Lemniscatic eliptická funkce - Lemniscatic elliptic function

tento článek lze rozšířit o text přeložený z odpovídající článek v němčině. (Srpen 2017) Kliknutím na [zobrazit] zobrazíte důležité pokyny k překladu. Pohled strojově přeložená verze německého článku. Strojový překlad jako DeepL nebo Google Překladač je užitečným výchozím bodem pro překlady, ale překladatelé musí chyby podle potřeby revidovat a potvrdit, že překlad je přesný, spíše než jednoduše kopírovat strojově přeložený text do anglické Wikipedie. Nepřekládejte text, který se jeví jako nespolehlivý nebo nekvalitní. Pokud je to možné, ověřte text pomocí odkazů uvedených v cizojazyčném článku. Vy musí poskytnout přisuzování autorských práv v upravit souhrn doprovázející váš překlad poskytnutím mezijazykový odkaz ke zdroji vašeho překladu. Souhrn úprav atribuce modelu Obsah této úpravy je přeložen ze stávajícího článku německé Wikipedie na adrese [[: de: Lemniskatischer Sinus]]; viz jeho historii pro atribuci. Měli byste také přidat šablonu {{Přeloženo | de | Lemniskatischer Sinus}} do diskusní stránka. Další pokyny najdete v části Wikipedia: Překlad.

v matematika, a lemniscatic eliptická funkce je eliptická funkce související s délkou oblouku a lemniscate z Bernoulli studoval Giulio Carlo de 'Toschi di Fagnano v roce 1718. Má čtvercovou dobovou mříž a úzce souvisí s Weierstrassova eliptická funkce když Weierstrassovy invarianty uspokojí G₂ = 1 a G₃ = 0.

V lemniscatic případě minimální polovina období ω₁ je skutečné a stejné

${displaystyle {frac {Gamma ^ {2} vlevo ({frac {1} {4}} vpravo)} {4 {sqrt {pi}}}}}$

kde Γ je funkce gama. Druhá nejmenší polovina období je čistě imaginární a rovná se iω₁. Ve více algebraických termínech dobová mříž je skutečný násobek Gaussova celá čísla.

The konstanty E₁, E₂, a E₃ jsou dány

${displaystyle e_ {1} = {frac {1} {2}}, qquad e_ {2} = 0, qquad e_ {3} = - {frac {1} {2}}.}$

Pouzdro G₂ = A, G₃ = 0 může být zpracována škálovací transformací. Může to však zahrnovat složitá čísla. Je-li žádoucí zůstat v reálných číslech, je třeba zvážit dva případy: A > 0 a A < 0. Období rovnoběžník je buď a náměstí nebo a kosočtverec.

Lemniscate sine a kosinus funkce

The lemniscate sine (Latinský: sinus lemniscatus) a lemniscate kosinus (Latinský: cosinus lemniscatus) funkce sinlemn aka sl a koslemn aka tř jsou analogie obvyklých sinus a kosinus funkce s kruhem nahrazeným a lemniscate. Jsou definovány

${displaystyle operatorname {sl} (r) = s}$

kde

${displaystyle r = int _ {0} ^ {s} {frac {dt} {sqrt {1-t ^ {4}}}}}$

a

${displaystyle operatorname {cl} (r) = c}$

kde

${displaystyle r = int _ {c} ^ {1} {frac {dt} {sqrt {1-t ^ {4}}}}.}$

Jsou to dvojnásobně periodické (nebo eliptické) funkce v komplexní rovině s tečkami 2πG a 2πIG, kde Gaussova konstanta G darováno

${displaystyle G = {frac {2} {pi}} int _ {0} ^ {1} {frac {dt} {sqrt {1-t ^ {4}}}} = 0,8346ldots.}$

Síla lemniscate

Lemniscate z Bernoulli a jeho dvě ohniska

The lemniscate z Bernoulli

${displaystyle left (x ^ {2} + y ^ {2} ight) ^ {2} = x ^ {2} -y ^ {2}}$

se skládá z bodů tak, že součin jejich vzdáleností od dvou bodů (1/√2, 0), (−1/√2, 0) je konstanta 1/2. Délka r oblouku od počátku do bodu ve vzdálenosti s od původu je dán

${displaystyle r = int _ {0} ^ {s} {frac {dt} {sqrt {1-t ^ {4}}}}.}$

Jinými slovy, sinusová lemniscatic funkce udává vzdálenost od počátku jako funkce délky oblouku od počátku. Podobně kosinová funkce lemniscate udává vzdálenost od počátku jako funkci délky oblouku od (1, 0).

Inverzní funkce

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Srpna 2017)

Viz také

• Gaussova konstanta
• Equianharmonický případ

Reference

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 18“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. str. 658. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. PAN  0167642. LCCN  65-12253.
• Reinhardt, W. P .; Walker, P. L. (2010), "Lemniscate mřížka", v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
• Siegel, C. L. (1969). "Témata v teorii složitých funkcí. Sv. I: Eliptické funkce a teorie uniformizace". Mezivědní trakty v čisté a aplikované matematice. 25. New York-London-Sydney: Wiley-Interscience A Division of John Wiley & Sons. ISBN  0-471-60844-0. PAN  0257326. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

externí odkazy

• "Funkce Lemniscate", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]