Ruffinis pravidlo - Ruffinis rule - Wikipedia

Tento článek je tón nebo styl nemusí odrážet encyklopedický tón použitý na Wikipedii. Viz Wikipedia průvodce psaním lepších článků pro návrhy. (Únor 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Ruffiniho pravidlo je praktický způsob výpočtu papíru pomocí tužky Euklidovské dělení a polynomiální podle a binomický formuláře X – r. Popsal to Paolo Ruffini v roce 1804.^[1] Ruffiniho pravidlo je zvláštním případem syntetické dělení když dělitel je lineární faktor.

Algoritmus

Pravidlo stanoví metodu dělení polynomu

${ displaystyle P (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + cdots + a_ {1} x + a_ {0}}$

dvojčlenem

${ displaystyle Q (x) = x-r}$

získat kvocient polynomu

${ displaystyle R (x) = b_ {n-1} x ^ {n-1} + b_ {n-2} x ^ {n-2} + cdots + b_ {1} x + b_ {0}}$;

Algoritmus je ve skutečnosti dlouhé rozdělení z P(X) od Q(X).

Rozdělit P(X) od Q(X):

1. Vezměte koeficienty z P(X) a zapište si je v pořádku. Potom napiš r na levém dolním okraji, těsně nad čarou:

   ${ displaystyle { begin {array} {c | cccc | c} & a_ {n} & a_ {n-1} & dots & a_ {1} & a_ {0} r &&&&& hline &&&&&& end { pole}}}$

2. Projděte koeficientem nejvíce vlevo (A_n) dolů, těsně pod řádek:

   ${ displaystyle { begin {array} {c | cccc | c} & a_ {n} & a_ {n-1} & dots & a_ {1} & a_ {0} r &&&&& hline & a_ {n} &&&& & = b_ {n-1} &&&& end {pole}}}$

3. Vynásobte číslo zcela vpravo pod řádkem r a napište to přes čáru a jednu pozici doprava:

   ${ displaystyle { begin {array} {c | cccc | c} & a_ {n} & a_ {n-1} & dots & a_ {1} & a_ {0} r && b_ {n-1} cdot r &&& hline & a_ {n} &&&& & = b_ {n-1} &&&& end {pole}}}$

4. Přidejte dvě hodnoty právě umístěné ve stejném sloupci

   ${ displaystyle { begin {array} {c | cccc | c} & a_ {n} & a_ {n-1} & dots & a_ {1} & a_ {0} r && b_ {n-1} cdot r &&& hline & a_ {n} & b_ {n-1} cdot r + a_ {n-1} &&& & = b_ {n-1} & = b_ {n-2} &&& end {array}}}$

5. Opakujte kroky 3 a 4, dokud nezůstanou žádná čísla

   ${ displaystyle { begin {array} {c | cccc | c} & a_ {n} & a_ {n-1} & dots & a_ {1} & a_ {0} r && b_ {n-1} cdot r & dots & b_ {1} cdot r & b_ {0} cdot r hline & a_ {n} & b_ {n-1} cdot r + a_ {n-1} & dots & b_ {1} cdot r + a_ { 1} & a_ {0} + b_ {0} cdot r & = b_ {n-1} & = b_ {n-2} & dots & = b_ {0} & = R end {array }}}$

The b hodnoty jsou koeficienty výsledku (R(X)) polynom, jehož stupeň je o jeden menší než P(X). Získaná konečná hodnota, s, je zbytek. The věta o polynomiálním zbytku tvrdí, že tento zbytek se rovná P(r), hodnota polynomu v r.

Příklad použití

Fungující příklad polynomiálního dělení, jak je popsáno výše.

Nechat:

${ displaystyle P (x) = 2x ^ {3} + 3x ^ {2} -4 , !}$

${ displaystyle Q (x) = x + 1. , !}$

P(X) bude vyděleno Q(X) pomocí Ruffiniho pravidla. Hlavním problémem je to Q(X) není dvojčlen formy X − r, ale raději X + r. Q(X) musí být přepsán tímto způsobem:

${ displaystyle Q (x) = x + 1 = x - (- 1). , !}$

Nyní je použit algoritmus:

1. Zapište si koeficienty a r. Všimněte si, že jako P(X) neobsahoval koeficient pro X, Je napsáno 0:

    |     2     3     0     -4    |                                     -1 |                                    ----|----------------------------    |                                        |

2. Předejte první koeficient dolů:

    |     2     3     0     -4    |                                     -1 |                                    ----|----------------------------    |     2                                  |

3. Vynásobte poslední získanou hodnotu r:

    |     2     3     0     -4    |                                     -1 |          -2                         ----|----------------------------    |     2                                  |

4. Přidejte hodnoty:

    |     2     3     0     -4    | -1 |          -2----|----------------------------    |     2     1    |

5. Opakujte kroky 3 a 4, dokud není dokončeno:

    | 2 3 0 -4 | -1 | -2 -1 1 ---- | ---------------------------- | 2 1 -1 -3 | {result coefficients} {zbytek}

Takže když původní číslo = dělitel × kvocient + zbytek, pak

${ displaystyle P (x) = Q (x) R (x) + s , !}$, kde

${ displaystyle R (x) = 2x ^ {2} + x-1 , !}$ a ${ displaystyle s = -3; quad Rightarrow 2x ^ {3} + 3x ^ {2} -4 = (2x ^ {2} + x-1) (x + 1) -3 !}$

Použití pravidla

Ruffiniho pravidlo má mnoho praktických aplikací; většina z nich spoléhá na jednoduché dělení (jak je ukázáno níže) nebo na běžná rozšíření uvedená ještě dále.

Polynomiální hledání kořenů

The racionální kořenová věta uvádí, že pro polynom F(X) = A_nXⁿ + A_n−1Xⁿ⁻¹ + ... + A₁X + A₀ všechny jejich koeficienty (A_n přes A₀) jsou celá čísla, skutečný Racionální kořeny jsou vždy ve formě p/q, kde p je celočíselný dělitel A₀ a q je celočíselný dělitel A_n. Pokud tedy náš polynom je

${ displaystyle P (x) = x ^ {3} + 2x ^ {2} -x-2 = 0 , !,}$

pak možné racionální kořeny jsou všechny celočíselné dělitele A₀ (−2):

${ displaystyle { text {Možné kořeny:}} left {+ 1, -1, + 2, -2 right }.}$

(Tento příklad je jednoduchý, protože polynom je monic (tj. A_n = 1); pro nemonické polynomy bude sada možných kořenů obsahovat některé zlomky, ale od té doby jen konečný počet A_n a A₀ každý má pouze konečný počet dělitelů celých čísel.) V každém případě pro monické polynomy je každý racionální kořen celé číslo, takže každý kořen celého čísla je pouze dělitelem konstantní termín (tj. A₀). Je možné ukázat, že to platí pro nemonické polynomy, tj. k nalezení celočíselných kořenů libovolných polynomů s celočíselnými koeficienty stačí zkontrolovat dělitele konstantního členu.

Takže nastavení r stejný jako každý z těchto možných kořenů, bude polynom vydělen (X − r). Pokud výsledný kvocient nemá zbytek, byl nalezen kořen.

Můžete si vybrat jednu z následujících tří metod: všechny přinesou stejné výsledky, s výjimkou, že pouze pomocí druhé metody a třetí metody (při použití Ruffiniho pravidla k získání faktorizace) můžete zjistit, že se daný kořen opakuje . (Ani jedna z metod neobjeví iracionální nebo složité kořeny.)

Metoda 1

Divize P(X) dvojčlenem (X - každý možný kořen). Pokud je zbytek 0, vybrané číslo je kořen (a naopak):

    |    +1    +2    -1     -2                      |    +1    +2    -1    -2    |                                               | +1 |          +1    +3     +2                   -1 |          -1    -1    +2----|----------------------------               ----|---------------------------    |    +1    +3    +2      0                      |    +1    +1    -2     0

    |    +1    +2    -1     -2                      |    +1    +2    -1    -2    |                                               | +2 |          +2    +8    +14                   -2 |          -2     0    +2----|----------------------------               ----|---------------------------    |    +1    +4    +7    +12                      |    +1     0    -1     0

${ displaystyle { begin {cases} x_ {1} = + 1 x_ {2} = - 1 x_ {3} = - 2 end {případů}}}$

V příkladu P(X) je polynom stupně tři. Podle základní věta o algebře, může mít maximálně tři komplexní řešení. Polynom je proto zohledněn následovně:

${ displaystyle P (x) = (x-x_ {1}) (x-x_ {2}) (x-x_ {3}) = (x-1) (x + 1) (x + 2) = x ^ {3} + 2x ^ {2} -x-2.}$

Metoda 2

Začněte stejně jako v metodě 1, dokud nenajdete platný root. Poté namísto restartování procesu s dalšími možnými kořeny pokračujte v testování možných kořenů proti výsledku Ruffini na aktuálně nalezeném platném kořenu, dokud nezůstane pouze koeficient (nezapomeňte, že kořeny lze opakovat: pokud se zaseknete, vyzkoušejte každý platný root dvakrát):

    |    +1    +2    -1    -2                      |    +1    +2    -1    -2    |                                              | -1 |          -1    -1    +2                   -1 |          -1    -1    +2----|---------------------------               ----|---------------------------    |    +1    +1    -2   | 0                      |    +1    +1    -2   | 0    |                                              | +2 |          +2    +6                         +1 |          +1    +2-------------------------                      -------------------------    |    +1    +3   |+4                            |    +1    +2   | 0                                                   |                                                -2 |          -2                                               -------------------                                                   |    +1   | 0

${ displaystyle { begin {cases} x_ {1} = - 1 x_ {2} = + 1 x_ {3} = - 2 end {případů}}}$

Metoda 3

• Určete množinu možných celých nebo racionálních kořenů polynomu podle racionální kořenová věta.
• Pro každý možný kořen r, místo provedení divize P(X)/(X–r), použijte věta o polynomiálním zbytku, který uvádí, že zbytek tohoto rozdělení je P(r), tj. polynom hodnocený pro X = r.

Tedy pro každého r v naší sadě, r je vlastně kořen polynomu právě tehdy P(r)=0

To ukazuje toto zjištění celé číslo a racionální kořeny polynomu nevyžadují žádné dělení ani použití Ruffiniho pravidla.

Jakmile je však nalezen platný root, zavolejte jej r₁: můžete použít Ruffiniho pravidlo k určení

Q(X)=P(X)/(X–r₁).

To vám umožní částečně faktorizovat polynom jako

P(X)=(X–r₁)·Q(X)

Jakýkoli další (racionální) kořen polynomu je také kořenem Q(X) a samozřejmě se stále nachází mezi možnými dříve určenými kořeny, které ještě nebyly zkontrolovány (jakákoli hodnota již byla stanovena.) ne být kořenem P(X) není kořenem Q(X) buď; více formálně, P(r)≠0 → Q(r)≠0 ).

Můžete tedy pokračovat v hodnocení Q(r) namísto P(r) a (pokud najdete jiný kořen, r₂) dělení Q(r) od (X–r₂).

I když budete hledat pouze kořeny, umožní vám to vyhodnotit polynomy postupně menšího stupně, jak bude postupovat faktorizace.

Pokud, jak to často bývá, faktorizujete také polynom stupně n, pak:

• pokud jste našli p=n racionální řešení, ve kterých nakonec získáte kompletní faktorizaci (viz níže) p=n lineární faktory;
• pokud jste našli p<n racionální řešení, ve kterých nakonec získáte částečnou faktorizaci (viz níže) p lineární faktory a další nelineární faktor stupně n–p, což může mít iracionální nebo složité kořeny.

Příklady

Hledání kořenů bez použití Ruffiniho pravidla

P(X)=X³+2X²–X–2

Možné kořeny = {1, –1, 2, -2}

• P(1) = 0 → X₁ = 1
• P(-1) = 0 → X₂ = -1
• P(2) = 12 → 2 není kořen polynomu

a zbytek (X³+2X²-X-2)/(X-2) je 12

• P(-2) = 0 → X₃ = -2

Nalezení kořenů pomocí Ruffiniho pravidla a získání (úplné) faktorizace

P(X) = X³+2X²-X-2

Možné kořeny = {1, -1, 2, -2}

• P(1) = 0 → X₁ = 1

Poté pomocí Ruffiniho pravidla:

(X³+2X²-X-2)/(X-1) = (X²+3X+2)

X³+2X²-X-2 = (X-1)(X²+3X+2)

Tady, r₁= -1 a Q(X) = X²+3X+2

• Q(-1) = 0 → X₂ = -1

Opět platí Ruffiniho pravidlo:

(X²+3X+2)/(X+1) = (X+2)

X³+2X²-X-2 = (X-1)(X²+3X+2) = (X-1)(X+1)(X+2)

Vzhledem k tomu, že bylo možné polynomiál úplně faktorizovat, je jasné, že poslední kořen je -2 (předchozí postup by poskytl stejný výsledek s konečným kvocientem 1).

Polynomiální factoring

Po použitíp/q„výsledek výše (nebo, spravedlivě, jakýkoli jiný prostředek) k nalezení všech skutečných racionálních kořenů konkrétního polynomu, je to jen triviální krok k částečnému faktor ten polynom pomocí těchto kořenů. Jak je dobře známo, každý lineární faktor (X − r) který rozděluje daný polynom odpovídá kořenu r, a naopak.

Takže když

${ displaystyle P (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + cdots + a_ {1} x + a_ {0} , !}$ je náš polynom; a

${ displaystyle R = left {{ mbox {root of}} P (x) in mathbb {Q} right } , !}$ jsou nalezené kořeny, pak zvažte produkt

${ displaystyle R (x) = a_ {n} { prod (x-r)} { mbox {pro všechny}} r v R. , !}$

Podle základní věta o algebře, R(X) by se měl rovnat P(X), pokud všechny kořeny P(X) jsou racionální. Ale protože použitá metoda najde pouze racionální kořeny, je velmi pravděpodobné, že R(X) se nerovná P(X); je velmi pravděpodobné, že P(X) má iracionální nebo složité kořeny, které nejsou v R. Takže zvažte

${ displaystyle S (x) = { frac {P (x)} {R (x)}} , !}$, které lze vypočítat pomocí polynomiální dlouhé dělení.

Li S(X) = 1, pak je to známé R(X) = P(X) a postup je hotový. V opačném případě, S(X) bude sám polynom; toto je další faktor P(X), který nemá žádné skutečné racionální kořeny. Napiš tedy pravou stranu následující rovnice v plném rozsahu:

${ displaystyle P (x) = R (x) cdot S (x). , !}$

Lze to nazvat a kompletní faktorizace z P(X) přes Q (racionální), pokud S(X) = 1. Jinak existuje pouze a částečná faktorizace z P(X) přes Q, které mohou nebo nemusí být dále racionální v racionálním vyjádření; ale který bude jistě dále ovlivnitelný nad realitami nebo v nejhorším případě nad komplexní rovinou. (Poznámka: "úplnou faktorizací" ve výši P(X) přes Q, znamená faktorizaci jako produkt polynomů s racionálními koeficienty, takže každý faktor je neredukovatelný Q, kde „neredukovatelné Q"znamená, že faktor nelze zapsat jako součin dvou nekonstantních polynomů s racionálními koeficienty a menším stupněm.)

Příklad 1: žádný zbytek

Nechat

${ displaystyle P (x) = x ^ {3} + 2x ^ {2} -x-2. , !}$

Pomocí výše popsaných metod racionální kořeny P(X) jsou:

${ displaystyle R = left {+ 1, -1, -2 right }. , !}$

Pak produkt (X - každý kořen) je

${ displaystyle R (x) = 1 (x-1) (x + 1) (x + 2). , !}$

A P(X)/R(X):

${ displaystyle S (x) = 1. , !}$

Proto je faktorovaný polynom P(X) = R(X) · 1 = R(X):

${ displaystyle P (x) = (x-1) (x + 1) (x + 2). , !}$

Příklad 2: se zbytkem

Nechat

${ displaystyle P (x) = 2x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} -2x-8. , !}$

Pomocí výše popsaných metod racionální kořeny P(X) jsou:

${ displaystyle R = left {- 1, + 2 right }. , !}$

Pak produkt (X - každý kořen) je

${ displaystyle R (x) = (x + 1) (x-2). , !}$

A P(X)/R(X)

${ displaystyle S (x) = 2x ^ {2} -x + 4. , !}$

Tak jako ${ displaystyle S (x) { neq} 1}$, faktorovaný polynom je P(X) = R(X) · S(X):

${ displaystyle P (x) = (x + 1) (x-2) (2x ^ {2} -x + 4). , !}$

Faktoring komplexů

Chcete-li úplně převést daný polynom na C, komplexní čísla, všechny jeho kořeny musí být známy (a to by mohlo zahrnovat iracionální a / nebo komplexní čísla). Zvažte například výše uvedený polynom:

${ displaystyle P (x) = 2x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} -2x-8. , !}$

Extrakce jejích racionálních kořenů a jejich faktorizace přináší:

${ displaystyle P (x) = (x + 1) (x-2) (2x ^ {2} -x + 4). , !}$

Ale to není zcela započítáno C. Pokud musí faktorizace polynomu končit součinem lineárních faktorů, musí se řešit kvadratický faktor:

${ displaystyle {2x ^ {2} -x + 4} = 0. , !}$

Nejjednodušší je použít kvadratický vzorec, který přináší

${ displaystyle x = { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} = { frac {1 pm { sqrt {(-1) ^ {2 } -4 cdot 2 cdot 4}}} {2 cdot 2}} = { frac {1 pm { sqrt {-31}}} {4}} , !}$

a řešení

${ displaystyle x_ {1} = { frac {1 + { sqrt {-31}}} {4}} , !}$

${ displaystyle x_ {2} = { frac {1 - { sqrt {-31}}} {4}}. , !}$

Takže úplně započítaný polynom C bude:

${ displaystyle P (x) = 2 (x + 1) (x-2) vlevo (x - { frac {1 + i { sqrt {31}}} {4}} vpravo) vlevo (x - { frac {1-i { sqrt {31}}} {4}} vpravo). , !}$

Nelze však v každém případě očekávat, že to bude tak snadné; analog kvadratického vzorce pro polynomy čtvrtého řádu je velmi spletitý a pro polynomy 5. a vyššího řádu takový analog neexistuje. Vidět Galoisova teorie teoretické vysvětlení, proč tomu tak je, a viz numerická analýza pro způsoby, jak přibližný kořeny polynomů numericky.

Omezení

Je zcela možné, že při hledání kořenů daného polynomu lze získat složitý polynom vyššího řádu pro S (x), který je dále ovlivnitelný racionální ještě před zvážením iracionálních nebo komplexních faktorů. Zvažte polynom X⁵ − 3X⁴ + 3X³ − 9X² + 2X - 6. Při použití Ruffiniho metody je nalezen pouze jeden kořen (X = 3); rozložení na: P(X) = (X⁴ + 3X² + 2)(X − 3).

Jak je vysvětleno výše, pokud bylo uvedeno, úkolem bylo „proměnit na neredukovatelné C", bylo by nutné najít nějaký způsob, jak rozčlenit kvartiku a hledat její iracionální a / nebo složité kořeny. Pokud by však zadání bylo" faktor do neredukovatelných Q„by si někdo mohl myslet, že je to již hotové, ale je třeba si uvědomit, že tomu tak nemusí být.

V tomto případě je kvartika ve skutečnosti faktorovatelná jako součin dvou kvadratik (X² + 1)(X² + 2). Ty jsou konečně neredukovatelné nad racionály (a samozřejmě i nad realitami v tomto příkladu); který uzavírá metodu; P(X) = (X² + 1)(X² + 2)(X - 3). V tomto případě je ve skutečnosti snadné faktorovat naši kvartiku tak, že ji budeme považovat za dvojkvadratická rovnice; ale najít takové factoringy polynomu vyššího stupně může být velmi obtížné.

Dějiny

Tuto metodu vynalezl Paolo Ruffini. Zúčastnil se soutěže pořádané Italskou vědeckou společností (čtyřicet). Otázkou, na kterou je třeba odpovědět, byla metoda k nalezení kořenů libovolného polynomu. Bylo obdrženo pět podání. V roce 1804 byla Ruffini's udělena první místo a metoda byla publikována. Ruffini zveřejnil vylepšení této metody v letech 1807 a 1813.

Hornerova metoda byla zveřejněna v roce 1819 a v rafinované verzi v roce 1845.

Viz také

• Hornerova metoda
• Polynomiální dlouhé dělení

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Ruffiniho pravidlo“. MathWorld.
• Média související s Ruffiniho pravidlo na Wikimedia Commons