Sférické 3-potrubí - Spherical 3-manifold

v matematika, a kulové 3-potrubí M je 3-potrubí formuláře

${ displaystyle M = S ^ {3} / Gamma}$

kde ${ displaystyle Gamma}$ je konečný podskupina z SO (4) jednající svobodně rotací na 3 koule ${ displaystyle S ^ {3}}$. Všechna taková potrubí jsou primární, orientovatelný, a Zavřeno. Sférické 3-potrubí jsou někdy nazývány eliptické 3-potrubí nebo Clifford-Klein potrubí.

Vlastnosti

Sférické 3-potrubí ${ displaystyle S ^ {3} / Gamma}$ má konečnou základní skupina izomorfní na sebe. The eliptizační domněnka, prokázáno Grigori Perelman, uvádí, že naopak všechny kompaktní 3-potrubí s konečnou základní skupinou jsou kulové potrubí.

Základní skupina je buď cyklický, nebo je centrálním rozšířením a vzepětí, čtyřboká, osmistěn nebo icosahedral skupina cyklickou skupinou sudého řádu. Tím se rozděluje sada takových potrubí do 5 tříd popsaných v následujících částech.

Kulové rozdělovače jsou přesně rozdělovače se sférickou geometrií, jednou z 8 geometrií Thurstonova domněnka o geometrizaci.

Cyklické pouzdro (prostory pro čočky)

Rozdělovače ${ displaystyle S ^ {3} / Gamma}$ s Γ cyklický jsou přesně trojrozměrné prostory pro čočky. Prostor pro čočky není určen svou základní skupinou (existujíhomeomorfní prostory pro čočky s izomorfní základní skupiny); ale jakékoli jiné sférické potrubí je.

Trojrozměrné prostory čoček vznikají jako kvocienty ${ displaystyle S ^ {3} podmnožina mathbb {C} ^ {2}}$ akcí skupiny, která je generována prvky formuláře

${ displaystyle { begin {pmatrix} omega & 0 0 & omega ^ {q} end {pmatrix}}.}$

kde ${ displaystyle omega = e ^ {2 pi i / p}}$. Takový prostor pro čočky ${ displaystyle L (p; q)}$ má základní skupinu ${ displaystyle mathbb {Z} / p mathbb {Z}}$ pro všechny ${ displaystyle q}$, takže prostory s různými ${ displaystyle p}$ nejsou ekvivalentem homotopy. Dále jsou známy klasifikace až po homeomorfismus a rovnocennost homotopy. Trojrozměrné prostory ${ displaystyle L (p; q_ {1})}$ a${ displaystyle L (p; q_ {2})}$ jsou:

1. ekvivalent homotopy právě tehdy ${ displaystyle q_ {1} q_ {2} equiv pm n ^ {2} { pmod {p}}}$ pro některé ${ displaystyle n in mathbb {N};}$
2. homeomorfní právě tehdy ${ displaystyle q_ {1} equiv pm q_ {2} ^ { pm 1} { pmod {p}}.}$

Zejména prostory pro čočky L(7,1) a L(7,2) uvádějí příklady dvou 3-variet, které jsou homotopy ekvivalentní, ale nejsou homeomorfní.

Prostor objektivu L(1,0) je 3 koule a prostor pro čočky L(2,1) je trojrozměrný skutečný projektivní prostor.

Mezery objektivu lze reprezentovat jako Seifertové vláknové prostory v mnoha ohledech, obvykle jako vláknité prostory nad 2 sférou s nejvýše dvěma výjimečnými vlákny, ačkoli prostor čočky se základní skupinou řádu 4 má také reprezentaci jako Seifertův vláknový prostor nad projektivní rovinou bez výjimečných vláken.

Dihedral případ (hranol potrubí)

A hranol potrubí je uzavřený 3-dimenzionální potrubí M jehož základní skupina je ústředním rozšířením dihedrální skupiny.

Základní skupina π₁(M) z M je produktem cyklické skupiny řádu m se skupinou, která má prezentaci

${ displaystyle langle x, y mid xyx ^ {- 1} = y ^ {- 1}, x ^ {2 ^ {k}} = y ^ {n} rangle}$

pro celá čísla k, m, n s k ≥ 1, m ≥ 1, n≥ 2 a m coprime na 2n.

Alternativně má základní skupina prezentaci

${ displaystyle langle x, y mid xyx ^ {- 1} = y ^ {- 1}, x ^ {2m} = y ^ {n} rangle}$

pro coprime celá čísla m, n s m ≥ 1, n ≥ 2. (The n zde se rovná předchozímu na m tady je 2^k-1 krát předchozí m.)

Pokračujeme druhou prezentací. Tato skupina je a metacyklická skupina objednávky 4mn s abelianizace objednávky 4m (tak m a n jsou obě určeny touto skupinou). Prvek y generuje a cyklický normální podskupina objednávky 2na prvek X má objednávku 4m. The centrum je cyklický řádu 2m a je generován X²a kvocient uprostřed je dihedrální skupina objednávky 2n.

Když m = 1 tato skupina je binární vzepětí nebo dicyklická skupina. Nejjednodušší příklad je m = 1, n = 2, když π₁(M) je čtveřice skupina objednávky 8.

Hranolová potrubí jsou jednoznačně určena jejich základními skupinami: pokud má uzavřený 3-potrubí stejnou základní skupinu jako hranolový potrubí M, to je homeomorfní na M.

Hranolová potrubí lze reprezentovat jako Seifertové vláknové prostory dvěma způsoby.

Čtyřboký případ

Základní skupina je produktem cyklické skupiny řádu m se skupinou, která má prezentaci

${ displaystyle langle x, y, z mid (xy) ^ {2} = x ^ {2} = y ^ {2}, zxz ^ {- 1} = y, zyz ^ {- 1} = xy, z ^ {3 ^ {k}} = 1 rangle}$

pro celá čísla k, m s k ≥ 1, m ≥ 1 a m coprime na 6.

Alternativně má základní skupina prezentaci

${ displaystyle langle x, y, z mid (xy) ^ {2} = x ^ {2} = y ^ {2}, zxz ^ {- 1} = y, zyz ^ {- 1} = xy, z ^ {3m} = 1 rangle}$

pro liché celé číslo m ≥ 1. (The m tady je 3^k-1 krát předchozí m.)

Pokračujeme druhou prezentací. Tato skupina má objednávku 24m. Elementy X a y generovat normální podskupinu isomorfní s čtveřice skupina objednávky 8. The centrum je cyklický řádu 2m. Je generován prvky z³ a X² = y²a kvocient uprostřed je čtyřboká skupina, ekvivalentně střídavá skupina A₄.

Když m = 1 tato skupina je binární čtyřboká skupina.

Tato potrubí jsou jednoznačně určena jejich základními skupinami. Mohou být všechny zastoupeny v podstatě jedinečným způsobem jako Seifertové vláknové prostory: kvocient potrubí je koule a existují 3 výjimečná vlákna řádů 2, 3 a 3.

Oktaedrický případ

Základní skupina je produktem cyklické skupiny řádu m coprime na 6 s binární oktaedrická skupina (pořadí 48), který má prezentaci

${ displaystyle langle x, y mid (xy) ^ {2} = x ^ {3} = y ^ {4} rangle.}$

Tato potrubí jsou jednoznačně určena jejich základními skupinami. Mohou být všechny zastoupeny v podstatě jedinečným způsobem jako Seifertové vláknové prostory: kvocient potrubí je koule a existují 3 výjimečná vlákna řádů 2, 3 a 4.

Ikosahedrální případ

Základní skupina je produktem cyklické skupiny řádu m coprime na 30 s binární ikosaedrální skupina (objednávka 120), která má prezentaci

${ displaystyle langle x, y mid (xy) ^ {2} = x ^ {3} = y ^ {5} rangle.}$

Když m je 1, potrubí je Poincarého homologie koule.

Tato potrubí jsou jednoznačně určena jejich základními skupinami. Mohou být všechny reprezentovány v zásadě jedinečným způsobem jako prostory vláken Seifert: kvocient potrubí je koule a existují 3 výjimečná vlákna řádů 2, 3 a 5.

Reference

• Peter Orlik, Seifert potrubí, Lecture Notes in Mathematics, roč. 291, Springer-Verlag (1972). ISBN  0-387-06014-6
• William Jaco, Přednášky o 3-varietní topologii ISBN  0-8218-1693-4
• William Thurston, Trojrozměrná geometrie a topologie. Sv. 1. Upravil Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1997. ISBN  0-691-08304-5