyakramakari - Kriyakramakari

Kriyakramakari
AutorSankara Variar a Narayana
ZeměIndie
JazykSanskrt
PředmětAstronomie /Matematika
ŽánrKomentář k Lilavati
Datum publikace
C. 1560

Kriyakramakari (Kriyā-kramakarī) je komplikovaný komentář v Sanskrt napsáno Sankara Variar a Narayana, dva astronomové-matematici patřící k Kerala škola astronomie a matematiky, na Bhaskara II známá učebnice matematiky Lilavati.[1] Kriyakramakari ('Operational Techniques')[2]), spolu s Yuktibhasa z Jyeshthadeva, je jedním z hlavních zdrojů informací o práci a příspěvcích Sangamagrama Madhava, zakladatel společnosti Kerala škola astronomie a matematiky.[3] Také citace uvedené v tomto pojednání vrhají mnoho světla na příspěvky několika matematiků a astronomů, kteří vzkvétali v dřívější době. Existuje několik nabídek připisovaných Govindasvami astronom z 9. století z Keraly.[4]

Sankara Variar (asi 1500 - 1560), první autor Kriyakramakari, byl žákem Nilakantha Somayaji a chrámový asistent z povolání. Byl prominentním členem Kerala školy astronomie a matematiky. Mezi jeho díla patří Yukti-dipika rozsáhlý komentář k Tantrasangraha od Nilakantha Somayaji. Narayana (kolem 1540-1610), druhý autor, byl a Namputiri Bráhman patřící do rodiny Mahishamangalam v Puruvanagrama (v současné době Peruvanam Okres Thrissur v Kerala ).

Sankara Variar napsal svůj komentář k Lilavati až do sloky 199. Variar to dokončil asi do roku 1540, když přestal psát kvůli jiným zájmům. Někdy po své smrti Narayana dokončil komentář ke zbývajícím slokám v Lilavati.

Na výpočtu π

Dle K.V. Sarma kritické vydání Lilavati[5] na základě Kriyakramakari zní sloka 199 Lilavati následovně[6] (Harvardsko-kjótská úmluva se používá k přepisu indických znaků):

vyAse bha-nanda-agni-hate vibhakte kha-bANa-sUryais paridhis sas sUkSmas /
dvAviMzati-ghne vihRte atha zailais sthUlas atha-vA syAt vyavahAra-yogyas //

To by se dalo přeložit následovně;

„Vynásobte průměr 3927 a vydělte produkt 1250; tím získáte přesnější obvod. Nebo vynásobte průměr 22 a vydělte produkt 7; tím získáte přibližný obvod, který odpovídá běžným operacím.“[7]

Vezmeme-li tento verš jako výchozí bod a komentujeme jej, Sanakara Variar ve svém Kriyakrakari vysvětlil veškeré podrobnosti příspěvků Sangamagrama Madhava k získání přesných hodnot π. Sankara Variar komentoval takto:

„Učitel Madhava také zmínil hodnotu obvodu blíže [skutečné hodnotě] než ta:„ Bohové [třicet tři], oči [dva], sloni [osm], hadi [osm], ohně [tři], tři , vlastnosti [tři], Védy [čtyři], naksatras [dvacetyseven], sloni [osm], paže [dva] (2,827,433,388,233) - moudrý řekl, že toto je míra obvodu, když je průměr kruhu devět nikharva [ 10 ^ 11]. "Sankara Variar zde říká, že hodnota Madhavy 2 827 433 388 233/900 000 000 000 je přesnější než„ to ", tj. Přesnější než tradiční hodnota pro π."[8]

Sankara Variar pak cituje sadu čtyř veršů od Madhavy, které předepisují geometrickou metodu pro výpočet hodnoty obvod a kruh. Tato technika zahrnuje výpočet obvody po sobě jdoucích pravidelných vymezených mnohoúhelníky, počínaje a náměstí.

Nekonečná řada pro π

Sankara Variar poté popisuje jednodušší metodu výpočtu hodnoty π díky Madhavovi.

„Jednodušší způsob, jak získat obvod, zmínil (Madhava). To znamená:
Přidejte nebo odečtěte střídavě průměr vynásobený čtyřmi a vydělený v pořadí lichými čísly jako tři, pět atd., K průměru nebo od průměru vynásobeného čtyřmi a vyděleného jednou.
Za předpokladu, že rozdělení je dokončeno vydělením lichým číslem, bez ohledu na sudé číslo nad [vedle] nad [lichým číslem], polovina z toho je multiplikátor posledního [výrazu].
Čtverec tohoto [sudého čísla] zvýšeného o 1 je dělitelem průměru vynásobeným 4 jako dříve. Výsledek z těchto dvou (multiplikátor a dělitel) se sčítá, když je [předchozí člen] záporný, když je odečten kladný.
Výsledkem je přesný obvod. Pokud se dělení opakuje mnohokrát, stane se velmi přesné. “[8]

Chcete-li tyto verše přeložit do moderních matematických notací, nechte C být obvod a D průměr a kruh. Pak Madhavova snazší metoda k nalezení C se redukuje na následující výraz pro C:

C = 4D / 1 - 4D / 3 + 4D / 5 - 4D / 7 + ...

Toto je v zásadě série známá jako Gregory-Leibniz série pro π. Po uvedení této řady na ni Sankara Variar navazuje s popisem komplikovaného geometrického zdůvodnění odvození této řady.[8]

Nekonečná řada pro arkustangens

Tato teorie je dále rozvíjena v Kriyakramakari. Zabývá se problémem odvození podobné řady pro výpočet libovolného oblouk kruhu. Tím se získá nekonečná řada rozšíření arkustangens funkce. Tento výsledek je také připisován Madhavovi.

„Nyní lze stejným argumentem [určit] oblouk požadovaného Sinu [udělat]. To je [takto]:
Prvním výsledkem je produkt požadovaného Sinu a poloměr dělený kosinem. Když člověk učinil čtverec Sinu multiplikátorem a čtverec Kosinu dělitelem,
nyní je třeba určit skupinu výsledků z [předchozích] výsledků počínaje prvním. Když jsou tyto rozděleny v pořadí lichými čísly 1, 3 atd.,
a když jeden odečte součet sudých [-číslovaných výsledků] od součtu lichých], [to] by měl být oblouk. Zde je požadováno, aby menší ze Sinu a Kosinu byl považován za požadovaný [Sine].
Jinak by nedošlo k ukončení výsledků, i kdyby byly opakovaně [počítány]. “[8]

Výše uvedené vzorce uvádějí, že pokud pro libovolné oblouk θ a kruh z poloměr R sinus a kosinus jsou známé a pokud předpokládáme, že sinθ

θ = (R sin θ) / (1 cos θ) - (R sin3 θ) / (3 cos3 θ) + (R sin5 θ) / (5 kos5 θ) - (R sin7 θ) / (7 kos7 θ) +. . .

Viz také

Reference

  1. ^ Sternbach, Ludwik. „Recenze Lilavatiho z Bhaskaracaryi s Kriyakramakari“ (PDF). Journal of the American Oriental Society. Archivovány od originál (PDF) dne 27. července 2011. Citováno 5. března 2011.
  2. ^ Joseph, George Gheverghese. „Vývoj nekonečných sérií ve třech kulturách - pozadí a vnitřní úspěchy“. Citováno 5. března 2011.
  3. ^ Plofker, Kim. Matematika v Indii. Princeton: Princeton University Press. str. 221–248. ISBN  978-0-691-12067-6.
  4. ^ Hayashi, Takao (2000). "Govindasvamiho aritmetická pravidla uvedená v Kriyakramakari ze Sankary a Narayany" (PDF). Indian Journal of History of Science. 35 (3): 189–231. Archivovány od originál (PDF) dne 21. července 2011. Citováno 5. března 2011.
  5. ^ Sarma, K.V. (1975). Lilavati upravila komentář, Kriyakramakari ze Sankary a Narayany. Hoshiarpur: Vishveshvaranand Vedic Research Institute.
  6. ^ Hayashi, Takao. „E-text Lilavati z Bhaskary II“. Citováno 5. března 2011.
  7. ^ John, Taylor (1816). Lilawati nebo pojednání o aritmetice a geometrii. p. 94.
  8. ^ A b C d Plofker, Kim (2009). Matematika v Indii. Princeton: Princeton University Press. str. 221–248. ISBN  978-0-691-12067-6.