Artin – Verdierova dualita - Artin–Verdier duality - Wikipedia

v matematika, Artin – Verdierova dualita je dualita věta pro konstruktivní abelian snopy přes spektrum prstenu z algebraická čísla, představil Michael Artin a Jean-Louis Verdier  (1964 ), který zobecňuje Tate dualita.

Ukazuje se, že pokud etale (nebo byt ) kohomologie je znepokojen, kruh celých čísel v pole s číslem chová se jako 3 dimenzionální matematický objekt.

Prohlášení

Nechat X být spektrum z kruh celých čísel v naprosto imaginární pole s číslem K., a F A konstruovatelný étale Abelian snop na X. Pak Párování Yoneda

${ displaystyle H ^ {r} (X, F) krát operatorname {Ext} ^ {3-r} (F, mathbb {G} _ {m}) až H ^ {3} (X, mathbb {G} _ {m}) = mathbb {Q} / mathbb {Z}}$

je nedegenerované párování konečných abelianských skupin pro každé celé číslo r.

Tady, H^r(X, F) je r-th étale cohomology skupina systém X s hodnotami v F, a ext^r(F, G) je skupina r-rozšíření étale snop G étale snop F v kategorie étale abelian snopy dál X. Navíc, G_m označuje étale svazek Jednotky v struktura svazek z X.

Christopher Deninger  (1986 ) prokázal Artin – Verdierovu dualitu pro konstruktivní, ale ne nutně torzní kladky. Pro takový svazek F, výše uvedené párování indukuje izomorfismy

${ displaystyle { begin {aligned} H ^ {r} (X, F) ^ {*} & cong operatorname {Ext} ^ {3-r} (F, mathbb {G} _ {m}) && r = 0,1 H ^ {r} (X, F) & cong operatorname {Ext} ^ {3-r} (F, mathbb {G} _ {m}) ^ {*} && r = 2,3 end {zarovnáno}}}$

kde

${ displaystyle (-) ^ {*} = operatorname {Hom} (-, mathbb {Q} / mathbb {Z}).}$

Konečná schémata plochých skupin

Nechat U být otevřeným dílčím schématem spektra kruhu celých čísel v číselném poli K., a F konečný plochý komutativní skupinové schéma přes U. Pak pohárový produkt definuje nedegenerované párování

${ displaystyle H ^ {r} (U, F ^ {D}) krát H_ {c} ^ {3-r} (U, F) až H_ {c} ^ {3} (U, { mathbb {G}} _ {m}) = mathbb {Q} / mathbb {Z}}$

konečných abelianských skupin pro všechna celá čísla r.

Tady F^D označuje Cartier dual z F, což je další konečné ploché komutativní skupinové schéma U. Navíc, ${ displaystyle H ^ {r} (U, F)}$ je r-th plochá kohomologie skupina režimu U s hodnotami v plochém abelianském snopu F, a ${ displaystyle H_ {c} ^ {r} (U, F)}$ je r-th plochá kohomologie s kompaktními podpěrami z U s hodnotami v plochém abelianském snopu F.

The plochá kohomologie s kompaktními podpěrami je definována tak, aby vedla k dlouhé přesné posloupnosti

${ displaystyle cdots až H_ {c} ^ {r} (U, F) až H ^ {r} (U, F) až bigoplus nolimits _ {v notin U} H ^ {r} (K_ {v}, F) to H_ {c} ^ {r + 1} (U, F) to cdots}$

Součet je převzat za všechny místa z K., které nejsou v U, včetně těch archimédských. Místní příspěvek H^r(K._proti, F) je Galoisova kohomologie z Henselizace K._proti z K. na místě proti, upraveno a la Tate:

${ displaystyle H ^ {r} (K_ {v}, F) = H_ {T} ^ {r} ( mathrm {Gal} (K_ {v} ^ {s} / K_ {v}), F (K_ {v} ^ {s})).}$

Tady ${ displaystyle K_ {v} ^ {s}}$ je oddělitelný uzávěr ${ displaystyle K_ {v}.}$

Reference

• Artin, Michael; Verdier, Jean-Louis (1964), "Seminář o étale cohomology číselných polí", Poznámky k přednášce připravené v souvislosti se semináři konaným v letním ústavu o algebraické geometrii. Whitney Estate, Woods Hole, Massachusetts. 6. července - 31. července 1964 (PDF)„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, archivovány z originál (PDF) dne 26. 05. 2011
• Deninger, Christopher (1986), „Rozšíření duality Artin-Verdier na snořáky“ Journal für die reine und angewandte Mathematik, 366: 18–31, doi:10.1515 / crll.1986.366.18, PAN  0833011
• Mazur, Barry (1973), „Notes on étale cohomology of number fields“, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, 6: 521–552, ISSN  0012-9593, PAN  0344254
• Milne, James S. (2006), Věty o aritmetické dualitě (Druhé vydání), BookSurge, LLC, str. viii + 339, ISBN  1-4196-4274-X