Seznam Hilbertových systémů - List of Hilbert systems

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Seznam Hilbertových systémů"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Září 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Tento článek obsahuje seznam ukázek Hilbertův styl deduktivní systémy pro výroková logika.

Klasické výrokové systémy

Klasický Propoziční počet je standardní výroková logika. Jeho zamýšlená sémantika je bivalentní a jeho hlavní vlastností je, že je silně dokončeno, jinak se říká, že kdykoli vzorec sémanticky vyplývá ze sady prostor sémanticky, vyplývá také z této sady syntakticky. Bylo formulováno mnoho různých ekvivalentních úplných systémů axiomu. Liší se výběrem základních spojky použité, což ve všech případech musí být funkčně kompletní (tj. schopen vyjádřit složením vše n-ary pravdivostní tabulky ) a v přesném úplném výběru axiomů nad zvoleným základem spojek.

Důsledky a negace

Formulace zde používají implikaci a negaci ${ displaystyle { to, neg }}$ jako funkčně kompletní sada základních spojek. Každý logický systém vyžaduje alespoň jednu nululu pravidlo závěru. Klasický výrokový kalkul obvykle používá pravidlo modus ponens:

${ displaystyle A, A až B vdash B.}$

Předpokládáme, že toto pravidlo je zahrnuto ve všech níže uvedených systémech, pokud není uvedeno jinak.

Frege axiomový systém:^[1]

${ displaystyle A do (B do A)}$

${ displaystyle (A až (B až C)) až ((A až B) až (A až C))}$

${ displaystyle (A až B) až ( neg B až neg A)}$

${ displaystyle neg neg A až A}$

${ displaystyle A až neg neg A}$

Hilbert axiomový systém:^[1]

${ displaystyle A do (B do A)}$

${ displaystyle (A až (B až C)) až (B až (A až C))}$

${ Displaystyle (B až C) až ((A až B) až (A až C))}$

${ displaystyle A to ( neg A až B)}$

${ displaystyle (A až B) až (( neg A až B) až B)}$

Łukasiewicz Axiomové systémy:^[1]

• Za prvé:

${ displaystyle (A až B) až ((B až C) až (A až C))}$

${ displaystyle ( neg A na A) na A}$

${ displaystyle A to ( neg A až B)}$

• Druhý:

${ displaystyle ((A až B) až C) až ( neg A až C)}$

${ displaystyle ((A až B) až C) až (B až C)}$

${ displaystyle ( neg A až C) až ((B až C) až ((A až B) až C))}$

• Třetí:

${ displaystyle A do (B do A)}$

${ displaystyle (A až (B až C)) až ((A až B) až (A až C))}$

${ displaystyle ( neg A až neg B) až (B až A)}$

• Čtvrtý:^{[Citace je zapotřebí ]}

${ displaystyle (A až B) až ((B až C) až (A až C))}$

${ displaystyle A to ( neg A až B)}$

${ displaystyle ( neg A až B) až ((B až A) až A)}$

Łukasiewicz a Tarski axiomový systém:^[2]

${ Displaystyle [(A až (B až A)) ([( neg C až (D až neg E)) až [(C až (D až F)) ((E to D) to (E to F))]] to G)] to (H to G)}$

Meredith axiomový systém:

${ Displaystyle (((((A až B) až ( neg C až neg D)) až C) až E) až ((E až A) až (D až A) )}$

Mendelson axiomový systém:^[3]

${ displaystyle A do (B do A)}$

${ displaystyle (A až (B až C)) až ((A až B) až (A až C))}$

${ displaystyle ( neg A až neg B) až (( neg A až B) až A)}$

Russell axiomový systém:^[1]

${ displaystyle A do (B do A)}$

${ displaystyle (A až B) až ((B až C) až (A až C))}$

${ displaystyle (A až (B až C)) až (B až (A až C))}$

${ displaystyle neg neg A až A}$

${ displaystyle (A to neg A) to neg A}$

${ displaystyle (A to neg B) to (B to neg A)}$

Sobociński Axiomové systémy:^[1]

• Za prvé:

${ displaystyle neg A do (A do B)}$

${ displaystyle A do (B do (C do A))}$

${ displaystyle ( neg A až C) až ((B až C) až ((A až B) až C))}$

• Druhý:

${ displaystyle (A až B) až ( neg B až (A až C))}$

${ displaystyle A do (B do (C do A))}$

${ displaystyle ( neg A až B) až ((A až B) až B)}$

Implikace a falsum

Namísto negace lze klasickou logiku formulovat také pomocí funkčně úplné sady ${ displaystyle { to, bot }}$ spojek.

Tarski -Bernays –Wajsberg systém axiomu:

${ displaystyle (A až B) až ((B až C) až (A až C))}$

${ displaystyle A do (B do A)}$

${ displaystyle ((A k B) k A) k A}$

${ displaystyle bot do A}$

Kostel axiomový systém:

${ displaystyle A do (B do A)}$

${ displaystyle (A až (B až C)) až ((A až B) až (A až C))}$

${ displaystyle ((A to bot) to bot) to A}$

Meriomovy axiomové systémy:

• Za prvé:^[4][5][6]

${ Displaystyle (((((A až B) až (C až bot)) až D) až E) až ((E až A) až (C až A))}$

• Druhý:^[4]

${ Displaystyle ((A až B) až (( bot až C) až D)) až ((D až A) až (E až (F až A)))}$

Negace a disjunkce

Namísto implikace lze klasickou logiku formulovat také pomocí funkčně úplné sady ${ displaystyle { neg, lor }}$ spojek. Tyto formulace používají následující pravidlo závěru;

${ displaystyle A, neg A lor B vdash B.}$

Systém axiomů Russell – Bernays:

${ Displaystyle neg ( neg B lor C) lor ( neg (A lor B) lor (A lor C))}$

${ displaystyle neg (A lor B) lor (B lor A)}$

${ displaystyle neg A lor (B lor A)}$

${ displaystyle neg (A lor A) lor A}$

Meriomovy axiomové systémy:^[7]

• Za prvé:

${ Displaystyle neg ( neg ( neg A lor B) lor (C lor (D lor E))) lor ( neg ( neg D lor A) lor (C lor ( E lor A)))}$

• Druhý:

${ Displaystyle neg ( neg ( neg A lor B) lor (C lor (D lor E))) lor ( neg ( neg E lor D) lor (C lor ( A lor D)))}$

• Třetí:

${ Displaystyle neg ( neg ( neg A lor B) lor (C lor (D lor E))) lor ( neg ( neg C lor A) lor (E lor ( D lor A)))}$

Dvojí klasickou výrokovou logiku lze definovat pouze pomocí konjunkce a negace.

Shefferova mrtvice

Protože Shefferova mrtvice (také známý jako operátor NAND) je funkčně kompletní, lze jej použít k vytvoření celé formulace výrokového počtu. Formulace NAND používají tzv. Pravidlo odvození Nicode Modus Ponens:

${ displaystyle A, A mid (B mid C) vdash C.}$

Nicodův axiomový systém:^[4]

${ displaystyle (A mid (B mid C)) mid [(E mid (E mid E)) mid ((D mid B) mid [(A mid D) mid (A mid D)])]}}$

Łukasiewiczovy axiomové systémy:^[4]

• Za prvé:

${ displaystyle (A mid (B mid C)) mid [(D mid (D mid D)) mid ((D mid B) mid [(A mid D) mid (A mid D)])]}}$

• Druhý:

${ displaystyle (A mid (B mid C)) mid [(A mid (C mid A)) mid ((D mid B) mid [(A mid D) mid (A mid D)])]}}$

Wajsbergův axiomový systém:^[4]

${ displaystyle (A mid (B mid C)) mid [((D mid C) mid [(A mid D) mid (A mid D)]) mid (A mid ( A mid B))]}$

Argonne systémy axiomu:^[4]

• Za prvé:

${ displaystyle (A mid (B mid C)) mid [(A mid (B mid C)) mid ((D mid C) mid [(C mid D) mid (A mid D)])]}}$

• Druhý:

${ displaystyle (A mid (B mid C)) mid [([(B mid D) mid (A mid D)] mid (D mid B)) mid ((C mid B) střední A)]}$^[8]

Počítačová analýza společnosti Argonne odhalila> 60 dalších systémů s jednou axiomy, které lze použít k formulování výrokového počtu NAND.^[6]

Implikační výrokový kalkul

The implicitní výrokový kalkul je fragment klasického výrokového počtu, který připouští pouze implikaci spojovací. Není funkčně kompletní (protože mu chybí schopnost vyjádřit faleš a negaci), ale je tomu tak syntakticky kompletní. Níže uvedené implicitní kameny používají modus ponens jako pravidlo odvození.

Bernays – Tarskiho axiomový systém: ^[9]

${ displaystyle A do (B do A)}$

${ displaystyle (A až B) až ((B až C) až (A až C))}$

${ displaystyle ((A k B) k A) k A}$

Łukasiewicz a Tarskiho axiomové systémy:

• Za prvé:^[9]

${ Displaystyle [(A až (B až A)) až [([((C až D) až E) až F] až [(D až F) až (C až F)]) do G]] do G}$

• Druhý:^[9]

${ Displaystyle [(A až B) až ((C až D) až E)] až ([F až ((C až D) až E)] až [(A až F) do (D do E)])}$

• Třetí:

${ displaystyle ((A až B) až (C až D)) až (E až ((D až A) až (C až A)))}$

• Čtvrtý:

${ displaystyle ((A až B) až (C až D)) až ((D až A) až (E až (C až A)))}$

Łukasiewiczův axiomový systém:^[10][9]

${ displaystyle ((A až B) až C) až ((C až A) až (D až A))}$

Intuicionistická a střední logika

Intuicionistická logika je subsystém klasické logiky. Obvykle je formulován s ${ displaystyle { to, land, lor, bot }}$ jako sada (funkčně úplných) základních spojek. Není syntakticky úplný, protože mu chybí vyloučený střední A∨¬A nebo Peirceův zákon ((A → B) → A) → A, které lze přidat, aniž by byla logika nekonzistentní. Má pravidlo ponens jako pravidlo odvození a následující axiomy:

${ displaystyle A do (B do A)}$

${ displaystyle (A až (B až C)) až ((A až B) až (A až C))}$

${ displaystyle (A land B) do A}$

${ displaystyle (A land B) až B}$

${ displaystyle A to (B to (A land B))}$

${ displaystyle A to (A lor B)}$

${ displaystyle B to (A lor B)}$

${ displaystyle (A až C) až ((B až C) až ((A lor B) až C))}$

${ displaystyle bot do A}$

Alternativně lze intuicionistickou logiku axiomatizovat pomocí ${ displaystyle { to, land, lor, neg }}$ jako sada základních spojek, nahrazující poslední axiom za

${ displaystyle (A to neg A) to neg A}$

${ displaystyle neg A do (A do B)}$

Mezilehlé logiky jsou mezi intuitivní logikou a klasickou logikou. Zde je několik intermediálních logik:

• Jankovova logika (KC) je rozšířením intuitivní logiky, kterou lze axiomatizovat pomocí intuicionistického axiomatického systému plus axiomu^[11]

${ displaystyle neg A lor neg neg A.}$

• Gödel – Dummettovu logiku (LC) lze axiomatizovat pomocí intuitivní logiky přidáním axiomu^[11]

${ displaystyle (A až B) lor (B až A).}$

Pozitivní implikační počet

Pozitivní implikační počet je implikační fragment intuicionistické logiky. Níže uvedené kameny používají modus ponens jako pravidlo odvození.

Łukasiewiczův axiomový systém:

${ displaystyle A do (B do A)}$

${ displaystyle (A až (B až C)) až ((A až B) až (A až C))}$

Meriomovy axiomové systémy:

• Za prvé:

${ Displaystyle E až ((A až B) až ((((D až A) až (B až C)) až (A až C)))}$

• Druhý:

${ displaystyle A do (B do A)}$

${ displaystyle (A až B) až ((A až (B až C)) až (A až C))}$

• Třetí:

${ displaystyle ((A až B) až C) až (D až ((B až (C až E)) až (B až E)))}$^[12]

Hilbertovy axiomové systémy:

• Za prvé:

${ displaystyle (A až (A až B)) až (A až B)}$

${ displaystyle (B až C) až ((A až B) až (A až C))}$

${ displaystyle (A až (B až C)) až (B až (A až C))}$

${ displaystyle A do (B do A)}$

• Druhý:

${ displaystyle (A až (A až B)) až (A až B)}$

${ displaystyle (A až B) až ((B až C) až (A až C))}$

${ displaystyle A do (B do A)}$

• Třetí:

${ displaystyle A až A}$

${ displaystyle (A až B) až ((B až C) až (A až C))}$

${ displaystyle (B až C) až ((A až B) až (A až C))}$

${ displaystyle (A až (A až B)) až (A až B)}$

Pozitivní výrokový počet

Pozitivní výrokový kalkul je fragment intuicionistické logiky využívající pouze (nefunkčně úplné) spojky ${ displaystyle { to, land, lor }}$. Může být axiomatizován kterýmkoli z výše uvedených kalkulů pro pozitivní implikační kalkul spolu s axiomy

${ displaystyle (A land B) do A}$

${ displaystyle (A land B) až B}$

${ displaystyle A to (B to (A land B))}$

${ displaystyle A to (A lor B)}$

${ displaystyle B to (A lor B)}$

${ displaystyle (A až C) až ((B až C) až ((A lor B) až C))}$

Případně můžeme zahrnout také pojivo ${ displaystyle leftrightarrow}$ a axiomy

${ displaystyle (A leftrightarrow B) to (A to B)}$

${ displaystyle (A leftrightarrow B) to (B až A)}$

${ displaystyle (A až B) do ((B do A) do (A levá šipka B))}$

Johansson je minimální logika lze axiomatizovat kterýmkoli ze systémů axiomu pro pozitivní výrokový kalkul a rozšíření jeho jazyka o spojovací slovo nullary ${ displaystyle bot}$, bez dalších schémat axiomu. Alternativně jej lze také axiomatizovat v jazyce ${ displaystyle { to, land, lor, neg }}$ rozšířením kladného výrokového počtu o axiom

${ displaystyle (A to neg B) to (B to neg A)}$

nebo dvojice axiomů

${ displaystyle (A až B) až ( neg B až neg A)}$

${ displaystyle A až neg neg A}$

Intuicionistickou logiku v jazyce s negací lze axiomatizovat nad kladným počtem dvojicí axiomů

${ displaystyle (A to neg B) to (B to neg A)}$

${ displaystyle neg A do (A do B)}$

nebo dvojice axiomů^[13]

${ displaystyle (A to neg A) to neg A}$

${ displaystyle neg A do (A do B)}$

Klasická logika v jazyce ${ displaystyle { to, land, lor, neg }}$ lze získat z kladného výrokového počtu přidáním axiomu

${ displaystyle ( neg A až neg B) až (B až A)}$

nebo dvojice axiomů

${ displaystyle (A to neg B) to (B to neg A)}$

${ displaystyle neg neg A až A}$

Fitchův kalkul bere některý ze systémů axiomu pro kladný výrokový kalkul a přidává axiomy^[13]

${ displaystyle neg A do (A do B)}$

${ displaystyle A leftrightarrow neg neg A}$

${ displaystyle neg (A lor B) leftrightarrow ( neg A land neg B)}$

${ displaystyle neg (A land B) leftrightarrow ( neg A lor neg B)}$

Všimněte si, že první a třetí axiomy jsou také platné v intuicionistické logice.

Ekvivalenční počet

Ekvivalenční počet je subsystém klasického výrokového počtu, který umožňuje pouze (funkčně neúplné) rovnocennost spojovací, zde označený jako ${ displaystyle equiv}$. Pravidlo odvození použité v těchto systémech je následující:

${ displaystyle A, A equiv B vdash B}$

Isékiho axiomový systém:^[14]

${ displaystyle ((A equiv C) equiv (B equiv A)) equiv (C equiv B)}$

${ displaystyle (A equiv (B equiv C)) equiv ((A equiv B) equiv C)}$

Systém axiomů Iséki – Arai:^[15]

${ displaystyle A equiv A}$

${ displaystyle (A equiv B) equiv (B equiv A)}$

${ displaystyle (A ekviv B) ekviv ((B ekviv C) ekviv (A ekviv C))}$

Araiovy axiomové systémy;

• Za prvé:

${ displaystyle (A equiv (B equiv C)) equiv ((A equiv B) equiv C)}$

${ displaystyle ((A ekv. C) ekv. (B ekv. A)) ekv. (C ekv. B)}$

• Druhý:

${ displaystyle (A equiv B) equiv (B equiv A)}$

${ displaystyle ((A ekv. C) ekv. (B ekv. A)) ekv. (C ekv. B)}$

Łukasiewiczovy axiomové systémy:^[16]

• Za prvé:

${ displaystyle (A ekviv B) ekviv ((C ekviv B) ekviv (A ekviv C))}$

• Druhý:

${ displaystyle (A ekviv B) ekviv ((A ekviv C) ekviv (C ekviv B))}$

• Třetí:

${ displaystyle (A equiv B) equiv ((C equiv A) equiv (B equiv C))}$

Meriomovy axiomové systémy:^[16]

• Za prvé:

${ displaystyle ((A ekviv B) ekviv C) ekviv (B ekviv (C ekv. A))}$

• Druhý:

${ displaystyle A equiv ((B equiv (A equiv C)) equiv (C equiv B))}$

• Třetí:

${ displaystyle (A ekviv (B ekviv C)) ekviv (C ekviv (A ekviv B))}$

• Čtvrtý:

${ displaystyle (A ekviv B) ekviv (C ekviv ((B ekviv C) ekviv A))}$

• Pátý:

${ displaystyle (A ekviv B) ekviv (C ekviv ((C ekviv B) ekviv A))}$

• Šestý:

${ displaystyle ((A ekv. (B ekv. C)) ekv. C) ekv. (B ekv. A)}$

• Sedmý:

${ displaystyle ((A equiv (B equiv C)) equiv B) equiv (C equiv A)}$

Kalman axiomový systém:^[16]

${ Displaystyle A equiv ((B equiv (C equiv A)) equiv (C equiv B))}$

Blinkr Axiomové systémy:^[16]

• Za prvé:

${ displaystyle A equiv ((B equiv C) equiv ((A equiv C) equiv B))}$

• Druhý:

${ displaystyle A equiv ((B equiv C) equiv ((C equiv A) equiv B))}$

XCB axiomový systém:^[16]

${ displaystyle A equiv (((A equiv B) equiv (C equiv B)) equiv C)}$

Viz také

• Parakonzistentní logika # Zahrnuto seznam schémat axiomu pro parakonzistentní logiku Hilbertova stylu

Reference