Steiner – Lehmusova věta - Steiner–Lehmus theorem

The Steiner – Lehmusova věta, teorém v elementární geometrii, byl formulován pomocí C. L. Lehmus a následně prokázáno Jakob Steiner. Uvádí:

Každý trojúhelník se dvěma úhlové přímky stejné délky je rovnoramenný.

Věta byla poprvé zmíněna v roce 1840 v dopise C. L. Lehmusa C. Sturm, ve kterém požádal o čistě geometrický důkaz. C. Sturm předal žádost dalším matematikům a Jakob Steiner byl mezi prvními, kdo poskytl řešení. Věta se od té doby stala poněkud populárním tématem elementární geometrie s poněkud pravidelným vydáváním článků o ní.[1][2][3]

Přímé důkazy

Steiner-Lehmusova věta může být prokázána pomocí elementární geometrie prokázáním kontrapozitivního tvrzení. Existují určité spory ohledně toho, zda je možný „přímý“ důkaz; údajně byly publikovány „přímé“ důkazy, ale ne každý souhlasí s tím, že tyto důkazy jsou "Například pro úhlové půlící čáry existují jednoduché algebraické výrazy, pokud jde o strany trojúhelníku." Rovnice dvou z těchto výrazů a algebraická manipulace s rovnicí má za následek součin dvou faktorů, které se rovnají 0, ale pouze jeden z nich (A − b) se může rovnat 0 a druhý musí být kladný. Tím pádemA = b. To však nemusí být považováno za přímé, protože je třeba nejprve argumentovat, proč druhý faktor nemůže být 0.John Conway[4]tvrdí, že nemůže existovat žádný důkaz „pronásledování rovnosti“, protože věta (uvedená algebraicky) nedrží nad libovolným polem, ani když jsou jako parametry povolena záporná reálná čísla. Přesná definice „přímého důkazu“ uvnitř obou klasické a intuicionistická logika poskytl Victor Pambuccian[5], který dokázal, aniž by předložil přímé důkazy, že přímé důkazy musí existovat jak v klasické logice, tak v intuitivní logice.

Poznámky

  1. ^ Coxeter, H. S. M. a Greitzer, S. L. „Steiner – Lehmusova věta.“ §1.5 v Geometrii Revisited. Washington, DC: Matematika. Doc. Amer., Str. 14–16, 1967.
  2. ^ Diane a Roy Dowling: Trvalé dědictví Ludolpha Lehmusa. Manitoba Math Links - Svazek II - Vydání 3, jaro 2002
  3. ^ Barbara, Roy, „Steiner – Lehmus, znovu navštívený“, Matematický věstník 91, listopad 2007, s. 528–529 (JSTOR )
  4. ^ Údajná nemožnost „přímého“ důkazu Steiner-Lehmusovy věty
  5. ^ Pambuccian, Victor (2018), „Negace a rozpor bez důkazu o Steiner-Lehmusově větě“, Deník Notre Dame formální logiky, 59: 75--90.

Odkazy a další čtení

  • John Horton Conway Alex Ryba: Steiner-Lehmusova věta o úhlu bisektoru. In: Mircea Pitici (Hrsg.): Nejlepší psaní o matematice 2015. Princeton University Press, 2016, ISBN  9781400873371, str. 154-166
  • Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometrie podle její historie. Springer, 2012, s. 224-225
  • David Beran: SSA a Steiner-Lehmusova věta. Učitel matematiky, sv. 85, č. 5 (květen 1992), str. 381-383 (JSTOR )
  • C. F. Parry: Variace na téma Steiner-Lehmus. Matematický věstník, sv. 62, č. 420 (červen 1978), str. 89-94 (JSTOR )
  • Mordechai Lewin: K Steiner-Lehmusově větě. Mathematics Magazine, Vol. 47, č. 2 (březen 1974), str. 87-89 (JSTOR )
  • S. Abu-Saymeh, M. Hajja, H. A. ShahAli: Další variace na téma Steiner-Lehmus. Forum Geometricorum 8, 2008, s. 131-140
  • V. Pambuccian, H. Struve, R. Struve: Steiner-Lehmusova věta a trojúhelníky s kongruentními mediány jsou rovnoramenné útvary ve slabých geometriích. Beitraege zur Algebra und Geometrie 57 (2016), č. 2, 483–497

externí odkazy