Brahmaguptův vzorec - Brahmaguptas formula - Wikipedia

v Euklidovská geometrie, Brahmagupta vzorec se používá k vyhledání plocha ze všech cyklický čtyřúhelník (ten, který lze vepsat do kruhu) vzhledem k délce stran.

Vzorec

Brahmaguptův vzorec dává plochu $K.$ a cyklický čtyřúhelník jehož strany mají délky $A$ , $b$ , $C$ , $d$ tak jako

{ displaystyle K = { sqrt {(s-a) (s-b) (s-c) (s-d)}}}

kde $s$ , semiperimetr, je definován jako

{ displaystyle s = { frac {a + b + c + d} {2}}.}

Tento vzorec zobecňuje Heronův vzorec pro oblast a trojúhelník. Trojúhelník lze považovat za čtyřúhelník s jednou stranou nulové délky. Z tohoto pohledu, as $d$ blíží nule, cyklický čtyřúhelník konverguje do cyklického trojúhelníku (všechny trojúhelníky jsou cyklické) a Brahmaguptův vzorec se zjednodušuje na Heronův vzorec.

Pokud není použit semiperimetr, je Brahmaguptův vzorec

{ displaystyle K = { frac {1} {4}} { sqrt {(-a + b + c + d) (a-b + c + d) (a + b-c + d) (a + b + cd)}}.}

Další ekvivalentní verze je

{ displaystyle K = { frac { sqrt {(a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2}) ^ {2} + 8abcd-2 (a ^ {4 } + b ^ {4} + c ^ {4} + d ^ {4})}} {4}} cdot}

Důkaz

Diagram pro referenci

Trigonometrický důkaz

Zde se používají notace na obrázku vpravo. Oblast $K.$ cyklického čtyřúhelníku se rovná součtu oblastí $△ ADB$ a $△ BDC$ :

{ displaystyle = { frac {1} {2}} pq sin A + { frac {1} {2}} rs sin C.}

Ale od $abeceda$ je cyklický čtyřúhelník, $∠ DAB = 180° - ∠ DCB$ . Proto $hřích A = hřích C$ . Proto,

{ displaystyle K = { frac {1} {2}} pq sin A + { frac {1} {2}} rs sin A}

{ displaystyle K ^ {2} = { frac {1} {4}} (pq + rs) ^ {2} sin ^ {2} A}

{ displaystyle 4K ^ {2} = (pq + rs) ^ {2} (1- cos ^ {2} A)}

Řešení pro společnou stránku $DB$ , v $△ ADB$ a $△ BDC$ , zákon kosinů dává

{ displaystyle p ^ {2} + q ^ {2} -2pq cos A = r ^ {2} + s ^ {2} -2rs cos C.}

Střídání $cos C = -cos A$ (od úhlů $A$ a $C$ jsou doplňkový ) a přeskupení, máme

{ displaystyle 2 (pq + rs) cos A = p ^ {2} + q ^ {2} -r ^ {2} -s ^ {2}.}

Dosazením do rovnice pro plochu,

{ displaystyle 4K ^ {2} = (pq + rs) ^ {2} - { frac {1} {4}} (p ^ {2} + q ^ {2} -r ^ {2} -s ^ {2}) ^ {2}}

{ displaystyle 16K ^ {2} = 4 (pq + rs) ^ {2} - (p ^ {2} + q ^ {2} -r ^ {2} -s ^ {2}) ^ {2}. }

Pravá strana má tvar $A 2 - b 2 = (A - b)(A + b)$ a proto lze psát jako

{ displaystyle [2 (pq + rs) -p ^ {2} -q ^ {2} + r ^ {2} + s ^ {2}] [2 (pq + rs) + p ^ {2} + q ^ {2} -r ^ {2} -s ^ {2}]}

což při přeskupení výrazů v hranatých závorkách vede

{ displaystyle = [(r + s) ^ {2} - (p-q) ^ {2}] [(p + q) ^ {2} - (r-s) ^ {2}]}

{ displaystyle = (q + r + s-p) (p + r + s-q) (p + q + s-r) (p + q + r-s).}

Představujeme semiperimetr $S = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} p + q + r + s / 2$ ,

{ displaystyle 16K ^ {2} = 16 (S-p) (S-q) (S-r) (S-s).}

Vezmeme-li druhou odmocninu, dostaneme

{ displaystyle K = { sqrt {(S-p) (S-q) (S-r) (S-s)}}}

Non-trigonometrický důkaz

Alternativní, trigonometrický důkaz využívá dvě aplikace Heronova vzorce oblasti trojúhelníku na podobných trojúhelnících.^[1]

Rozšíření na necyklické čtyřstěny

V případě necyklických čtyřúhelníků lze Brahmaguptův vzorec rozšířit zvážením míry dvou protilehlých úhlů čtyřúhelníku:

{ displaystyle K = { sqrt {(s-a) (s-b) (s-c) (s-d) -abcd cos ^ {2} theta}}}

kde $θ$ je polovina součtu jakýchkoli dvou protilehlých úhlů. (Volba, která dvojice protilehlých úhlů je irelevantní: pokud se vezmou další dva úhly, polovina jejich součtu je $180° - θ$ . Od té doby $cos (180 ° - θ) = -cos θ$ , my máme $cos 2 (180° - θ) = cos 2 θ$ .) Tento obecnější vzorec je známý jako Bretschneiderův vzorec.

Je to vlastnost cyklické čtyřstěny (a nakonec vepsané úhly ) tyto opačné úhly čtyřúhelníkového součtu na 180 °. V důsledku toho, v případě vepsaného čtyřúhelníku, $θ$ je 90 °, odkud pochází výraz

{ displaystyle abcd cos ^ {2} theta = abcd cos ^ {2} left (90 ^ { circ} right) = abcd cdot 0 = 0,}

dává základní formu Brahmaguptovy formule. Z druhé rovnice vyplývá, že plocha cyklického čtyřúhelníku je maximální možnou oblastí pro jakýkoli čtyřúhelník s danými délkami stran.

Související vzorec, který prokázal Coolidge, také udává plochu obecného konvexního čtyřúhelníku. to je^[2]

{ displaystyle K = { sqrt {(s-a) (s-b) (s-c) (s-d) - textový styl {1 nad 4} (ac + bd + pq) (ac + bd-pq)}}}

kde $p$ a $q$ jsou délky úhlopříček čtyřúhelníku. V cyklický čtyřúhelník, $pq = ac + bd$ podle Ptolemaiova věta a vzorec Coolidge se redukuje na Brahmaguptův vzorec.

Související věty

Heronův vzorec pro oblast a trojúhelník je zvláštní případ získaný převzetím $d = 0$ .
Vztah mezi obecnou a rozšířenou formou Brahmaguptovy formule je podobný tomu, jak zákon kosinů rozšiřuje Pythagorova věta.
Pro oblast obecných polygonů v kruzích existují stále komplikovanější uzavřené vzorce, jak je popsáno v Maley et al.^[3]

Reference

^ Hess, Albrecht, „Dálnice z Heronu do Brahmagupty“, Fórum Geometricorum 12 (2012), 191–192.
^ J. L. Coolidge, „Historicky zajímavý vzorec pro oblast čtyřúhelníku“, Americký matematický měsíčník, 46 (1939), str. 345-347.
^ Maley, F. Miller; Robbins, David P .; Roskies, Julie (2005). "V oblastech cyklických a semicyklických polygonů". Pokroky v aplikované matematice. 34 (4): 669–689. arXiv:matematika / 0407300. doi:10.1016 / j.aam.2004.09.008.

externí odkazy

Brahmaguptův vzorec na ProofWiki
Weisstein, Eric W. „Brahmaguptův vzorec“. MathWorld.

Tento článek včlení materiál z důkazu Brahmaguptovy formule PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

[1] Hess, Albrecht, „Dálnice z Heronu do Brahmagupty“, Fórum Geometricorum 12 (2012), 191–192.

[2] J. L. Coolidge, „Historicky zajímavý vzorec pro oblast čtyřúhelníku“, Americký matematický měsíčník, 46 (1939), str. 345-347.

[3] Maley, F. Miller; Robbins, David P .; Roskies, Julie (2005). "V oblastech cyklických a semicyklických polygonů". Pokroky v aplikované matematice. 34 (4): 669–689. arXiv:matematika / 0407300. doi:10.1016 / j.aam.2004.09.008.

[1]

[2]

[3]