Přesná sekvence chirurgie - Surgery exact sequence
V matematice teorie chirurgie the přesná sekvence operace je hlavním technickým nástrojem pro výpočet sada chirurgické struktury kompaktu potrubí v rozměru . The sada chirurgické struktury kompaktu -rozměrné potrubí je špičatá sada který klasifikuje -dimenzionální potrubí v homotopy typu .
Základní myšlenkou je, že za účelem výpočtu stačí pochopit ostatní pojmy v pořadí, které jsou obvykle snazší určit. To jsou na jedné straně normální invarianty která forma zobecněné kohomologické skupiny, a proto lze použít standardní nástroje algebraická topologie alespoň v zásadě je vypočítat. Na druhou stranu existují L-skupiny které jsou definovány algebraicky ve smyslu kvadratické formy nebo z hlediska řetězové komplexy s kvadratickou strukturou. O těchto skupinách se toho ví hodně. Další částí sekvence jsou chirurgická obstrukce mapy od normálních invariantů do L-skupin. U těchto map existují určité charakteristické třídy vzorce, které je v některých případech umožňují vypočítat. Znalost těchto tří složek, to znamená: normálních map, L-skupin a mapování obstrukcí chirurgie stačí k určení sady struktur (alespoň do problémů s rozšířením).
V praxi je třeba postupovat případ od případu u každého potrubí je jedinečným úkolem určit přesnou sekvenci operace, viz některé příklady níže. Všimněte si také, že existují verze přesné sekvence operace v závislosti na kategorie z rozdělovačů, se kterými pracujeme: smooth (DIFF), PL nebo topologické potrubí a zda vezmeme Torze Whitehead nebo ne (dekorace nebo ).
Původní dílo z roku 1962 Browder a Novikov o existenci a jedinečnosti variet v rámci a jednoduše připojeno typ homotopy byl přeformulován Sullivan v roce 1966 jako přesná sekvence operaceV roce 1970 zeď rozvinutý není jednoduše připojen teorie chirurgie a přesná sekvence chirurgie pro potrubí s libovolnou základní skupina.
Definice
Přesná sekvence operace je definována jako
kde:
položky a jsou abelianské skupiny z normální invarianty,
položky a jsou L-skupiny spojené s skupinové vyzvánění ,
mapy a jsou chirurgická obstrukce mapy,
šipky a bude vysvětleno níže.
Verze
Existují různé verze přesné sekvence chirurgického zákroku. Lze pracovat v jedné ze tří kategorií potrubí: diferencovatelné (hladké), PL, topologické. Další možností je pracovat s dekoracemi nebo .
Položky
Normální invarianty
Normální mapa stupně jedna sestává z následujících údajů: an -rozměrně orientované uzavřené potrubí , mapa což je stupeň jedna (to znamená ) a mapa svazku ze stabilního tangenta svazku do nějakého svazku přes . Dvě takové mapy jsou ekvivalentní, pokud mezi nimi existuje normální bordismus (to znamená bordismus zdrojů pokrytých vhodnými daty svazku). Jsou nazývány třídy ekvivalence normálních map stupně jedna normální invarianty.
Když jsou takto definovány, normální invarianty jsou jen špičatá množina, přičemž základní bod je dán . Nicméně Pontrjagin-Thom stavba dává struktura abelianské skupiny. Ve skutečnosti máme nepřirozenou bijekci
kde označuje homotopické vlákno mapy , což je nekonečný smyčkový prostor, a proto do něj mapují definici zobecněné teorie cohomologie. Existují odpovídající identifikace normálních invarianty s při práci s rozdělovači PL a s při práci s topologickými potrubími.
L-skupiny
The -skupiny jsou definovány algebraicky z hlediska kvadratické formy nebo z hlediska řetězových komplexů s kvadratickou strukturou. Další podrobnosti najdete v hlavním článku. Zde budou důležité pouze vlastnosti L-skupin popsaných níže.
Mapy obstrukce chirurgie
Mapa je v prvním případě množinová teoretická mapa (to znamená, že to nemusí být nutně homomorfismus) s následující vlastností (když :
Normální mapa stupně jedna obvykle odpovídá homotopické ekvivalenci tehdy a jen tehdy, pokud je obrázek v .
Šipka normální invarianty
Jakákoli rovnocennost homotopy definuje normální mapu stupně jedna.
Šipka obstrukce chirurgie
Tato šipka ve skutečnosti popisuje akci skupiny na scéně spíše než jen mapa. Definice je založena na teorému realizace prvků prvku -skupiny, které zní takto:
Nechat být -rozměrné potrubí s a nechte . Pak existuje stupeň jedna normální mapa potrubí s hranicí
s následujícími vlastnostmi:
1.
2. je difeomorfismus
3. je homotopická ekvivalence uzavřených potrubí
Nechat představují prvek v a nechte . Pak je definován jako .
Přesnost
Připomeňme, že sada chirurgické struktury je pouze špičatá sada a že mapa obstrukce chirurgie nemusí být homomorfismus. Proto je nutné vysvětlit, co se rozumí, když se mluví o „přesné posloupnosti“. Přesná sekvence operace je tedy přesná sekvence v následujícím smyslu:
Pro normální invariant my máme kdyby a jen kdyby . Pro dvě rozmanité struktury my máme jen tehdy, pokud existuje takhle . Pro prvek my máme kdyby a jen kdyby .
Verze znovu navštíveny
V kategorii topologie lze z mapy obstrukce chirurgie udělat homomorfismus. Toho je dosaženo zavedením alternativní abelianské skupinové struktury na normální invarianty, jak je popsáno tady. Přesnou sekvenci chirurgického zákroku lze navíc identifikovat přesnou sekvencí algebraické chirurgie Ranickiho, což je podle definice přesná sekvence abelianských skupin. To dává sadu struktur struktura abelianské skupiny. Všimněte si však, že k tomuto datu neexistuje uspokojivý geometrický popis této abelianské skupinové struktury.
Klasifikace potrubí
Odpověď na organizační otázky teorie chirurgie lze formulovat z hlediska přesné sekvence chirurgického zákroku. V obou případech je odpověď dána formou dvoustupňové teorie obstrukce.
Otázka existence. Nechat být konečným komplexem Poincaré. Je to homotopy ekvivalentní k rozdělovači, jen když jsou splněny následující dvě podmínky. Za prvé, musí mít redukci vektorového svazku své normální fibrace Spivak. Tuto podmínku lze také formulovat tak, že říká, že množina normálních invariantů není prázdný. Zadruhé musí existovat normální invariant takhle . Ekvivalentně, mapa obstrukce chirurgie zásahy .
Otázka jedinečnosti. Nechat a představují dva prvky v sada chirurgické struktury . Na otázku, zda představují stejný prvek, lze odpovědět ve dvou fázích následovně. Nejprve musí existovat normální cobordism mezi stupněm, které normální mapy vyvolávají a , to znamená v . Označme normální cobordism . Pokud je chirurgická obstrukce v udělat z tohoto normálního cobordismu h-cobordism (nebo s-cobordism ) vzhledem k hranici pak zmizí a ve skutečnosti představují stejný prvek v sada chirurgické struktury.
Quinnova chirurgická fibrace
Ve své práci napsané pod vedením Browder, Frank Quinn zavedl sekvenci vláken tak, že dlouhá přesná sekvence chirurgického zákroku je indukovaná sekvence na homotopy skupin.[1]
Příklady
1. Homotopy koule
Toto je příklad v hladké kategorii, .
Myšlenka přesné sekvence chirurgie je implicitně přítomna již v původním článku Kervaire a Milnora o skupinách homotopických sfér. V současné terminologii máme
skupina cobordismů téměř zarámovaná rozdělovače,
kde mod (připomeň si - periodicita L-skupiny )
Přesná sekvence operace je v tomto případě přesná sekvence abelianských skupin. Kromě výše uvedených identifikací máme
Protože liché dimenzionální L-skupiny jsou triviální, získá se tyto přesné sekvence:
Výsledky Kervaire a Milnora jsou získány studiem prostřední mapy v prvních dvou sekvencích a vztahem skupin stabilní teorii homotopy.
2. Topologické sféry
The zobecněný Poincarého dohad v rozměru lze vyslovit tak, že to říkáte . Bylo prokázáno, že pro všechny dílem Smaleho, Freedmana a Perelmana. Z operace přesná sekvence pro pro v topologické kategorii to vidíme
je izomorfismus. (Ve skutečnosti to lze rozšířit na některými ad-hoc metodami.)
3. Složité projektivní prostory v topologické kategorii
Složitý projektivní prostor je -dimenzionální topologické potrubí s . Kromě toho je známo, že v případě v topologické kategorii mapa obstrukce chirurgie je vždy surjektivní. Proto máme
Z práce Sullivana lze vypočítat
- a tudíž
4. Asférický potrubí v topologické kategorii
Asférický -rozměrné potrubí je - mnohočetné pro . Proto je jedinou netriviální homotopickou skupinou
Jeden způsob, jak uvést Borel dohad to znamená, že za takové máme to Skupina Whitehead je triviální a to
Tato domněnka byla prokázána v mnoha zvláštních případech - například když je , když se jedná o základní skupinu negativně zakřiveného potrubí nebo když se jedná o hyperbolickou skupinu slov nebo skupinu CAT (0).
Výrok je ekvivalentní s ukázkou, že mapa obstrukce chirurgie napravo od sady struktur chirurgie je injektivní a mapa obstrukce chirurgie nalevo od sady struktur chirurgie je surjektivní. Většina důkazů o výše uvedených výsledcích se provádí studiem těchto map nebo studiem montážní mapy s nimiž je lze identifikovat. Více podrobností v Borel dohad, Farrell-Jonesova domněnka.
Reference
- ^ Quinn, Frank (1971), Geomerní formulace chirurgie (PDF), Topologie rozdělovačů, Proc. Univ. Georgia 1969, 500-511 (1971)
- Browder, William (1972), Chirurgie na jednoduše připojených potrubích, Berlín, New York: Springer-Verlag, PAN 0358813
- Lück, Wolfgang (2002), Základní úvod do teorie chirurgie (PDF)„Přednášky pro ICTP Series 9, pásmo 1, školy„ High-dimenzional manifold theory “v Terstu, květen / červen 2001, Abdus Salam International Center for Theoretical Physics, Terst 1-224
- Ranicki, Andrew (1992), Algebraická L-teorie a topologické potrubí (PDF)„Cambridge Tracts in Mathematics“, 102, Cambridge University Press
- Ranicki, Andrew (2002), Algebraická a geometrická chirurgie (PDF)Oxfordské matematické monografie, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850924-0, PAN 2061749
- Wall, C. T. C. (1999), Chirurgie na kompaktních potrubíchMatematické průzkumy a monografie 69 (2. vyd.), Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-0942-6, PAN 1687388