Calabi trojúhelník - Calabi triangle

The Calabi trojúhelník je speciální trojúhelník našel Eugenio Calabi a je definována jeho vlastností mít tři různá umístění pro největší čtverec, který obsahuje.^[1] Je to tupý rovnoramenný trojúhelník s iracionální ale algebraický poměr mezi délkami jeho stran a jeho základnou.

Definice

Zvažte největší náměstí které lze umístit do libovolného trojúhelníku. Je možné, že takový čtverec může být umístěn v trojúhelníku více než jedním způsobem. Pokud lze největší takový čtverec umístit třemi různými způsoby, pak je trojúhelník buď rovnostranný trojúhelník nebo trojúhelník Calabi.^[2][3] Calabiho trojúhelník tedy může být definován jako trojúhelník, který není rovnostranný a má tři umístění pro svůj největší čtverec.

Tvar

Calabi trojúhelník je rovnoramenný. Poměr základny k jedné noze je

${ displaystyle x = {1 přes 3 cdot 2 ^ {2/3}} { bigg (} 2 ^ {2/3} + { sqrt [{3}] {- 23 + 3i { sqrt { 237}}}} + { sqrt [{3}] {- 23-3i { sqrt {237}}}} { bigg)}}$

což se blíží k 1,55138752454. Ve smyslu trigonometrické funkce, to je

${ displaystyle x = {1 nad 3} { bigg (} 1 + { sqrt {22}} cos { bigg (} {1 nad 3} cos ^ {- 1} { bigg (} - {23 nad 11 { sqrt {22}}} { bigg)} { bigg)} { bigg)}.}$

Je to největší klad vykořenit z

${ displaystyle 2x ^ {3} -2x ^ {2} -3x + 2 = 0}$

a má pokračující zlomek reprezentace [1, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 1, 3, 1, 1, 390, ...].^[2]

Calabi trojúhelník je tupý se základními úhly 39,1320261 ... ° a třetím úhlem 101,7359477 ... °.

Viz také

• Největší malý mnohoúhelník

Reference