Pluriharmonická funkce - Pluriharmonic function - Wikipedia

v matematika, přesně v teorie funkcí několika komplexních proměnných, a pluriharmonická funkce je skutečná hodnota funkce který je lokálně the skutečná část holomorfní funkce několika složitých proměnných. Někdy se taková funkce označuje jako n-harmonická funkce, kde n ≥ 2 je dimenze z komplexní doména kde je funkce definována.^[1] V moderních expozicích teorie funkcí několika složitých proměnných^[2] je výhodné dát ekvivalentní formulaci konceptu definováním pluriharmonické funkce a komplex oceněn funkce, jejíž omezení na každý komplex čára je harmonická funkce s respektem k nemovitý a imaginární část komplexního parametru linky.

Formální definice

Definice 1. Nechat $G \subseteq ℂ n$ být komplexní doména a $F : G \to ℂ$ být $C 2$ (dvakrát průběžně diferencovatelné ) funkce. Funkce $F$ je nazýván pluriharmonie pokud pro každého komplex čára

{ displaystyle {a + bz mid z in { mathbb {C}} } podmnožina mathbb {C} ^ {n}}

vytvořeno pomocí každé dvojice komplexu n-tice $A, b \in ℂ n$ , funkce

{ displaystyle z mapsto f (a + bz)}

je harmonická funkce na scéně

{ displaystyle {z in { mathbb {C}} mid a + bz v G } podmnožina mathbb {C}}

.

Základní vlastnosti

Každá pluriharmonická funkce je a harmonická funkce, ale ne naopak. Dále lze ukázat, že pro holomorfní funkce z několika komplexních proměnných jsou skutečnými (a imaginárními) částmi lokálně pluriharmonické funkce. Funkce, která je harmonická v každé proměnné samostatně, však neznamená, že je pluriharmonická.

Viz také

Poznámky

^ Viz například (Severi 1958, str. 196) a (Rizza 1955, str. 202). Poincaré (1899, str. 111–112) volá takové funkce “fonty biharmoniques", bez ohledu na dimenze n ≥ 2: jeho papír je možná^{[Citace je zapotřebí ]} starší, ve kterém pluriharmonický operátor je vyjádřena pomocí první objednávky operátory částečných diferenciálů nyní volal Wirtingerovy deriváty.
^ Viz například populární učebnice od Krantz (1992, str. 92) a pokročilé (i když trochu zastaralé) monografie podle Gunning & Rossi (1965, str. 271).

Historické odkazy

Gunning, Robert C.; Rossi, Hugo (1965), Analytické funkce několika komplexních proměnných Série Prentice-Hall v moderní analýze, Englewoodské útesy, N.J .: Prentice-Hall, str. xiv + 317, ISBN 9780821869536, PAN 0180696, Zbl 0141.08601.
Krantz, Steven G. (1992), Teorie funkcí několika komplexních proměnnýchWadsworth & Brooks / Cole Mathematics Series (druhé vydání), Pacific Grove, Kalifornie: Wadsworth & Brooks / Cole, str. Xvi + 557, ISBN 0-534-17088-9, PAN 1162310, Zbl 0776.32001.
Poincaré, H. (1899), „Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes“, Acta Mathematica (francouzsky), 22 (1): 89–178, doi:10.1007 / BF02417872, JFM 29.0370.02.
Severi, Francesco (1958), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse - Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica in Roma (v italštině), Padova: CEDAM - Casa Editrice Dott. Antonio Milani, str. XIV + 255, Zbl 0094.28002. Poznámky z kurzu pořádaného Francescem Severim v Istituto Nazionale di Alta Matematica (který v současnosti nese jeho jméno), obsahující dodatky Enzo Martinelli, Giovanni Battista Rizza a Mario Benedicty. Anglický překlad názvu zní: - "Přednášky o analytických funkcích několika komplexních proměnných - přednáška v letech 1956–57 na Istituto Nazionale di Alta Matematica v Římě".

Reference

Amoroso, Luigi (1912), „Sopra un problema al contorno“, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (v italštině), 33 (1): 75–85, doi:10.1007 / BF03015289, JFM 43.0453.03. První práce, kde je soubor (poměrně komplikovaných) nezbytných a dostatečných podmínek pro řešení řešitelnosti Dirichletův problém pro holomorfní funkce několika proměnných je dáno. Anglický překlad názvu zní: - "O problému mezní hodnoty".
Fichera, Gaetano (1982a), „Problemi al contorno per le funzioni pluriarmoniche“, Atti del Convegno celebrativo dell'80 ° anniversario della nascita di Renato Calapso, Messina – Taormina, 1–4 aprile 1981 (v italštině), Roma: Libreria Eredi Virgilio Veschi, s. 127–152, PAN 0698973, Zbl 0958.32504."Problémy s hraniční hodnotou pro pluriharmonické funkce"(Anglický překlad názvu) se zabývá problémy s hraniční hodnotou pro pluriharmonické funkce: Fichera dokazuje a stopový stav za řešení problému a přezkoumává několik dřívějších výsledků Enzo Martinelli, Giovanni Battista Rizza a Francesco Severi.
Fichera, Gaetano (1982b), „Valori al contorno delle funzioni pluriarmoniche: estensione allo spazio R²ⁿ di un teorema di L. Amoroso ", Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano (v italštině), 52 (1): 23–34, doi:10.1007 / BF02924996, PAN 0802991, Zbl 0569.31006. Anglický překlad názvu zní: - "Mezní hodnoty pluriharmonických funkcí: rozšíření do prostoru R²ⁿ věty o L. Amorosovi".
Fichera, Gaetano (1982c), „Su un teorema di L. Amoroso nella teoria delle funzioni analitiche di due variabili complesse“, Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées (v italštině), 27: 327–333, PAN 0669481, Zbl 0509.31007. Anglický překlad názvu zní: - "K teorémě L. Amoroso v teorii analytických funkcí dvou komplexních proměnných".
Matsugu, Yasuo (1982), „Pluriharmonické funkce jako skutečné části holomorfních funkcí“, Monografie Přírodovědecké fakulty univerzity Kyushu, Série A, Matematika, 36 (2): 157–163, doi:10.2206 / kyushumfs.36.157, PAN 0676796, Zbl 0501.32008.
Nikliborc, Ladislas (30. března 1925), „Sur les fonctions hyperharmoniques“, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (francouzsky), 180: 1008–1011, JFM 51.0364.02, Dostupné v Gallica
Nikliborc, Ladislas (11. ledna 1926), „Sur les fonctions hyperharmoniques“, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences (francouzsky), 182: 110–112, JFM 52.0498.02, Dostupné v Gallica
Rizza, G. B. (1955), „Dirichletův problém pro n-harmonické funkce a související geometrické problémy ", Mathematische Annalen, 130: 202–218, doi:10.1007 / BF01343349, PAN 0074881, Zbl 0067.33004, Dostupné v DigiZeitschirften.

externí odkazy

Solomentsev, E. D. (2001) [1994], "Pluriharmonická funkce", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

Tento článek obsahuje materiál z funkce pluriharmonie PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

[1] Viz například (Severi 1958, str. 196) a (Rizza 1955, str. 202). Poincaré (1899, str. 111–112) volá takové funkce “fonty biharmoniques", bez ohledu na dimenze n ≥ 2: jeho papír je možná^{[Citace je zapotřebí ]} starší, ve kterém pluriharmonický operátor je vyjádřena pomocí první objednávky operátory částečných diferenciálů nyní volal Wirtingerovy deriváty.

[2] Viz například populární učebnice od Krantz (1992, str. 92) a pokročilé (i když trochu zastaralé) monografie podle Gunning & Rossi (1965, str. 271).

[1]

[2]