Landweberova věta o přesném funktoru - Landweber exact functor theorem - Wikipedia

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červen 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematice je Landweberova věta o přesném funktoru, pojmenoval podle Peter Landweber, je věta v algebraická topologie. Je známo, že a komplexní orientace a teorie homologie vede k a formální zákon o skupině. Landweberovu větu o přesném funktoru (nebo zkráceně LEFT) lze považovat za metodu, jak tento proces zvrátit: z formálního zákona o skupině konstruuje teorii homologie.

Prohlášení

Koeficient koeficientu komplexní cobordism je ${ displaystyle MU _ {*} (*) = MU _ {*} cong mathbb {Z} [x_ {1}, x_ {2}, dots]}$, kde je stupeň ${ displaystyle x_ {i}}$ je ${ displaystyle 2i}$. To je izomorfní pro odstupňované Lazardův prsten ${ displaystyle { mathcal {}} L _ {*}}$. To znamená, že formální zákon o skupině F (stupně ${ displaystyle -2}$) přes odstupňovaný prsten ${ displaystyle R _ {*}}$ je ekvivalentní s morfismem odstupňovaného kruhu ${ displaystyle L _ {*} až R _ {*}}$. Násobení celým číslem ${ displaystyle n> 0}$ je definován indukčně jako výkonová řada, tím

${ displaystyle [n + 1] ^ {F} x = F (x, [n] ^ {F} x)}$ a ${ displaystyle [1] ^ {F} x = x.}$

Nechť teď F je formální skupinový zákon přes prsten ${ displaystyle { mathcal {}} R _ {*}}$. Definujte pro a topologický prostor X

${ displaystyle E _ {*} (X) = MU _ {*} (X) otimes _ {MU _ {*}} R _ {*}}$

Tady ${ displaystyle R _ {*}}$ dostane jeho ${ displaystyle MU _ {*}}$-algebraová struktura přes F. Otázka zní: je E teorie homologie? Je to zjevně homotopický invariantní funktor, který plní excizi. Problém je v tom, že tenzorování obecně nezachovává přesné sekvence. Dalo by se to požadovat ${ displaystyle R _ {*}}$ být byt přes ${ displaystyle MU _ {*}}$, ale to by bylo v praxi příliš silné. Peter Landweber našel další kritérium:

Teorém (Landweberova věta o přesném funktoru)

Pro každé prvočíslo p existují prvky ${ displaystyle v_ {1}, v_ {2}, tečky v MU _ {*}}$ takže máme následující: Předpokládejme, že ${ displaystyle M _ {*}}$ je známkou ${ displaystyle MU _ {*}}$-modul a sekvence ${ displaystyle (p, v_ {1}, v_ {2}, tečky, v_ {n})}$ je pravidelný pro ${ displaystyle M}$, pro každého p a n. Pak

${ displaystyle E _ {*} (X) = MU _ {*} (X) otimes _ {MU _ {*}} M _ {*}}$

je teorie homologie na CW-komplexy.

Zejména každý formální zákon skupiny F přes prsten ${ displaystyle R}$ získá modul znovu ${ displaystyle { mathcal {}} MU _ {*}}$ protože dostaneme přes F prstencový morfismus ${ displaystyle MU _ {*} to R}$.

Poznámky

• K dispozici je také verze pro Brown – Petersonova kohomologie BP. The spektrum BP je přímým součtem ${ displaystyle MU _ {(p)}}$ s koeficienty ${ displaystyle mathbb {Z} _ {(p)} [v_ {1}, v_ {2}, tečky]}$. Výrok LEVÉ zůstane pravdivý, pokud opravíme prvočíslo p a nahradíme BP za MU.
• Klasický důkaz LEVÉ používá Landweber-Morava invariantní ideální větu: jediné hlavní ideály ${ displaystyle BP _ {*}}$ které jsou neměnné při kooperaci ${ displaystyle BP _ {*} BP}$ jsou ${ displaystyle I_ {n} = (p, v_ {1}, tečky, v_ {n})}$. To umožňuje zkontrolovat rovinnost pouze proti ${ displaystyle BP _ {*} / I_ {n}}$ (viz Landweber, 1976).
• VLEVO lze posílit následujícím způsobem: let ${ displaystyle { mathcal {E}} _ {*}}$ být (homotopy) kategorií Landweber přesné ${ displaystyle MU _ {*}}$-moduly a ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ kategorie spektra M modulu MU taková ${ displaystyle pi _ {*} M}$ je Landweber přesný. Pak funktor ${ displaystyle pi _ {*} colon { mathcal {E}} do { mathcal {E}} _ {*}}$ je rovnocennost kategorií. Inverzní funktor (daný LEVÝM) trvá ${ displaystyle { mathcal {}} MU _ {*}}$-algebry na (homotopii) spektra MU-algebry (viz Hovey, Strickland, 1999, Thm 2,7).

Příklady

Archetypický a první známý (netriviální) příklad je komplexní K-teorie K. Složitá K-teorie je komplexně orientovaný a má formální zákon o skupině ${ displaystyle x + y + xy}$. Odpovídající morfismus ${ displaystyle MU _ {*} na K _ {*}}$ je také známý jako Rod Todd. Máme tedy izomorfismus

${ displaystyle K _ {*} (X) = MU _ {*} (X) otimes _ {MU _ {*}} K _ {*},}$

volal Conner – Floydův izomorfismus.

Zatímco složitá teorie K byla dříve konstruována geometrickými prostředky, mnoho teorií homologie bylo nejprve vytvořeno pomocí Landweberovy věty o přesném funktoru. To zahrnuje eliptická homologie, Johnson-Wilsonovy teorie ${ displaystyle E (n)}$ a Spektra Lubin – Tate ${ displaystyle E_ {n}}$.

Zatímco homologie s racionálními koeficienty ${ displaystyle H mathbb {Q}}$ je Landweber exaktní, homologie s celočíselnými koeficienty ${ displaystyle H mathbb {Z}}$ není přesný Landweber. Dále Morava K-teorie K (n) není přesný Landweber.

Moderní formulace

Modul M přes ${ displaystyle { mathcal {}} MU _ {*}}$ je stejný jako a kvazi-koherentní svazek ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ přes ${ displaystyle { text {Spec}} L}$, kde L je Lazardův prsten. Li ${ displaystyle M = { mathcal {}} MU _ {*} (X)}$, pak M má navíc vztažný bod a ${ displaystyle { mathcal {}} MU _ {*} MU}$ součinnost. Tomu odpovídá i součinnost na úrovni prstenu ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je ekvivariantní svazek s ohledem na působení afinního skupinového schématu G. Je to věta o Quillen že ${ displaystyle G cong mathbb {Z} [b_ {1}, b_ {2}, tečky]}$ a přiřadí každému kruhu R skupinu výkonových řad

${ displaystyle g (t) = t + b_ {1} t ^ {2} + b_ {2} t ^ {3} + cdots v R [[t]]}$.

Působí na soubor formálních zákonů o skupině ${ displaystyle { text {Spec}} L (R)}$ přes

${ displaystyle F (x, y) mapsto gF (g ^ {- 1} x, g ^ {- 1} y)}$.

Jedná se pouze o změny souřadnic formálních zákonů o skupině. Proto lze identifikovat zásobník kvocient ${ displaystyle { text {Spec}} L // G}$ s zásobník (1-rozměrný) formální skupiny ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {fg}}$ a ${ displaystyle M = MU _ {*} (X)}$ definuje kvazi-koherentní svazek přes tento zásobník. Nyní je celkem snadné vidět, že stačí, že M definuje kvazi-koherentní svazek ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ který je plochý ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {fg}}$ aby ${ displaystyle MU _ {*} (X) otimes _ {MU _ {*}} M}$ je teorie homologie. Věta o přesnosti Landweberu lze poté interpretovat jako kritérium plochosti pro ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {fg}}$ (viz Lurie 2010).

Vylepšení ${ displaystyle E _ { infty}}$-kruhová spektra

Zatímco je známo, že VLEVO produkuje (homotopii) prstencová spektra ${ displaystyle { mathcal {}} MU _ {*}}$, je mnohem delikátnější otázkou pochopit, kdy tato spektra skutečně jsou ${ displaystyle E _ { infty}}$-kruhová spektra. Od roku 2010 dosáhl nejlepší pokrok program Jacob Lurie. Pokud X je algebraický zásobník a ${ displaystyle X až { mathcal {M}} _ {fg}}$ plochá mapa hromádek, výše uvedená diskuse ukazuje, že na X dostaneme presheaf (homotopy) kruhových spekter. Pokud tato mapa ovlivní ${ displaystyle M_ {p} (n)}$ (hromada 1-rozměrného p-dělitelné skupiny výšky n) a mapa ${ displaystyle X až M_ {p} (n)}$ je etale, pak tento presheaf může být rafinován na svazek ${ displaystyle E _ { infty}}$-kruhová spektra (viz Goerss). Tato věta je důležitá pro konstrukci topologické modulární formy.

Reference

• Goerss, Paule. „Realizace rodin Landweberových teorií přesné homologie“ (PDF).
• Hovey, Mark; Strickland, Neil P. (1999), "Morava K-teorie a lokalizace", Monografie Americké matematické společnosti, 139 (666), doi:10.1090 / poznámka / 0666, PAN  1601906, archivovány z originál dne 07.12.2004
• Landweber, Peter S. (1976). "Homologické vlastnosti komodul přes." ${ displaystyle MU _ {*} (MU)}$ a ${ displaystyle BP _ {*} (BP)}$". American Journal of Mathematics. 98 (3): 591–610. doi:10.2307/2373808. JSTOR  2373808..
• Lurie, Jacobe (2010). „Chromatická teorie homotopy. Poznámky k přednášce“.