Chengova věta o porovnání vlastních čísel - Chengs eigenvalue comparison theorem - Wikipedia

v Riemannova geometrie, Chengova věta o srovnání vlastních čísel uvádí obecně, že když je doména velká, první Dirichletovo vlastní číslo jeho Operátor Laplace – Beltrami je malý. Tato obecná charakteristika není přesná, zčásti proto, že musí zohledňovat i pojem „velikost“ domény zakřivení.^[1] Věta je kvůli Cheng (1975b) podle Shiu-Yuen Cheng. Použitím geodetické koule, lze zobecnit na určité tubulární domény (Lee 1990 ).

Teorém

Nechat M být Riemannovo potrubí s rozměrem na nechte B_M(p, r) být geodetická koule se středem na p s poloměrem r méně než poloměr vstřikování z p ∈ M. Pro každé reálné číslo k, nechť N(k) označují jednoduše připojeno vesmírná forma dimenze n a konstantní řezové zakřivení k. Chengova věta o srovnání vlastních čísel porovnává první vlastní číslo λ₁(B_M(p, r)) Dirichletova problému v B_M(p, r) s první vlastní hodnotou v B_N(k)(r) pro vhodné hodnoty k. Věta má dvě části:

• Předpokládejme to K._M, řezové zakřivení z M, splňuje

${ displaystyle K_ {M} leq k.}$

Pak

${ displaystyle lambda _ {1} left (B_ {N (k)} (r) right) leq lambda _ {1} left (B_ {M} (p, r) right).}$

Druhá část je srovnávací věta pro Ricciho zakřivení z M:

• Předpokládejme, že Ricciho zakřivení M vyhovuje pro každé vektorové pole X,

${ displaystyle operatorname {Ric} (X, X) geq k (n-1) | X | ^ {2}.}$

Poté se stejným zápisem jako výše,

${ displaystyle lambda _ {1} left (B_ {N (k)} (r) right) geq lambda _ {1} left (B_ {M} (p, r) right).}$

S.Y. Cheng použit Bartova věta odvodit větu o porovnání vlastních čísel. Jako zvláštní případ, pokud k = -1 a inj (p) = ∞, Chengova nerovnost se stává λ^*(N) ≥ λ^*(H ⁿ(-1)) což je McKeanova nerovnost.^[2]

Viz také

• Věta o srovnání
• Věta o porovnání vlastních čísel

Reference

Citace

Bibliografie

• Bessa, G.P .; Montenegro, J.F. (2008), „On Cheng's eigenvalue comparison theorem“, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 144 (3): 673–682, doi:10.1017 / s0305004107000965, ISSN  0305-0041.
• Chavel, Isaac (1984), Vlastní čísla v Riemannově geometrii, Pure Appl. Matematika., 115, Akademický tisk.
• Cheng, Shiu Yuen (1975a), „Vlastní funkce a vlastní hodnoty Laplacian“, Diferenciální geometrie (Proc. Sympos. Pure Math., Sv. XXVII, Stanford Univ., Stanford, Kalifornie, 1973), část 2„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 185–193, PAN  0378003
• Cheng, Shiu Yuen (1975b), „Věty o porovnání vlastních čísel a jejich geometrické aplikace“, Matematika. Z., 143: 289–297, doi:10.1007 / BF01214381.
• Lee, Jeffrey M. (1990), „Srovnání vlastních čísel pro tubulární domény“, Proceedings of the American Mathematical SocietyAmerická matematická společnost, 109 (3): 843–848, doi:10.2307/2048228, JSTOR  2048228.
• McKean, Henry (1970), „Horní hranice spektra △ na varietě záporného zakřivení“, Journal of Differential Geometry, 4: 359–366.
• Lee, Jeffrey M .; Richardson, Ken (1998), „Riemannova foliace a porovnání vlastních čísel“, Ann. Global Anal. Geom., 16: 497–525, doi:10.1023 / A: 1006573301591/