Vietasovy vzorce - Vietas formulas - Wikipedia

v matematika, Vietiny vzorce jsou vzorce které se vztahují k koeficienty a polynomiální na jeho součty a produkty kořeny. Pojmenoval podle François Viète (běžněji označované latinizovanou formou jeho jména „Franciscus Vieta“) se vzorce používají konkrétně v algebra.

Základní vzorce

Libovolný obecný polynom stupně n

{ displaystyle P (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + cdots + a_ {1} x + a_ {0}}

(přičemž koeficienty jsou reálná nebo komplexní čísla a $A n \neq 0$ ) je znám pod základní věta o algebře mít $n$ (ne nutně odlišné) komplexní kořeny $r 1, r 2, ..., r n$ . Vietovy vzorce spojují polynomiální koeficienty se podepsanými součty produktů kořenů $r 1, r 2, ..., r n$ jak následuje:

{ displaystyle { begin {cases} r_ {1} + r_ {2} + dots + r_ {n-1} + r_ {n} = - { dfrac {a_ {n-1}} {a_ {n }}} (r_ {1} r_ {2} + r_ {1} r_ {3} + cdots + r_ {1} r_ {n}) + (r_ {2} r_ {3} + r_ {2 } r_ {4} + cdots + r_ {2} r_ {n}) + cdots + r_ {n-1} r_ {n} = { dfrac {a_ {n-2}} {a_ {n}} } {} quad vdots r_ {1} r_ {2} dots r_ {n} = (- 1) ^ {n} { dfrac {a_ {0}} {a_ {n}}} . end {případy}}}

Vieta vzorce lze ekvivalentně psát jako

{ displaystyle sum _ {1 leq i_ {1}

pro $k = 1, 2, ..., n$ (indexy $i k$ jsou seřazeny v rostoucím pořadí, aby byl zajištěn každý produkt $k$ kořeny se použije přesně jednou.

Levá strana vzorců Viety je elementární symetrické funkce kořenů.

Zobecnění na prsteny

Vietaovy vzorce se často používají u polynomů s koeficienty v libovolném integrální doména $R$ . Potom kvocienty ${ displaystyle a_ {i} / a_ {n}}$ patří k kruh zlomků z $R$ (a možná jsou v $R$ sám, pokud ${ displaystyle a_ {n}}$ se stane invertibilní v $R$ ) a kořeny ${ displaystyle r_ {i}}$ jsou přijímány v algebraicky uzavřené prodloužení. Typicky, $R$ je prsten z celá čísla, pole zlomků je pole racionální čísla a algebraicky uzavřené pole je pole komplexní čísla.

Vietovy vzorce jsou pak užitečné, protože poskytují vztahy mezi kořeny, aniž by je bylo nutné počítat.

Pro polynomy nad komutativním prstencem, který není integrální doménou, platí Vietiny vzorce pouze tehdy, když ${ displaystyle a_ {n}}$ je nenulový dělitel a ${ displaystyle P (x)}$ faktory jako ${ displaystyle a_ {n} (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) tečky (x-r_ {n})}$ . Například v kruhu celých čísel modulo 8, polynom ${ displaystyle P (x) = x ^ {2} -1}$ má čtyři kořeny: 1, 3, 5 a 7. Vietovy vzorce nejsou pravdivé, pokud řekněme ${ displaystyle r_ {1} = 1}$ a ${ displaystyle r_ {2} = 3}$ , protože ${ Displaystyle P (x) neq (x-1) (x-3)}$ . Nicméně, ${ displaystyle P (x)}$ dělá faktor jako ${ displaystyle (x-1) (x-7)}$ a jako ${ displaystyle (x-3) (x-5)}$ a Vietovy vzorce platí, pokud nastavíme buď ${ displaystyle r_ {1} = 1}$ a ${ displaystyle r_ {2} = 7}$ nebo ${ displaystyle r_ {1} = 3}$ a ${ displaystyle r_ {2} = 5}$ .

Příklad

Vietaovy vzorce aplikované na kvadratický a kubický polynom:

Kořeny ${ displaystyle r_ {1}, r_ {2}}$ z kvadratický polynom ${ displaystyle P (x) = sekera ^ {2} + bx + c}$ uspokojit

{ displaystyle r_ {1} + r_ {2} = - { frac {b} {a}}, quad r_ {1} r_ {2} = { frac {c} {a}}.}

První z těchto rovnic lze použít k nalezení minima (nebo maxima) z $P$ ; vidět Kvadratická rovnice § Vietovy vzorce.

Kořeny ${ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, r_ {3}}$ z kubický polynom ${ displaystyle P (x) = sekera ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}$ uspokojit

{ displaystyle r_ {1} + r_ {2} + r_ {3} = - { frac {b} {a}}, quad r_ {1} r_ {2} + r_ {1} r_ {3} + r_ {2} r_ {3} = { frac {c} {a}}, quad r_ {1} r_ {2} r_ {3} = - { frac {d} {a}}.}

Důkaz

Formáty Viety lze prokázat rozšířením rovnosti

{ displaystyle a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + cdots + a_ {1} x + a_ {0} = a_ {n} (x-r_ { 1}) (x-r_ {2}) cdots (x-r_ {n})}

(což je pravda od té doby ${ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, tečky, r_ {n}}$ jsou všechny kořeny tohoto polynomu), vynásobením faktorů na pravé straně a identifikací koeficientů každé mocniny ${ displaystyle x.}$

Formálně, pokud se člověk rozšíří ${ displaystyle (x-r_ {1}) (x-r_ {2}) cdots (x-r_ {n}),}$ podmínky jsou přesné ${ displaystyle (-1) ^ {n-k} r_ {1} ^ {b_ {1}} cdots r_ {n} ^ {b_ {n}} x ^ {k},}$ kde ${ displaystyle b_ {i}}$ je buď 0 nebo 1, podle toho, zda ${ displaystyle r_ {i}}$ je součástí produktu nebo není, a k je počet ${ displaystyle r_ {i}}$ které jsou vyloučeny, takže celkový počet faktorů v produktu je n (počítací ${ displaystyle x ^ {k}}$ s množstvím k) - jak jsou n binární volby (včetně ${ displaystyle r_ {i}}$ nebo X), existují ${ displaystyle 2 ^ {n}}$ termíny - geometricky je lze chápat jako vrcholy hyperkrychle. Seskupením těchto výrazů podle stupňů se získá základní symetrické polynomy v ${ displaystyle r_ {i}}$ - pro X^k, všechny odlišné k-skládané výrobky z ${ displaystyle r_ {i}.}$

Dějiny

Jak se odráží v názvu, vzorce objevil francouzský matematik 16. století François Viète, pro případ pozitivních kořenů.

Podle názoru britského matematika z 18. století Charles Hutton, jak uvádí Funkhouser,^[1] obecný princip (nejen pro pozitivní skutečné kořeny) poprvé pochopil francouzský matematik ze 17. století Albert Girard:

... [Girard byl] první osobou, která pochopila obecnou nauku o tvorbě koeficientů mocností ze součtu kořenů a jejich produktů. Byl prvním, kdo objevil pravidla pro sčítání pravomocí kořenů jakékoli rovnice.

Viz také

Reference

^ (Funkhouser 1930 )

„Vièteova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Funkhouser, H. Gray (1930), „Krátký popis historie symetrických funkcí kořenů rovnic“, Americký matematický měsíčník, Mathematical Association of America, 37 (7): 357–365, doi:10.2307/2299273, JSTOR 2299273
Vinberg, E. B. (2003), Kurz algebry, American Mathematical Society, Providence, R.I, ISBN 0-8218-3413-4

Djukić, Dušan; et al. (2006), Kompendium IMO: soubor problémů navržených pro Mezinárodní matematické olympiády, 1959–2004, Springer, New York, NY, ISBN 0-387-24299-6

[1] (Funkhouser 1930 )

[1]