Stabilní teorie homotopy - Stable homotopy theory

v matematika, stabilní homotopická teorie je ta část teorie homotopy (a tudíž algebraická topologie ) zabývající se všemi strukturami a jevy, které zůstávají po dostatečně velkém počtu aplikací funktor zavěšení. Zakládajícím výsledkem byl Freudenthalova věta o suspenzi, v němž se uvádí, že vzhledem k jakékoli špičatý prostor ${ displaystyle X}$, homotopické skupiny ${ displaystyle pi _ {n + k} ( Sigma ^ {n} X)}$ stabilizovat pro ${ displaystyle n}$ dostatečně velký. Zejména homotopické skupiny koulí ${ displaystyle pi _ {n + k} (S ^ {n})}$ stabilizovat pro ${ displaystyle n geq k + 2}$. Například,

${ displaystyle langle { text {id}} _ {S ^ {1}} rangle = mathbb {Z} = pi _ {1} (S ^ {1}) cong pi _ {2} (S ^ {2}) cong pi _ {3} (S ^ {3}) cong cdots}$

${ displaystyle langle eta rangle = mathbb {Z} = pi _ {3} (S ^ {2}) až pi _ {4} (S ^ {3}) cong pi _ { 5} (S ^ {4}) cong cdots}$

Ve dvou příkladech jsou především mapy mezi homotopy skupinami aplikací funktor zavěšení. Prvním příkladem je standardní důsledek Hurewiczova věta, že ${ displaystyle pi _ {n} (S ^ {n}) cong mathbb {Z}}$. Ve druhém příkladu Hopf mapa, ${ displaystyle eta}$, je namapováno na jeho pozastavení ${ displaystyle Sigma eta}$ který generuje ${ displaystyle pi _ {4} (S ^ {3}) cong mathbb {Z} / 2}$.

Jedním z nejdůležitějších problémů stabilní homotopické teorie je výpočet stabilní homotopické skupiny koulí. Podle Freudenthalovy věty v stabilní dosah homotopické skupiny koulí nezávisí na konkrétních rozměrech koulí v doméně a cíli, ale na rozdílu v těchto dimenzích. S ohledem na to k-stabilní stopka je

${ displaystyle pi _ {k} ^ {s}: = lim _ {n} pi _ {n + k} (S ^ {n})}$.

Toto je abelianská skupina pro všechny k. Je to věta o Jean-Pierre Serre^[1] že tyto skupiny jsou konečné ${ displaystyle k neq 0}$. Ve skutečnosti složení dělá ${ displaystyle pi _ {*} ^ {S}}$ do odstupňovaného prstenu. Věta o Goro Nishida^[2] uvádí, že všechny prvky pozitivního hodnocení v tomto kruhu jsou nilpotentní. Jedinými hlavními ideály jsou tedy prvočísla ${ displaystyle pi _ {0} ^ {s} cong mathbb {Z}}$. Takže struktura ${ displaystyle pi _ {*} ^ {s}}$ je docela komplikované.

V moderním pojetí teorie stabilní homotopy jsou prostory obvykle nahrazeny spektra. Podle této myšlenky celý stabilní kategorie homotopy lze vytvořit. Tato kategorie má mnoho pěkných vlastností, které nejsou obsaženy v (nestabilní) kategorii homotopy prostorů, což vyplývá ze skutečnosti, že funktor zavěšení se stane invertovatelným. Například pojem kofibrační sekvence a fibrační sekvence jsou ekvivalentní.

Viz také

• Adamsova filtrace
• Teorie chromatické homotopy
• Teorie ekvivariantní stabilní homotopy
• Věta o nilpotenci

Reference

• Adams, J. Frank (1966), Stabilní teorie homotopy, Druhé přepracované vydání. Přednášky na University of California v Berkeley, 1961, Berlín, New York: Springer-Verlag, PAN  0196742
• May, J. Peter (1999), „Stabilní algebraická topologie, 1945–1966“ (PDF), Stabilní algebraická topologie, 1945--1966, Amsterdam: Severní Holandsko, str. 665–723, CiteSeerX  10.1.1.30.6299, doi:10.1016 / B978-044482375-5 / 50025-0, ISBN  9780444823755, PAN  1721119
• Ravenel, Douglas C. (1992), Nilpotence a periodicita ve stabilní teorii homotopy, Annals of Mathematics Studies, 128, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-02572-8, PAN  1192553