Věta o stejném oblouku - Equal incircles theorem

Pokud jsou modré kruhy stejné, zelené kruhy jsou také stejné.

v geometrie, věta o stejném okruhu pochází z Japonce Sangaku, a týká se následující konstrukce: řada paprsků je nakreslena od daného bodu k dané přímce tak, že vepsané kruhy trojúhelníků tvořené sousedními paprsky a základní čára jsou stejné. Na obrázku stejné modré kruhy definují rozestup mezi paprsky, jak je popsáno.

Věta říká, že incircles trojúhelníků vytvořených (počínaje jakýmkoli daným paprskem) každým druhým paprskem, každým třetím paprskem atd. A základní čára jsou také stejné. Případ každého dalšího paprsku je ilustrován nahoře zelenými kruhy, které jsou všechny stejné.

Ze skutečnosti, že věta nezávisí na úhlu počátečního paprsku, je zřejmé, že věta správně náleží spíše analýze než geometrii a musí se vztahovat k spojité škálovací funkci, která definuje rozestup paprsků. Ve skutečnosti je tato funkce hyperbolický sinus.

Věta je přímým důsledkem následujícího lemmatu:

Předpokládejme, že npaprsek svírá úhel ${displaystyle gamma _ {n}}$ s normálem k základní linii. Li ${displaystyle gamma _ {n}}$ je parametrizován podle rovnice, ${displaystyle an gamma _ {n} = sinh heta _ {n}}$ , pak hodnoty ${displaystyle heta _ {n} = a + nb}$ , kde ${displaystyle a}$ a ${displaystyle b}$ jsou reálné konstanty, definují posloupnost paprsků, které splňují podmínku stejných kruhů, a dále libovolnou posloupnost paprsků splňující podmínku lze vyrobit vhodnou volbou konstant ${displaystyle a}$ a ${displaystyle b}$ .

Důkaz lemmatu

V diagramu jsou čáry PS a PT sousední paprsky vytvářející úhly ${displaystyle gamma _ {n}}$ a ${displaystyle gamma _ {n + 1}}$ s přímkou PR, která je kolmá k základní linii, RST.

Přímka QXOY je rovnoběžná se základní linií a prochází O, středem kruhu ${displaystyle riangle}$ PST, která je tečná k paprskům na W a Z. Rovnice PQ má také délku ${displaystyle h-r}$ a řádek QR má délku ${displaystyle r}$ , poloměr incircle.

Pak ${displaystyle riangle}$ OWX je podobný ${displaystyle riangle}$ PQX a ${displaystyle riangle}$ OZY je podobný ${displaystyle riangle}$ PQY a od XY = XO + OY dostaneme

{displaystyle (h-r) (an gamma _ {n + 1} - an gamma _ {n}) = r (sec gamma _ {n} + sec gamma _ {n + 1}).}

Tento vztah na množině úhlů, ${displaystyle {gamma _ {m}}}$ , vyjadřuje podmínku rovných kruhů.

Abychom dokázali lemma, nastavili jsme ${displaystyle an gamma _ {n} = sinh (a + nb)}$ , což dává ${displaystyle sec gamma _ {n} = cosh (a + nb)}$ .

Použitím ${displaystyle a + (n + 1) b = (a + nb) + b}$ , aplikujeme pravidla přidání pro ${displaystyle sinh}$ a ${displaystyle cosh}$ , a ověřte, že je stejný vztah incircles uspokojen nastavením

{displaystyle {frac {r} {h-r}} = anh {frac {b} {2}}.}

To dává výraz pro parametr ${displaystyle b}$ pokud jde o geometrické míry, ${displaystyle h}$ a ${displaystyle r}$ . S touto definicí ${displaystyle b}$ pak získáme výraz pro poloměry, ${displaystyle r_ {N}}$ , z incircles vytvořených tím, že každý Npaprsek jako strany trojúhelníků

{displaystyle {frac {r_ {N}} {h-r_ {N}}} = anh {frac {Nb} {2}}.}

Viz také

Reference

Věta o rovných obloucích na cut-the-uzel
J. Tabov. Poznámka k pětikruhové větě. Matematický časopis 63 (1989), 2, 92–94.