Barban – Davenport – Halberstamova věta - Barban–Davenport–Halberstam theorem

V matematice je Barban – Davenport – Halberstamova věta je prohlášení o distribuci prvočísla v aritmetický postup. Je známo, že z dlouhodobého hlediska jsou prvočísla rovnoměrně rozdělena napříč možnými průběhy se stejným rozdílem. Věty typu Barban – Davenport – Halberstam poskytují odhady chybného výrazu a určují, jak blízko jednotný distribuce jsou.

Prohlášení

Nechat A být coprime na q a

${ displaystyle vartheta (x; q, a) = součet _ {p leq x ,; , p equiv a { bmod {q}}} log p }$

být váženým počtem prvočísel v aritmetické posloupnosti A modq. My máme

${ displaystyle vartheta (x; q, a) = { frac {x} { varphi (q)}} + E (x; q, a) }$

kde φ je Eulerova totientová funkce a chybový termín E je ve srovnání sX. Bereme součet čtverců chybových výrazů

${ displaystyle V (x, Q) = součet _ {q leq Q} součet _ {a { bmod {q}}} | E (x; q, a) | ^ {2} .}$

Pak máme

${ displaystyle V (x, Q) = O (Qx log x) + O (x ^ {2} ( log x) ^ {- A}) }$

pro ${ displaystyle 1 leq Q leq x}$ a každé pozitivníA, kde Ó je Landauova velká O notace.

Tato forma věty je způsobena Gallagherem. Výsledek Barbana je platný pouze pro ${ displaystyle Q leq x ( log x) ^ {- B}}$ pro některé B záleží na Aa výsledek Davenport – Halberstam máB = A + 5.

Viz také

• Bombieri – Vinogradovova věta
• Domněnka Elliott – Halberstam

Reference

• Hooley, C. (2002). „K větám typu Barban-Davenport-Halberstam“. In Bennett, M. A .; Berndt, B. C.; Boston, N.; Diamond, H. G .; Hildebrand, A. J .; Philipp, W. (eds.). Průzkumy v teorii čísel: Příspěvky z tisícileté konference o teorii čísel. Natick, MA: A K Peters. 75–108. ISBN  1-56881-162-4. Zbl  1039.11057.