Vibrace kruhové membrány - Vibrations of a circular membrane - Wikipedia

Jeden z možných režimů vibrací idealizovaného kruhu hlava bubnu (režim ${ displaystyle u_ {12}}$ se zápisem níže). Další možné režimy jsou zobrazeny ve spodní části článku.

Dvojrozměrný elastická membrána pod napětím může podporovat příčné vibrace. Vlastnosti idealizované bubnová hlava lze modelovat pomocí vibrace kruhové membrány jednotné tloušťky, připevněné k pevnému rámu. Vzhledem k fenoménu rezonance, při určitých vibracích frekvence, své rezonanční frekvence, membrána může ukládat vibrační energii a povrch se pohybuje v charakteristickém vzoru stojaté vlny. Tomu se říká a normální mód. Membrána má nekonečný počet těchto normálních režimů, počínaje nejnižší frekvencí, kterou nazýváme základní režim.

Existuje nekonečně mnoho způsobů, jak může membrána vibrovat, každý v závislosti na tvaru membrány v určitém počátečním čase a na příčné rychlosti každého bodu na membráně v té době. Vibrace membrány jsou dány řešením dvourozměrného vlnová rovnice s Dirichletovy okrajové podmínky které představují omezení rámce. Je možné ukázat, že jakékoli libovolně složité vibrace membrány mohou být rozloženy na možná nekonečno série normálních režimů membrány. To je analogické s rozkladem časového signálu na a Fourierova řada.

Studium vibrací na bubnech vedlo matematiky k slavnému matematickému problému, zda je slyšet tvar bubnu, s odpovědí v roce 1992 v dvojrozměrném prostředí.

Motivace

Analýza problému s hlavou vibračního bubnu vysvětluje bicí nástroje, jako např bicí a tympány. Existuje však také biologická aplikace při práci ušní bubínek. Z pedagogického hlediska jsou režimy dvourozměrného objektu pohodlným způsobem, jak vizuálně demonstrovat význam režimů, uzlů, antinod a dokonce kvantová čísla. Tyto koncepty jsou důležité pro pochopení struktury atomu.

Problém

Zvažte otevřete disk ${ displaystyle Omega}$ poloměru ${ displaystyle a}$ centrováno na počátek, což bude představovat „stále“ tvar hlavy bubnu. Kdykoliv ${ displaystyle t,}$ výška tvaru hlavy bubnu v bodě ${ displaystyle (x, y)}$ v ${ displaystyle Omega}$ měřeno od "nehybného" tvaru hlavy bubnu bude označeno ${ displaystyle u (x, y, t),}$ což může mít kladné i záporné hodnoty. Nechat ${ displaystyle částečné Omega}$ označit hranice z ${ displaystyle Omega,}$ tj. kruh o poloměru ${ displaystyle a}$ na střed, což představuje tuhý rám, ke kterému je připojena hlava bubnu.

Matematická rovnice, která řídí vibrace hlavy bubnu, je vlnová rovnice s nulovými okrajovými podmínkami,

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} u} { částečné t ^ {2}}} = c ^ {2} vlevo ({ frac { částečné ^ {2} u} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} u} { částečné y ^ {2}}} pravé) { text {pro}} (x, y) v Omega , }$

${ displaystyle u = 0 { text {on}} částečné Omega. ,}$

Kvůli kruhové geometrii ${ displaystyle Omega}$, bude to pohodlné válcové souřadnice, ${ displaystyle (r, theta, z).}$ Poté jsou výše uvedené rovnice zapsány jako

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} u} { částečné t ^ {2}}} = c ^ {2} vlevo ({ frac { částečné ^ {2} u} { částečné r ^ {2}}} + { frac {1} {r}} { frac { částečné u} { částečné r}} + { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2} u} { částečné theta ^ {2}}} vpravo) { text {pro}} 0 leq r$

${ displaystyle u = 0 { text {for}} r = a. ,}$

Tady, ${ displaystyle c}$ je kladná konstanta, která udává rychlost šíření příčných vibračních vln v membráně. Pokud jde o fyzikální parametry, rychlost vlny c je dána vztahem

${ displaystyle c = { sqrt { frac {N_ {rr} ^ {*}} { rho h}}}}$

kde ${ displaystyle N_ {rr} ^ {*}}$, je radiální membrána výslednice na hranici membrány (${ displaystyle r = a}$), ${ displaystyle h}$, je tloušťka membrány a ${ displaystyle rho}$ je hustota membrány. Pokud má membrána rovnoměrné napětí, rovnoměrná tahová síla v daném poloměru, ${ displaystyle r}$ lze psát

${ displaystyle F = rN_ {rr} ^ {r} = rN _ { theta theta} ^ {r}}$

kde ${ displaystyle N _ { theta theta} ^ {r} = N_ {rr} ^ {r}}$ je membrána výsledná v azimutálním směru.

Osymetrický případ

Nejprve si prostudujeme možné režimy vibrací kruhové hlavy bubnu, které jsou osově souměrné. Poté funkce ${ displaystyle u}$ nezávisí na úhlu ${ displaystyle theta,}$ a vlnová rovnice se zjednodušuje na

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} u} { částečné t ^ {2}}} = c ^ {2} vlevo ({ frac { částečné ^ {2} u} { částečné r ^ {2}}} + { frac {1} {r}} { frac { částečné u} { částečné r}} vpravo).}$

Budeme hledat řešení v oddělených proměnných, ${ displaystyle u (r, t) = R (r) T (t).}$ Dosazením do výše uvedené rovnice a dělením obou stran ${ displaystyle c ^ {2} R (r) T (t)}$ výnosy

${ displaystyle { frac {T '' (t)} {c ^ {2} T (t)}} = { frac {1} {R (r)}} vlevo (R '' (r) + { frac {1} {r}} R '(r) vpravo).}$

Levá strana této rovnosti nezávisí na ${ displaystyle r,}$ a pravá strana nezávisí na ${ displaystyle t,}$ z toho vyplývá, že obě strany se musí rovnat nějaké konstantě ${ displaystyle K.}$ Dostaneme samostatné rovnice pro ${ displaystyle T (t)}$ a ${ displaystyle R (r)}$:

${ displaystyle T '' (t) = Kc ^ {2} T (t) ,}$

${ displaystyle rR '' (r) + R '(r) -KrR (r) = 0. ,}$

Rovnice pro ${ displaystyle T (t)}$ má řešení, která exponenciálně rostou nebo se rozpadají ${ displaystyle K> 0,}$ jsou lineární nebo konstantní pro ${ displaystyle K = 0}$ a jsou periodické pro ${ displaystyle K <0}$. Fyzicky se očekává, že řešení problému s hlavou vibrujícího bubnu bude oscilační v čase, a to ponechává pouze třetí případ, ${ displaystyle K <0,}$ tak jsme si vybrali ${ displaystyle K = - lambda ^ {2}}$ pro pohodlí. Pak, ${ displaystyle T (t)}$ je lineární kombinace sinusových a kosinových funkcí,

${ displaystyle T (t) = A cos c lambda t + B sin c lambda t. ,}$

Obracíme se k rovnici pro ${ displaystyle R (r),}$ s pozorováním, že ${ displaystyle K = - lambda ^ {2},}$ všechna řešení této diferenciální rovnice druhého řádu jsou lineární kombinací Besselovy funkce objednávky 0, protože se jedná o speciální případ Besselova diferenciální rovnice:

${ displaystyle R (r) = c_ {1} J_ {0} ( lambda r) + c_ {2} Y_ {0} ( lambda r). ,}$

Funkce Bessel ${ displaystyle Y_ {0}}$ je neomezený pro ${ displaystyle r až 0,}$ což má za následek nefyzikální řešení problému s hlavou vibrujícího bubnu, tedy konstantní ${ displaystyle c_ {2}}$ musí být null. Budeme také předpokládat ${ displaystyle c_ {1} = 1,}$ protože jinak může být tato konstanta absorbována později do konstant ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ přicházející z ${ displaystyle T (t).}$ Z toho vyplývá, že

${ displaystyle R (r) = J_ {0} ( lambda r).}$

Požadavek na tuto výšku ${ displaystyle u}$ být nula na hranici hlavy bubnu vede ke stavu

${ displaystyle R (a) = J_ {0} ( lambda a) = 0.}$

Funkce Bessel ${ displaystyle J_ {0}}$ má nekonečné množství pozitivních kořenů,

${ displaystyle 0 < alpha _ {01} < alpha _ {02} < cdots}$

Máme to ${ displaystyle lambda a = alpha _ {0n},}$ pro ${ displaystyle n = 1,2, tečky,}$ tak

${ displaystyle R (r) = J_ {0} left ({ frac { alpha _ {0n}} {a}} r right).}$

Proto jsou osově souměrná řešení ${ displaystyle u}$ problému s hlavou vibračního bubnu, který lze reprezentovat v oddělených proměnných, jsou

${ displaystyle u_ {0n} (r, t) = vlevo (A cos c lambda _ {0n} t + B sin c lambda _ {0n} t vpravo) J_ {0} vlevo ( lambda _ {0n} r right) { text {for}} n = 1,2, dots, ,}$

kde ${ displaystyle lambda _ {0n} = alpha _ {0n} / a.}$

Obecný případ

Obecný případ, kdy ${ displaystyle u}$ může také záviset na úhlu ${ displaystyle theta,}$ je zacházeno podobně. Předpokládáme řešení v oddělených proměnných,

${ displaystyle u (r, theta, t) = R (r) theta ( theta) T (t). ,}$

Dosazením do vlnové rovnice a oddělením proměnných, dává

${ displaystyle { frac {T '' (t)} {c ^ {2} T (t)}} = { frac {R '' (r)} {R (r)}} + { frac { R '(r)} {rR (r)}} + { frac { Theta' '( theta)} {r ^ {2} Theta ( theta)}} = K}$

kde ${ displaystyle K}$ je konstanta. Stejně jako dříve, z rovnice pro ${ displaystyle T (t)}$ z toho vyplývá, že ${ displaystyle K = - lambda ^ {2}}$ s ${ displaystyle lambda> 0}$ a

${ displaystyle T (t) = A cos c lambda t + B sin c lambda t. ,}$

Z rovnice

${ displaystyle { frac {R '' (r)} {R (r)}} + { frac {R '(r)} {rR (r)}} + { frac { Theta' '( theta)} {r ^ {2} Theta ( theta)}} = - lambda ^ {2}}$

získáme vynásobením obou stran ${ displaystyle r ^ {2}}$ a oddělování proměnných

${ displaystyle lambda ^ {2} r ^ {2} + { frac {r ^ {2} R '' (r)} {R (r)}} + { frac {rR '(r)} { R (r)}} = L}$

a

${ displaystyle - { frac { Theta '' ( theta)} { Theta ( theta)}} = L,}$

pro nějakou konstantu ${ displaystyle L.}$ Od té doby ${ displaystyle Theta ( theta)}$ je periodický, s tečkou ${ displaystyle 2 pi,}$ ${ displaystyle theta}$ je úhlová proměnná, z toho vyplývá

${ displaystyle Theta ( theta) = C cos m theta + D sin m theta, ,}$

kde ${ displaystyle m = 0,1, tečky}$ a ${ displaystyle C}$ a ${ displaystyle D}$ jsou některé konstanty. Z toho také vyplývá ${ displaystyle L = m ^ {2}.}$

Vracíme se k rovnici pro ${ displaystyle R (r),}$ jeho řešení je lineární kombinací Besselovy funkce ${ displaystyle J_ {m}}$ a ${ displaystyle Y_ {m}.}$ S podobným argumentem jako v předchozí části se dostáváme k

${ displaystyle R (r) = J_ {m} ( lambda _ {mn} r), ,}$ ${ displaystyle m = 0,1, tečky,}$ ${ displaystyle n = 1,2, tečky,}$

kde ${ displaystyle lambda _ {mn} = alpha _ {mn} / a,}$ s ${ displaystyle alpha _ {mn}}$ the ${ displaystyle n}$-tý pozitivní kořen ${ displaystyle J_ {m}.}$

Ukázali jsme, že všechna řešení v oddělených proměnných problému s hlavou vibračního bubnu mají formu

${ displaystyle u_ {mn} (r, theta, t) = vlevo (A cos c lambda _ {mn} t + B sin c lambda _ {mn} t vpravo) J_ {m} left ( lambda _ {mn} r right) (C cos m theta + D sin m theta)}$

pro ${ displaystyle m = 0,1, tečky, n = 1,2, tečky}$

Animace několika vibračních režimů

Níže je uvedena řada režimů spolu s jejich kvantovými čísly. Rovněž jsou naznačeny analogické vlnové funkce atomu vodíku a související úhlové frekvence ${ displaystyle omega = lambda _ {mn} c = alfa _ {mn} c / a}$.

Viz také

• Vibrační struna, jednorozměrný případ
• Chladni vzory, časný popis souvisejícího jevu, zejména u hudebních nástrojů; viz také cymatika
• Slyšení tvaru bubnu, charakterizující režimy s ohledem na tvar membrány
• Atomová oběžná dráha, související kvantově-mechanický a trojrozměrný problém

Reference

• H. Asmar, Nakhle (2005). Parciální diferenciální rovnice s Fourierovými řadami a problémy okrajových hodnot. Upper Saddle River, N.J .: Pearson Prentice Hall. p. 198. ISBN  0-13-148096-0.