Převládající a plaché sady - Prevalent and shy sets

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červen 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, pojmy prevalence a plachost jsou pojmy „téměř všude " a "změřit nulu "které se dobře hodí ke studiu nekonečný -dimenzionální mezery a využít překlad-invariant Lebesgueovo opatření na konečných trojrozměrných reálných prostorech. Termín "plachý" navrhl americký matematik John Milnor.

Definice

Prevalence a plachost

Nechat PROTI být nemovitý topologický vektorový prostor a nechte S být Borel měřitelný podmnožina z PROTI. S se říká, že je převládající pokud existuje konečný trojrozměrný podprostor P z PROTI, volal sada sondy, tak, že pro všechny proti ∈ PROTI my máme proti + str ∈ S pro λ_P-téměř všechny str ∈ P, kde λ_P označuje matný (P) -dimenzionální Lebesgueovo opatření na P. Jinými slovy, pro každého proti ∈ PROTI, Lebesgue - téměř každý bod nadrovina proti + P leží v S.

Podmnožina non-Borel PROTI se říká, že je převládající, pokud obsahuje převládající podmnožinu Borel.

Borel podmnožina PROTI se říká, že je plachý Pokud je to doplněk je převládající; podmořská podmnožina jiné než Borel PROTI se říká, že je plachý, pokud je obsažen v plaché Borelově podmnožině.

Alternativní a poněkud obecnější definicí je definice sady S být plachý, pokud existuje a příčná míra pro S (jiné než triviální opatření ).

Místní prevalence a plachost

Podmnožina S z PROTI se říká, že je místně plachý pokud každý bod proti ∈ PROTI má sousedství N_proti jehož průsečík s S je plachá sada. S se říká, že je místně převládající pokud je jeho doplněk místně plachý.

Věty zahrnující prevalenci a plachost

• Li S je plachý, pak také každá jeho podmnožina S a každý překlad S.
• Každý stydlivý Borel S připouští příčnou míru, která je konečná a má kompaktní Podpěra, podpora. Kromě toho lze toto opatření zvolit tak, aby jeho podpora byla libovolně malá průměr.
• Jakékoli konečné nebo počitatelný svaz plachých sad je také plachý.
• Jakákoli plachá sada je také místně plachá. Li PROTI je oddělitelný prostor, pak každá místně plachá podmnožina PROTI je také plachý.
• Podmnožina S z n-dimenzionální Euklidovský prostor Rⁿ je plachý kdyby a jen kdyby má Lebesgueovu míru nula.
• Jakákoli převládající podmnožina S z PROTI je hustý v PROTI.
• Li PROTI je nekonečně dimenzionální, pak každá kompaktní podmnožina PROTI je plachý.

V následujícím textu „téměř každý“ znamená, že uvedená vlastnost obsahuje převládající podmnožinu daného prostoru.

• Skoro každý spojitá funkce z interval [0, 1] do skutečná linie R je nikde nedefinovatelné; tady prostor PROTI je C([0, 1]; R) s topologií vyvolanou nadřazená norma.
• Téměř každá funkce F v L^str prostor L¹([0, 1]; R) má vlastnost, která

${displaystyle int _ {0} ^ {1} f (x), mathrm {d} xeq 0.}$

Je zřejmé, že stejná vlastnost platí pro prostory k-krát diferencovatelné funkce C^k([0, 1]; R).

• Pro 1 <str ≤ + ∞, téměř každá sekvence A = (A_n)_n∈N v ℓ^str má vlastnost, že série

${displaystyle sum _ {nin mathbb {N}} a_ {n}}$

rozchází se.

• Prevalenční verze Whitneyova veta: Nechte M být kompaktní potrubí třídy C¹ a rozměr d obsaženo v Rⁿ. Pro 1 ≤k ≤ + ∞, téměř každý C^k funkce F : Rⁿ → R^2d+1 je vkládání z M.
• Li A je kompaktní podmnožina Rⁿ s Hausdorffova dimenze d, m ≥ da 1 ≤k ≤ + ∞, tedy téměř pro všechny C^k funkce F : Rⁿ → R^m, F(A) má také Hausdorffův rozměr d.
• Pro 1 ≤k ≤ + ∞, téměř každý C^k funkce F : Rⁿ → Rⁿ má tu vlastnost, že všechny jeho periodické body jsou hyperbolické. Zejména to platí pro celé období str body pro jakékoli celé číslo str.

Reference

• Hunt, Brian R. (1994). "Prevalence spojitých nikde nediferencovatelných funkcí". Proc. Amer. Matematika. Soc. Americká matematická společnost. 122 (3): 711–717. doi:10.2307/2160745. JSTOR  2160745.
• Hunt, Brian R. a Sauer, Tim a Yorke, James A. (1992). „Prevalence: translation-invariant" almost every "on the infinite-dimensional spaces". Býk. Amer. Matematika. Soc. (N.S.). 27 (2): 217–238. arXiv:matematika / 9210220. doi:10.1090 / S0273-0979-1992-00328-2.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)