Dává podmínku, aby byla sada funkcí v prostoru Lp relativně kompaktní
v funkční analýza, Fréchet – Kolmogorovova věta (jména Riesz nebo Weil jsou někdy také přidány) dává nezbytnou a dostatečnou podmínku pro existenci sady funkcí relativně kompaktní v Lp prostor. Lze to považovat za Lp verze Věta Arzelà – Ascoli, z čehož lze odvodit. Věta je pojmenována po Maurice René Fréchet a Andrey Kolmogorov.
Prohlášení
Nechat být podmnožinou s a nechte označit překlad podle , to znamená,
Podmnožina je relativně kompaktní jen tehdy, pokud platí následující vlastnosti:
- (Rovnoměrné) rovnoměrně zapnuto .
- (Equitight) rovnoměrně zapnuto .
První vlastnost může být uvedena jako takhle s
Věta Fréchet – Kolmogorov je obvykle formulována s extra předpokladem je ohraničený (tj. rovnoměrně zapnuto ). Nedávno se však ukázalo, že rovnost a ekvikontinuita tuto vlastnost implikují.[1]
Speciální případ
Pro podmnožinu z , kde je omezená podmnožina , podmínka rovnosti není nutná. Proto je nezbytná a dostatečná podmínka pro být relativně kompaktní je, že platí vlastnost ekvikontinuity. Tuto vlastnost je však nutné interpretovat opatrně, jak ukazuje následující příklad.
Příklady
Existence řešení PDE
Nechat být sekvence řešení viskózní Burgersova rovnice pózoval v :
s dostatečně hladký. Pokud řešení Užij si -kontrakce a -vázané vlastnosti,[2] ukážeme existenci řešení inviscid Burgersova rovnice
První vlastnost může být uvedena následovně: If jsou řešení Burgersovy rovnice s jako počáteční data
Druhá vlastnost to jednoduše znamená .
Nyní, pojďme být kdokoli kompaktní sada a definovat
kde je na scéně a 0 jinak. Automaticky, od té doby
Rovnoměrnost je důsledkem -kontrakce od je řešením Burgersovy rovnice s jako počáteční data a od -vázané držení: Máme to
Pokračujeme uvažováním
První výraz na pravé straně vyhovuje
změnou proměnné a -kontrakce. Druhý termín vyhovuje
změnou proměnné a -vázaný. Navíc,
Oba výrazy lze odhadnout jako dříve, když si všimneme, že časová ekvikontinuita následuje znovu -kontrakce.[3] Kontinuita mapování překladu v pak dává rovnoměrně ekvikontinuitu .
Rovnost platí podle definice tím, že dost velký.
Proto, je relativně kompaktní v , a pak existuje konvergentní subsekvence v . Krycím argumentem je poslední konvergence .
K závěru o existenci zbývá zkontrolovat, zda limitní funkce, as , z posloupnosti splňuje
Viz také
Reference
Literatura
|
---|
Prostory | |
---|
Věty | |
---|
Operátoři | |
---|
Algebry | |
---|
Otevřené problémy | |
---|
Aplikace | |
---|
Pokročilá témata | |
---|