Zastoupení Glauber – Sudarshan P. - Glauber–Sudarshan P representation

The Zastoupení Sudarshan-Glauber P. je doporučený způsob zápisu fázový prostor distribuce kvantového systému v formulace fázového prostoru kvantové mechaniky. Reprezentace P je rozdělení kvazi pravděpodobnosti ve kterém pozorovatelné jsou vyjádřeny v normální pořadí. v kvantová optika, toto vyjádření, formálně ekvivalentní několika dalším znázorněním,^[1]^[2] se někdy prosazuje alternativní reprezentace k popisu světlo v optický fázový prostor, protože typické optické pozorovatelnosti, jako například operátor počtu částic, jsou přirozeně vyjádřeny v normálním pořadí. Je pojmenován po George Sudarshan^[3] a Roy J. Glauber,^[4] kteří se tomuto tématu věnovali v roce 1963. Bylo to téma a kontroverze když Glauber získal podíl z roku 2005 Nobelova cena za fyziku za jeho práci v této oblasti a George Sudarshan příspěvek nebyl uznán.^[5]Sudarshanova práce byla přijata na Physical Review Letters 1. března 1963 a publikována 1. dubna 1963, zatímco Glauberova práce byla přijata na Physical Review 29. dubna 1963 a zveřejněna 15. září 1963. Navzdory mnoha užitečným aplikacím v laseru teorie a teorie koherence Zastoupení Glauber – Sudarshan P. má tu nevýhodu, že není vždy pozitivní, a proto nejde o skutečnou pravděpodobnostní funkci.

Definice

Chceme postavit funkci ${displaystyle P (alfa)}$ s majetkem, který matice hustoty ${displaystyle {hat {ho}}}$ je úhlopříčka na základě koherentní stavy ${displaystyle {| alfa úhel}}$ , tj.,

{displaystyle {hat {ho}} = int P (alfa) | {alpha} úhel langle {alpha} |, d ^ {2} alfa, qquad d ^ {2} alfa ekvivalent d, {m {Re}} (alfa ), d, {m {Im}} (alfa).}

Také bychom chtěli postavit funkci tak, aby očekávaná hodnota normálně uspořádaného operátoru splňovala věta o optické ekvivalenci. To znamená, že matice hustoty by měla být v proti-normální řád, abychom mohli vyjádřit matici hustoty jako mocninnou řadu

{displaystyle {hat {ho}} _ {A} = součet _ {j, k} c_ {j, k} cdot {hat {a}} ^ {j} {hat {a}} ^ {dagger k}.}

Vkládání operátor identity

{displaystyle {hat {I}} = {frac {1} {pi}} int | {alpha} angle langle {alpha} |, d ^ {2} alpha,}

vidíme to

{displaystyle {egin {aligned} ho _ {A} ({hat {a}}, {hat {a}} ^ {dagger}) & = {frac {1} {pi}} sum _ {j, k} int c_ {j, k} cdot {hat {a}} ^ {j} | {alpha} úhel langle {alpha} | {hat {a}} ^ {dagger k}, d ^ {2} alpha & = {frac {1} {pi}} součet _ {j, k} int c_ {j, k} cdot alfa ^ {j} | {alpha} úhel langle {alpha} | alpha ^ {* k}, d ^ {2} alfa & = {frac {1} {pi}} int sum _ {j, k} c_ {j, k} cdot alpha ^ {j} alpha ^ {* k} | {alpha} úhel langle {alpha} |, d ^ {2} alpha & = {frac {1} {pi}} int ho _ {A} (alpha, alpha ^ {*}) | {alpha} úhel langle {alpha} |, d ^ {2} alfa, konec {zarovnáno}}}

a tím formálně přiřadíme

{displaystyle P (alpha) = {frac {1} {pi}} ho _ {A} (alpha, alpha ^ {*}).}

Užitečnější integrální vzorce pro $P$ jsou nezbytné pro jakýkoli praktický výpočet. Jedna metoda^[6] je definovat charakteristická funkce

{displaystyle chi _ {N} (eta) = operatorname {tr} ({hat {ho}} cdot e ^ {i eta cdot {hat {a}} ^ {dagger}} e ^ {i eta ^ {*} cdot {hat {a}}})}

a pak si vezměte Fourierova transformace

{displaystyle P (alfa) = {frac {1} {pi ^ {2}}} int chi _ {N} (eta) e ^ {- eta alfa ^ {*} + eta ^ {*} alfa}, d ^ {2} eta.}

Další užitečný integrální vzorec pro $P$ je^[7]

{displaystyle P (alpha) = {frac {e ^ {| alpha | ^ {2}}} {pi ^ {2}}} int langle - eta | {hat {ho}} | eta úhel e ^ {| eta | ^ {2} - eta alfa ^ {*} + eta ^ {*} alfa}, d ^ {2} eta.}

Všimněte si, že oba tyto integrální vzorce ano ne konvergovat v jakémkoli obvyklém smyslu pro „typické“ systémy. Můžeme také použít maticové prvky ${displaystyle {hat {ho}}}$ v Fock základ ${displaystyle {| nangle}}$ . Následující vzorec ukazuje, že je vždy možný^[3] psát matici hustoty v této diagonální formě bez odvolání se na pořadí operátorů pomocí inverze (zde uvedené pro jediný režim),

{displaystyle P (alfa) = součet _ {n} součet _ {k} jazyk n | {hat {ho}} | kangle {frac {sqrt {n! k!}} {2pi r (n + k)!}} e ^ {r ^ {2} -i (nk) heta} vlevo [vlevo (- {frac {částečné} {částečné r}} vpravo) ^ {n + k} delta (r) vpravo],}

kde $r$ a $θ$ jsou amplituda a fáze $α$ . Ačkoli se jedná o úplné formální řešení této možnosti, vyžaduje nekonečně mnoho derivátů Dirac delta funkce, daleko za hranicí jakéhokoli obyčejného teorie temperované distribuce.

Diskuse

Pokud má kvantový systém klasický analog, např. soudržný stav nebo tepelné záření, pak $P$ je všude nezáporné jako běžné rozdělení pravděpodobnosti. Pokud však kvantový systém nemá žádný klasický analog, např. nesouvislý Fock stát nebo zapletený systém, pak $P$ je někde záporný nebo singulární než delta funkce Dirac. (Podle Schwartzova věta, distribuce, které jsou singulárnější než delta funkce Dirac, jsou vždy někde záporné.) Takové "negativní pravděpodobnost „nebo vysoký stupeň singularity je vlastnost vlastní reprezentaci a nesnižuje smysluplnost očekávaných hodnot přijatých s ohledem na $P$ . I kdyby $P$ se chová jako běžné rozdělení pravděpodobnosti, ale záležitost není tak jednoduchá. Podle Mandel a Wolfa: „Různé koherentní stavy nejsou [vzájemně] ortogonální, takže i když ${displaystyle scriptstyle P (alfa),}$ choval se jako skutečná hustota pravděpodobnosti [funkce], nepopisoval by pravděpodobnosti vzájemně se vylučujících stavů. “^[8]

Příklady

Tepelné záření

Z statistická mechanika argumenty na Fockově základě, průměrné číslo fotonu v režimu s vlnovodič $k$ a stav polarizace $s$ pro černé tělo při teplotě $T$ je známo, že je

{displaystyle langle {hat {n}} _ {mathbf {k}, s} angle = {frac {1} {e ^ {hbar omega / k_ {B} T} -1}}.}

The $P$ znázornění černého těla je

{displaystyle P ({alpha _ {mathbf {k}, s}}) = prod _ {mathbf {k}, s} {frac {1} {pi langle {hat {n}} _ {mathbf {k}, s } úhel}} e ^ {- | alfa | ^ {2} / jazyk {hat {n}} _ {mathbf {k}, s} úhel}.}

Jinými slovy, každý režim černého těla je normálně distribuováno na základě koherentních států. Od té doby $P$ je pozitivní a omezený, tento systém je v podstatě klasický. To je ve skutečnosti docela pozoruhodný výsledek, protože pro tepelnou rovnováhu je matice hustoty také diagonální na Fockově základě, ale Fockovy stavy jsou neklasické.

Velmi jedinečný příklad

Dokonce i velmi jednoduše vypadající státy mohou vykazovat vysoce neklasické chování. Zvažte superpozici dvou koherentních stavů

{displaystyle | psi angle = c_ {0} | alpha _ {0} úhel + c_ {1} | alpha _ {1} úhel}

kde $C 0, C 1$ jsou konstanty podléhající normalizačnímu omezení

{displaystyle 1 = | c_ {0} | ^ {2} + | c_ {1} | ^ {2} + 2e ^ {- (| alpha _ {0} | ^ {2} + | alpha _ {1} | ^ {2}) / 2} operatorname {Re} vlevo (c_ {0} ^ {*} c_ {1} e ^ {alpha _ {0} ^ {*} alpha _ {1}} ight).}

Všimněte si, že se to zcela liší od a qubit protože ${displaystyle | alpha _ {0} úhel}$ a ${displaystyle | alpha _ {1} úhel}$ nejsou kolmé. Protože je to jednoduché vypočítat ${displaystyle langle -alpha | {hat {ho}} | alpha angle = langle -alpha | psi angle langle psi | alpha angle}$ , můžeme k výpočtu použít výše uvedený vzorec Mehta $P$ ,

{displaystyle {egin {aligned} P (alpha) = {} & | c_ {0} | ^ {2} delta ^ {2} (alpha -alpha _ {0}) + | c_ {1} | ^ {2} delta ^ {2} (alpha -alpha _ {1}) [5pt] & {} + 2c_ {0} ^ {*} c_ {1} e ^ {| alpha | ^ {2} - {frac {1} {2}} | alpha _ {0} | ^ {2} - {frac {1} {2}} | alpha _ {1} | ^ {2}} e ^ {(alpha _ {1} ^ {*} -alpha _ {0} ^ {*}) cdot částečné / částečné (2alpha ^ {*} - alfa _ {0} ^ {*} - alfa _ {1} ^ {*})} e ^ {(alfa _ { 0} -alpha _ {1}) cdot částečné / částečné (2alpha -alpha _ {0} -alpha _ {1})} cdot delta ^ {2} (2alpha -alpha _ {0} -alpha _ {1}) [5pt] & {} + 2c_ {0} c_ {1} ^ {*} e ^ {| alpha | ^ {2} - {frac {1} {2}} | alpha _ {0} | ^ {2 } - {frac {1} {2}} | alpha _ {1} | ^ {2}} e ^ {(alpha _ {0} ^ {*} - alpha _ {1} ^ {*}) cdot částečné / částečný (2 alpha ^ {*} - alfa _ {0} ^ {*} - alfa _ {1} ^ {*})} e ^ {(alfa _ {1} -alpha _ {0}) cdot částečný / částečný ( 2alpha -alpha _ {0} -alpha _ {1})} cdot delta ^ {2} (2alpha -alpha _ {0} -alpha _ {1}). End {aligned}}}

Přesto, že má nekonečně mnoho derivátů delta funkcí, $P$ stále se řídí teorémem optické ekvivalence. Pokud je například očekávaná hodnota číselného operátoru brána s ohledem na stavový vektor nebo jako průměr fázového prostoru s ohledem na $P$ , dvě hodnoty očekávání se shodují:

{displaystyle {egin {aligned} langle psi | {hat {n}} | psi angle & = int P (alpha) | alpha | ^ {2}, d ^ {2} alpha & = | c_ {0} alpha _ {0} | ^ {2} + | c_ {1} alpha _ {1} | ^ {2} + 2e ^ {- (| alpha _ {0} | ^ {2} + | alpha _ {1} | ^ {2}) / 2} operatorname {Re} vlevo (c_ {0} ^ {*} c_ {1} alpha _ {0} ^ {*} alpha _ {1} e ^ {alpha _ {0} ^ {* } alpha _ {1}} ight) .end {aligned}}}

Viz také

Reference

Citace

^ L. Cohen (1966). "Zobecněné funkce distribuce fázového prostoru". J. Math. Phys. 7 (5): 781–786. Bibcode:1966JMP ..... 7..781C. doi:10.1063/1.1931206.
^ L. Cohen (1976). "Kvantovací problém a variační princip ve formulaci fázového prostoru kvantové mechaniky". J. Math. Phys. 17 (10): 1863–1866. Bibcode:1976JMP .... 17.1863C. doi:10.1063/1.522807.
^ ^A ^b E. C. G. Sudarshan (1963). "Ekvivalence semiklasických a kvantově mechanických popisů statistických světelných paprsků". Phys. Rev. Lett. 10 (7): 277–279. Bibcode:1963PhRvL..10..277S. doi:10.1103 / PhysRevLett.10.277.
^ R. J. Glauber (1963). "Koherentní a nekoherentní stavy radiačního pole". Phys. Rev. 131 (6): 2766–2788. Bibcode:1963PhRv..131,2766G. doi:10.1103 / PhysRev.131.2766.
^ Zhou, Lulu (06.12.2005). „Vědci zpochybňují Nobelovu cenu“. Harvardský karmínový. Citováno 2016-04-28.
^ C. L. Mehta; E. C. G. Sudarshan (1965). "Vztah mezi kvantovým a semiklasickým popisem optické koherence". Phys. Rev. 138 (1B): B274 – B280. Bibcode:1965PhRv..138..274M. doi:10.1103 / PhysRev.138.B274.
^ C. L. Mehta (1967). "Diagonální koherentní stav reprezentace kvantových operátorů". Phys. Rev. Lett. 18 (18): 752–754. Bibcode:1967PhRvL..18..752M. doi:10.1103 / PhysRevLett.18.752.
^ Mandel & Wolf 1995, str. 541

Bibliografie

Mandel, L.; Vlk, E. (1995), Optická koherence a kvantová optika, Cambridge UK: Cambridge University Press, ISBN 0-521-41711-2

[1] L. Cohen (1966). "Zobecněné funkce distribuce fázového prostoru". J. Math. Phys. 7 (5): 781–786. Bibcode:1966JMP ..... 7..781C. doi:10.1063/1.1931206.

[2] L. Cohen (1976). "Kvantovací problém a variační princip ve formulaci fázového prostoru kvantové mechaniky". J. Math. Phys. 17 (10): 1863–1866. Bibcode:1976JMP .... 17.1863C. doi:10.1063/1.522807.

[Sudarshan-3] A ^b E. C. G. Sudarshan (1963). "Ekvivalence semiklasických a kvantově mechanických popisů statistických světelných paprsků". Phys. Rev. Lett. 10 (7): 277–279. Bibcode:1963PhRvL..10..277S. doi:10.1103 / PhysRevLett.10.277.

[Glauber-4] R. J. Glauber (1963). "Koherentní a nekoherentní stavy radiačního pole". Phys. Rev. 131 (6): 2766–2788. Bibcode:1963PhRv..131,2766G. doi:10.1103 / PhysRev.131.2766.

[5] Zhou, Lulu (06.12.2005). „Vědci zpochybňují Nobelovu cenu“. Harvardský karmínový. Citováno 2016-04-28.

[6] C. L. Mehta; E. C. G. Sudarshan (1965). "Vztah mezi kvantovým a semiklasickým popisem optické koherence". Phys. Rev. 138 (1B): B274 – B280. Bibcode:1965PhRv..138..274M. doi:10.1103 / PhysRev.138.B274.

[7] C. L. Mehta (1967). "Diagonální koherentní stav reprezentace kvantových operátorů". Phys. Rev. Lett. 18 (18): 752–754. Bibcode:1967PhRvL..18..752M. doi:10.1103 / PhysRevLett.18.752.

[8] Mandel & Wolf 1995, str. 541

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]