Lokalizace podkategorie - Localizing subcategory - Wikipedia

V matematice Serre a lokalizace podkategorií tvoří důležité třídy podkategorií z abelianská kategorie. Lokalizace podkategorií jsou určité podkategorie Serre. Jsou silně spojeny s pojmem a kategorie kvocientu.

Podkategorie Serre

Nechat ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ být abelianská kategorie. Neprázdný plný podkategorie ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ se nazývá a Podkategorie Serre (nebo také a hustá podkategorie), pokud pro každý krátký přesná sekvence ${ displaystyle 0 rightarrow A ' rightarrow A rightarrow A' ' rightarrow 0}$ v ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ objekt ${ displaystyle A}$ je v ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ jen a jen v případě, že objekty ${ displaystyle A '}$a ${ displaystyle A '}}$ patřit k ${ displaystyle { mathcal {C}}}$. Ve slovech: ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ je uzavřen pod podobjekty, kvocientovými objekty a příponami.

Důležitost této představy vyplývá ze skutečnosti, že jádra přesné funktory mezi abelianskými kategoriemi mají tuto vlastnost a kterou lze stavět (pro lokálně malé ${ displaystyle { mathcal {A}}}$) kategorie kvocientu (ve smyslu Gabriel, Grothendieck,Serre ) ${ displaystyle { mathcal {A}} / { mathcal {C}}}$, který má stejné objekty jako ${ displaystyle { mathcal {A}}}$, je abelian a přichází s přesným funktorem (nazývaným kvocientový funktor) ${ displaystyle T colon { mathcal {A}} rightarrow { mathcal {A}} / { mathcal {C}}}$ jehož jádro je ${ displaystyle { mathcal {C}}}$.

Lokalizace podkategorií

Nechat ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ být lokálně malý. Podkategorie Serre ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ je nazýván lokalizace, pokud je funktor kvocientu${ displaystyle T colon { mathcal {A}} rightarrow { mathcal {A}} / { mathcal {C}}}$ mápravý adjoint${ displaystyle S colon { mathcal {A}} / { mathcal {C}} rightarrow { mathcal {A}}}$. Od té doby ${ displaystyle T}$, jako levý adjoint, zachovává kolimity, každá lokalizující podkategorie je uzavřena pod colimity. Funktor ${ displaystyle T}$ (nebo někdy ${ displaystyle ST}$) se také nazývá funktor lokalizace, a ${ displaystyle S}$ the funktor sekce. Funktor sekce je přesný vlevo a plně věrný.

Pokud abelian kategorie ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je navícdokončit a má injekční trupy (např. pokud se jedná o Kategorie Grothendieck ), pak Serresubcategory ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ je lokalizace právě tehdy${ displaystyle { mathcal {C}}}$ je uzavřen pod libovolnými vedlejšími produkty (neboli přímé částky). Proto je pojem lokalizující podkategorie rovnocenný s pojmem dědičný torzní třída.

Li ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je kategorie Grothendieck a${ displaystyle { mathcal {C}}}$ lokalizační podkategorii, poté kategorii kvocientu${ displaystyle { mathcal {A}} / { mathcal {C}}}$ je opět kategorií Grothendieck.

The Věta o Gabriel-Popescu znamená, že každá kategorie Grothendieck je kvocientovou kategorií a kategorie modulu ${ displaystyle operatorname {Mod} (R)}$ (s ${ displaystyle R}$ vhodný prsten ) modulo lokalizační podkategorii.

Viz také

• Giraud podkategorie

Reference

• Nicolae Popescu; 1973; Abelian kategorie s aplikacemi na prsteny a moduly; Academic Press, Inc .; z tisku.