Kvartérní projektivní prostor - Quaternionic projective space
v matematika, kvaternionový projektivní prostor je rozšířením myšlenek skutečný projektivní prostor a složitý projektivní prostor, v případě, že souřadnice leží v kruhu čtveřice Kvartérní projektivní prostor dimenze n je obvykle označeno
a je uzavřené potrubí (skutečné) dimenze 4n. Je to homogenní prostor pro Lež skupina akce, více než jedním způsobem. Kvarterní projektivní linie je homeomorfní se 4 sférou.
V souřadnicích
Jeho přímá konstrukce je jako zvláštní případ projektivní prostor nad divizní algebrou. The homogenní souřadnice lze napsat bod
Kde jsou čtveřice, ne všechny nulové. Dvě sady souřadnic představují stejný bod, pokud jsou „proporcionální“ levým násobením nenulovým čtveřicí C; to znamená, že identifikujeme všechny
- .
V jazyce skupinové akce, je oběžná dráha z působením , multiplikativní skupina nenulových čtveřic. Nejprve promítnutím do sféry jednotky uvnitř jeden může také vzít v úvahu jako orbitální prostor působením , skupina čtverců jednotek.[1] Koule pak se stane hlavní svazek Sp (1) přes :
Tento balíček se někdy nazývá (zobecněný) Hopfova fibrace.
K dispozici je také konstrukce pomocí dvourozměrných komplexních podprostorů , znamenající, že leží uvnitř komplexu Grassmannian.
Topologie
Teorie homotopy
Prostor , definovaný jako spojení všech konečných je v zařazení, je třídicí prostor BS3. Homotopy skupiny jsou dány O těchto skupinách je známo, že jsou velmi složité a zejména jsou nenulové pro nekonečně mnoho hodnot . To však máme
Z toho vyplývá, že racionálně, tj. Poté lokalizace prostoru, je Eilenberg – Maclaneův prostor . To je (viz příklad K (Z, 2) ). Vidět racionální teorie homotopy.
Obecně, má buněčnou strukturu s jednou buňkou v každé dimenzi, což je násobek 4 až . Proto je jeho kohomologický kruh , kde je 4-dimenzionální generátor. To je analogické složitému projektivnímu prostoru. Z racionální teorie homotopy to také vyplývá má nekonečné skupiny homotopy pouze v rozměrech 4 a .
Diferenciální geometrie
nese přirozenou Riemannova metrika analogicky k Metrika Fubini-Study na , vzhledem k čemuž je kompaktní quaternion-Kählerův symetrický prostor s pozitivním zakřivením.
Kvarterní projektivní prostor lze reprezentovat jako cosetův prostor
kde je kompaktní symplektická skupina.
Charakteristické třídy
Od té doby , jeho tangentní svazek je stabilně triviální. Tečné svazky zbytku mají netriviální Stiefel – Whitney a Třídy Pontryagin. Celkové třídy jsou dány následujícími vzorci:
kde je generátor a je jeho redukční mod 2.[2]
Speciální případy
Kvartérní projektivní linie
Jednorozměrný projektivní prostor se nazývá "projektivní linie" v zobecnění komplexní projektivní linie. Například byl použit (implicitně) v roce 1947 P. G. Gormleyem k prodloužení Skupina Möbius do kontextu čtveřice s lineární frakční transformace. Pro lineární frakční transformace asociativního prsten s 1, viz projektivní čára přes prsten a skupina homografie GL (2,A).
Z topologického hlediska je kvartérní projektivní linie 4 sféra, a ve skutečnosti to jsou difeomorfní rozdělovače. Fibrace uvedená výše pochází ze 7 sféry a je příkladem a Hopfova fibrace.
Explicitní výrazy pro souřadnice pro 4-kouli najdete v článku na Fubini – metrika studia.
Kvartérní projektivní rovina
8-dimenzionální má kruhová akce, skupinou komplexních skalárů absolutní hodnoty 1 působících na druhé straně (tedy vpravo, jako konvence pro působení C výše je vlevo). Proto kvocient potrubí
lze vzít, psaní U (1) pro kruhová skupina. Ukázalo se, že tento kvocient je 7-koule, výsledek Vladimír Arnold z roku 1996, později znovu objeven Edward Witten a Michael Atiyah.
Reference
Další čtení
- V. I. Arnol'd, Příbuzní kvocientu komplexní projektivní roviny komplexní konjugací, Tr. Rohož. Inst. Steklova, 1999, svazek 224, strany 56–67. Zachází s analogem výsledku uvedeného pro kvaternionový projektivní prostor a 13 koulí.