Hypotetický úsudek - Hypothetical syllogism

v klasická logika, hypotetický úsudek je platný forma argumentu což je sylogismus mít a podmíněné prohlášení pro jednu nebo obě její prostory.

Příklad v Angličtina:

Pokud se neprobudím, nemohu jít do práce.

Pokud nemohu jít do práce, nedostanu výplatu.

Pokud se tedy neprobudím, nedostanu zaplaceno.

Termín pochází z Theophrastus.^[1]

Výroková logika

v výroková logika, hypotetický úsudek je název platného pravidlo závěru (často zkráceno HS a někdy také nazývaný řetězový argument, řetězové pravidlo, nebo princip tranzitivita implikace). Hypotetický úsudek je jedním z pravidel v klasická logika to není vždy jisté systémy z neklasická logika.^{[potřebný příklad ]} Pravidlo může být uvedeno:

{ displaystyle { frac {P až Q, Q až R} { proto P až R}}}

kde platí pravidlo, že kdykoli ${ displaystyle P až Q}$ ", a " ${ displaystyle Q až R}$ "se objeví na řádcích a důkaz, " ${ displaystyle P to R}$ "lze umístit na následující řádek.

Hypotetický sylogismus úzce souvisí a je podobný disjunktivní úsudek, v tom, že se také jedná o typ úsudku, a také název pravidla odvození.

Formální notace

The hypotetický úsudek pravidlo odvození může být napsáno v následující notace, která se rovná specializaci pravidla cut:

{ displaystyle { frac {P vdash Q quad Q vdash R} {P vdash R}}}

kde ${ displaystyle vdash}$ je metalogické symbol a ${ displaystyle A vdash B}$ znamenající, že ${ displaystyle B}$ je syntaktický důsledek z ${ displaystyle A}$ v některých logický systém;

a vyjádřeno jako pravdivě funkční tautologie nebo teorém z výroková logika:

{ displaystyle ((P až Q) přistát (Q až R)) až (P až R)}

kde ${ displaystyle P}$ , ${ displaystyle Q}$ , a ${ displaystyle R}$ jsou návrhy vyjádřené v některých formální systém.

Důkaz


Krok	Tvrzení	Derivace
1	${ displaystyle (P až Q) přistát (Q až R)}$	Dáno
2	${ Displaystyle ( neg P lor Q) land ( neg Q lor R)}$	Materiální implikace
3	${ Displaystyle (( neg P lor Q) land neg Q) lor (( neg P lor Q) land R)}$	Distribuce
4	${ displaystyle (( neg P lor Q) země neg Q) lor R}$	Odstranění spojení (3)
5	${ Displaystyle (( neg P land neg Q) lor (Q land neg Q)) lor R}$	Distribuce
6	${ displaystyle neg (Q land neg Q)}$	Zákon o nerozporu
7	${ displaystyle ( neg P land neg Q) lor R}$	Disjunktivní úsudek (5,6)
8	${ displaystyle neg P lor R}$	Odstranění spojení (7)
9	${ displaystyle P to R}$	Materiální implikace

Alternativní formy

Alternativní forma hypotetického úsudku, užitečnější pro klasické výrokové systémy s implikací a negací (tj. bez symbolu spojky), je následující:

(HS1)

{ displaystyle (Q až R) až ((P až Q) až (P až R))}

Ještě další forma je:

(HS2)

{ Displaystyle (P až Q) až ((Q až R) až (P až R))}

Důkaz

Níže je uveden příklad důkazů těchto vět v takových systémech. Používáme dva ze tří axiomů použitých v jeden z populárních systémů popsal Jan Łukasiewicz Důkazy se opírají o dva ze tří axiomů tohoto systému:

(A1)

{ Displaystyle phi to left ( psi to phi right)}

(A2)

{ Displaystyle left ( phi to left ( psi rightarrow xi right) right) to left ( left ( phi to psi right) to left ( phi do xi doprava) doprava)}

Důkaz (HS1) je následující:

(1)

{ Displaystyle ((p to (q to r)) to ((p to q) to (p to r))) to ((q to r) to ((p to (q to r)) to ((p to q) to (p to r))))}

(instance (A1))

(2)

{ Displaystyle (p až (q až r)) až ((p až q) až (p až r))}

(instance (A2))

(3)

{ Displaystyle (q až r) až ((p až (q až r)) až ((p až q) až (p až r)))}

(od (1) a (2) od modus ponens )

(4)

{ Displaystyle ((q až r) až ((p až (q až r)) až ((p až q) až (p až r)))) až (((q to r) to (p to (q to r))) to ((q to r) to ((p to q) to (p to r))))}

(instance (A2))

(5)

{ Displaystyle ((q až r) až (p až (q až r))) až ((q až r) až ((p až q) až (p až r) ))}

(z (3) a (4) o modus ponens )

(6)

{ Displaystyle (q až r) až (p až (q až r))}

(instance (A1))

(7)

{ Displaystyle (q až r) až ((p až q) až (p až r))}

(od (5) a (6) od modus ponens )

Je uveden důkaz (HS2) tady.

Jako metateorem

Kdykoli máme dvě věty o tvaru ${ displaystyle T_ {1} = (Q až R)}$ a ${ displaystyle T_ {2} = (P až Q)}$ , můžeme dokázat ${ displaystyle (P až R)}$ podle následujících kroků: