Villarceauovy kruhy - Villarceau circles


v geometrie, Villarceauovy kruhy (/protiiːl.rˈsoʊ/) jsou dvojice kruhy vyrobeno řezáním a torus šikmo středem ve zvláštním úhlu. Vzhledem k libovolnému bodu na torusu lze skrz něj nakreslit čtyři kruhy. Jeden je v rovině rovnoběžné s rovníkovou rovinou torusu a druhý kolmý do této roviny (jsou analogické s řádky zeměpisná šířka a zeměpisná délka na Zemi). Další dva jsou Villarceauovy kruhy. Jsou pojmenovány po francouzštině astronom a matematik Yvon Villarceau (1813–1883). Mannheim (1903) ukázal, že Villarceauovy kruhy splňují všechny rovnoběžné kruhové průřezy torusu ve stejném úhlu, což podle jeho názoru plukovník Schoelcher představil na kongresu v roce 1891.
Příklad
Předpokládejme například, že hlavní poloměr torusu je 5 a menší poloměr je 3. To znamená, že torus je spojením určitých kruhů o poloměru tři, jejichž středy jsou na kruhu o poloměru pět v xy letadlo. Body na tomto torusu splňují tuto rovnici:
Krájení s z = 0 letadlo produkuje dva koncentrický kruhy, X2 + y2 = 22 a X2 + y2 = 82. Krájení s X = 0 rovina vytváří dva kruhy vedle sebe, (y − 5)2 + z2 = 32 a (y + 5)2 + z2 = 32.
Dva příklady Villarceauových kruhů lze vyrobit krájením rovinou 3X = 4z. Jeden je vystředěn na (0, +3, 0) a druhý na (0, -3, 0); oba mají poloměr pět. Mohou být zapsány parametrické formulář jako
a
Rovina krájení je vybrána tak, aby byla tečna k torusu ve dvou bodech při průchodu jeho středem. Je tečna v (16⁄5, 0, 12⁄5) a v (−16⁄5, 0, −12⁄5). Úhel řezu je jednoznačně určen rozměry zvoleného torusu. Otáčení jakékoli takové roviny kolem z-osa dává všechny Villarceauovy kruhy pro tento torus.
Existence a rovnice

Pro spodní obrázek je projekce kolmá na rovinu řezu. Proto se objeví skutečný tvar kruhů.


Důkaz existence kruhů lze sestrojit ze skutečnosti, že rovina krájení je tečná k torusu ve dvou bodech. Jedna charakteristika torusu je, že je povrch otáčení. Bez ztráty obecnosti, vyberte souřadný systém tak, aby osa otáčení byla z osa. Začněte kruhem o poloměru r v xz letadlo se středem (R, 0, 0).
Zametání nahrazuje X od (X2 + y2)1/2a vymazáním druhé odmocniny vznikne a kvartická rovnice.
Průřez zametaného povrchu v xz letadlo nyní obsahuje druhou kružnici.
Tato dvojice kruhů má dva společné vnitřní tečny, se sklonem v počátku nalezeném z pravého trojúhelníku s přepona R a opačná strana r (který má svůj pravý úhel v bodě tečnosti). Tím pádem z/X se rovná ±r / (R2 − r2)1/2a výběr znaménka plus vytvoří rovnici roviny bitangenty k torusu.
Symetricky, rotace této roviny kolem z osa dává středem všechny bitangentní roviny. (Existují také vodorovné roviny tečné k horní a dolní části torusu, z nichž každá dává „dvojitý kruh“, ale ne Villarceauovy kruhy.)
Můžeme analyticky vypočítat průsečík roviny (rovin) s torusem a ukázat tak, že výsledkem je symetrická dvojice kruhů, z nichž jeden je kruh o poloměru R se středem na
Ošetření v tomto duchu lze nalézt v Coxeter (1969).
Abstraktnější a pružnější přístup popsal Hirsch (2002) s použitím algebraická geometrie v projektivním prostředí. V homogenní kvartické rovnici pro torus
nastavení w na nulu dává průsečík s „rovinou v nekonečnu“ a redukuje rovnici na
Tento průsečík je dvojitý bod, ve skutečnosti dvojitý bod počítaný dvakrát. Kromě toho je zahrnuta v každé bitangentní rovině. Dva body tečnosti jsou také dvojité body. Průniková křivka, která podle teorie musí být kvartická, obsahuje tedy čtyři dvojité body. Ale také víme, že kvartik s více než třemi dvojitými body musí brát v úvahu (to nemůže být) neredukovatelné ), a podle symetrie musí být faktory dva shodné kuželosečky. Hirsch rozšiřuje tento argument na žádný rotační plocha generovaná kuželosečkou, a ukazuje, že průsečík s bitangentní rovinou musí vytvořit dvě kuželosečky stejného typu jako generátor, když je křivka průsečíku skutečná.
Vyplňování prostoru
Torus hraje ústřední roli v Hopfova fibrace 3-koule, S3, nad obyčejnou sférou, S2, který má kruhy, S1, jako vlákna. Když je 3-koule mapována na Euklidovský 3prostor podle stereografická projekce, inverzní obraz kruhu zeměpisné šířky na S2 pod mapou vláken je torus a samotná vlákna jsou Villarceauovy kruhy. Banchoff (1990) prozkoumali takový torus pomocí počítačových grafických snímků. Jedním z neobvyklých faktů o kruzích je, že každý se prochází všemi ostatními, a to nejen ve svém vlastním torusu, ale ve sbírce vyplňující celý prostor; Berger (1987) diskutuje a kreslí.
Viz také
Reference
- Banchoff, Thomas F. (1990). Za třetí dimenzí. Vědecká americká knihovna. ISBN 978-0-7167-5025-3.
- Berger, Marcel (1987). „§18.9: Villarceauovy kruhy a parataxy“. Geometrie II. Springer. 304–305. ISBN 978-3-540-17015-0.
- Coxeter, H. S. M. (1969). Úvod do geometrie (2 / ed.). Wiley. str.132–133. ISBN 978-0-471-50458-0.
- Hirsch, Anton (2002). „Rozšíření„ sekce Villarceau “na povrchy revoluce s generujícím kuželovitým tvarem“. Časopis pro geometrii a grafiku. Lemgo, Německo: Heldermann Verlag. 6 (2): 121–132. ISSN 1433-8157.
- Mannheim, M. A. (1903). „Sur le théorème de Schoelcher“. Nouvelles Annales de Mathématiques. Paris: Carilian-Gœury et Vor. Dalmont. 4. série, svazek 3: 105–107.
- Stachel, Hellmuth (2002). „Poznámky k papíru A. Hirsche týkajícímu se sekcí Villarceau“. Časopis pro geometrii a grafiku. Lemgo, Německo: Heldermann Verlag. 6 (2): 133–139. ISSN 1433-8157.
- Yvon Villarceau, Antoine Joseph François (1848). „Théorème sur le tore“. Nouvelles Annales de Mathématiques. Série 1. Paříž: Gauthier-Villars. 7: 345–347. OCLC: 2449182.
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. „Villarceau Circles“. MathWorld.
- Plochý torus ve tři sféře
- (francouzsky) Kruhy torusu (Les cercles du tore)