Přísně pozitivní opatření - Strictly positive measure

v matematika, přísná pozitivita je koncept v teorie míry. Intuitivně, a přísně pozitivní míra je ten, který je „nikde nula“, nebo který je nula „pouze v bodech“.

Definice

Nechť (X, T) být a Hausdorff topologický prostor a nechme být σ-algebra na X který obsahuje topologii T (takže každý otevřená sada je měřitelná množina, a Σ je přinejmenším stejně v pořádku jako Borel σ-algebra na X). Pak opatření μ na (X, Σ) se volá přísně pozitivní pokud každá neprázdná otevřená podmnožina X má přísně pozitivní míru.

Ve více zhuštěné notaci μ je přísně pozitivní kdyby a jen kdyby

Příklady

  • Počítání opatření na libovolné sadě X (s jakoukoli topologií) je přísně pozitivní.
  • Diracova míra není obvykle přísně pozitivní, pokud není topologie T je zvláště „hrubý“ (obsahuje „několik“ sad). Například, δ0 na skutečná linie R s jeho obvyklou Borel topologií a σ-algebra není striktně pozitivní; pokud však R je vybaven triviální topologií T = {∅, R}, pak δ0 je přísně pozitivní. Tento příklad ilustruje důležitost topologie při určování přísné pozitivity.
  • Gaussova míra na Euklidovský prostor Rn (s jeho Borel topologií a σ-algebra) je přísně pozitivní.
    • Wienerovo opatření v prostoru spojitých cest v Rn je přísně pozitivní míra - Wienerova míra je příkladem Gaussovy míry na nekonečně dimenzionálním prostoru.
  • Lebesgueovo opatření na Rn (s Borelovou topologií a σ-algebrou) je přísně pozitivní.
  • The triviální opatření nikdy není přísně pozitivní, bez ohledu na prostor X nebo použitá topologie, kromě případů, kdy X je prázdný.

Vlastnosti

  • Li μ a ν jsou dvě míry na měřitelném topologickém prostoru (X, Σ), s μ přísně pozitivní a také absolutně kontinuální s ohledem na ν, pak ν je také přísně pozitivní. Důkaz je jednoduchý: nechť U ⊆ X být libovolná otevřená množina; od té doby μ je přísně pozitivní, μ(U)> 0; absolutní kontinuitou, ν(U)> 0 také.
  • Proto je přísná pozitivita neměnný s ohledem na rovnocennost opatření.

Viz také