Mezní bod kompaktní - Limit point compact

V matematice, a topologický prostor X se říká, že je kompaktní mezní bod^[1]^[2] nebo slabě spočetně kompaktní^[3] pokud každá nekonečná podmnožina X má mezní bod v X. Tato vlastnost zobecňuje vlastnost kompaktní prostory. V metrický prostor, kompaktnost mezního bodu, kompaktnost a sekvenční kompaktnost jsou rovnocenné. Pro obecné topologické prostory však tyto tři pojmy kompaktnosti nejsou ekvivalentní.

Vlastnosti a příklady

V topologickém prostoru jsou podmnožiny bez mezního bodu přesně ty, které jsou uzavřené a diskrétní v topologii podprostoru. Prostor je tedy kompaktní mezní bod právě tehdy, když jsou všechny jeho uzavřené diskrétní podmnožiny konečné.
Prostor X je ne kompaktní mezní bod právě tehdy, má-li nekonečný uzavřený diskrétní podprostor. Protože jakákoli podmnožina uzavřené diskrétní podmnožiny X je sám uzavřen X a diskrétní, to odpovídá požadavku X má nespočetně nekonečný uzavřený diskrétní podprostor.
Některé příklady prostorů, které nejsou kompaktní s mezními body: (1) Sada ${ displaystyle { mathbb {R}}}$ všech reálných čísel s obvyklou topologií, protože celá čísla jsou nekonečnou množinou, ale nemají mezní bod ${ displaystyle { mathbb {R}}}$ ; (2) nekonečná množina s diskrétní topologií; (3) spočítatelná topologie doplňků na nespočetné množině.
Každý spočítatelně kompaktní prostor (a tedy každý kompaktní prostor) je kompaktní mezní bod.
Pro T₁ mezery, kompaktnost mezního bodu je ekvivalentní spočítatelné kompaktnosti.
Příklad kompaktního prostoru mezního bodu, který není spočetně kompaktní, se získá „zdvojnásobením celých čísel“, konkrétně převzetím produktu ${ displaystyle X = { mathbb {Z}} krát Y}$ kde ${ displaystyle { mathbb {Z}}}$ je množina všech celých čísel s diskrétní topologie a ${ displaystyle Y = {0,1 }}$ má neurčitá topologie. Prostor ${ displaystyle X}$ je homeomorfní vůči lichá-sudá topologie.^[4] Tento prostor není T₀. Jedná se o kompaktní mezní bod, protože každá neprázdná podmnožina má mezní bod.
Příklad T₀ prostor, který je kompaktní s mezním bodem a nepočítatelně kompaktní ${ displaystyle X = { mathbb {R}}}$ , množina všech reálných čísel s topologie správného pořadí, tj. topologie generovaná všemi intervaly ${ displaystyle (x, infty)}$ .^[5] Prostor je kompaktní mezní bod, protože daný bod ${ displaystyle a v X}$ , každý ${ displaystyle x$ je mezní bod ${ displaystyle {a }}$ .
Pro měřitelné prostory, kompaktnost, počítatelná kompaktnost, kompaktnost mezního bodu a sekvenční kompaktnost jsou rovnocenné.
Kontinuální obraz kompaktního prostoru mezního bodu nemusí být kompaktní mezním bodem. Například pokud ${ displaystyle X = { mathbb {Z}} krát Y}$ s ${ displaystyle { mathbb {Z}}}$ diskrétní a ${ displaystyle Y}$ konkrétní jako v příkladu výše, mapa ${ displaystyle f = pi _ { mathbb {Z}}}$ daný promítnutím na první souřadnici je spojitý, ale ${ displaystyle f (X) = { mathbb {Z}}}$ není kompaktní mezní bod.
Kompaktní prostor mezního bodu nemusí být pseudokompaktní. Příklad je uveden stejným ${ displaystyle X = { mathbb {Z}} krát Y}$ s ${ displaystyle Y}$ konkrétní dvoubodový prostor a mapa ${ displaystyle f = pi _ { mathbb {Z}}}$ , jehož obraz není ohraničen ${ displaystyle { mathbb {R}}}$ .
Pseudokompaktní prostor nemusí být kompaktní s mezním bodem. Příkladem je nespočetná množina s spočítatelná topologie.
Každý normální pseudokompaktní prostor je kompaktní s limitním bodem.^[6]
Důkaz: Předpokládejme ${ displaystyle X}$ je normální prostor, který není kompaktní s limitním bodem. Existuje spočítatelně nekonečná uzavřená diskrétní podmnožina ${ displaystyle A = {x_ {n}: n = 1,2, ldots }}$ z ${ displaystyle X}$ . Podle Věta o prodloužení Tietze spojitá funkce ${ displaystyle f}$ na ${ displaystyle A}$ definován ${ displaystyle f (x_ {n}) = n}$ lze rozšířit na (neomezenou) kontinuální funkci se skutečnou hodnotou u všech ${ displaystyle X}$ . Tak ${ displaystyle X}$ není pseudokompaktní.
Kompaktní prostory mezního bodu mají spočet rozsah.
Pokud (X, T) a (X, T *) jsou topologické prostory s T * jemnější než T a (X, T *) je kompaktní koncový bod, pak také (X, T).

Viz také

Poznámky

^ Terminologie „kompaktní mezní bod“ se objevuje v učebnici topologie od James Munkres kde říká, že historicky byly takové prostory nazývány jen „kompaktní“ a to, co dnes nazýváme kompaktní prostory, bylo nazýváno „bicompact“. Poté došlo k posunu v terminologii, kdy se dvoukompaktní prostory nazývaly jen „kompaktní“ a žádný obecně přijímaný název pro první koncept, někteří jej nazývaliFréchet kompaktnost ", jiní„ Bolzano-Weierstrassův majetek ". Říká, že vynalezl pojem„ kompaktní mezní bod ", aby měl něco alespoň popisného. Munkres, s. 178-179.
^ Steen & Seebach, str. 19
^ Steen & Seebach, str. 19
^ Steen & Seebach, příklad 6
^ Steen & Seebach, příklad 50
^ Steen & Seebach, str. 20. To, co nazývají „normální“, je T₄ v terminologii wikipedie, ale je to v podstatě stejný důkaz jako zde.

Reference

James Munkres (1999). Topologie (2. vyd.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
Lynn Arthur Steen a J. Arthur Seebach, Jr., Protiklady v topologii. Springer-Verlag, New York, 1978. Přetištěno v Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Vydání Doveru).
Tento článek včlení materiál od Weakly countably compact on PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

[1] Terminologie „kompaktní mezní bod“ se objevuje v učebnici topologie od James Munkres kde říká, že historicky byly takové prostory nazývány jen „kompaktní“ a to, co dnes nazýváme kompaktní prostory, bylo nazýváno „bicompact“. Poté došlo k posunu v terminologii, kdy se dvoukompaktní prostory nazývaly jen „kompaktní“ a žádný obecně přijímaný název pro první koncept, někteří jej nazývaliFréchet kompaktnost ", jiní„ Bolzano-Weierstrassův majetek ". Říká, že vynalezl pojem„ kompaktní mezní bod ", aby měl něco alespoň popisného. Munkres, s. 178-179.

[2] Steen & Seebach, str. 19

[3] Steen & Seebach, str. 19

[4] Steen & Seebach, příklad 6

[5] Steen & Seebach, příklad 50

[6] Steen & Seebach, str. 20. To, co nazývají „normální“, je T₄ v terminologii wikipedie, ale je to v podstatě stejný důkaz jako zde.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]