Von Neumann bicommutant věta - Von Neumann bicommutant theorem

Tento článek může vyžadovat vyčištění setkat se s Wikipedií standardy kvality. Specifický problém je: Jak je uvedeno na diskusní stránce, důkaz o položce (iii) je neúplný. Prosím pomozte vylepšit tento článek jestli můžeš. (Září 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika konkrétně funkční analýza, von Neumann bicommutant věta se týká uzavření sady omezené operátory na Hilbertův prostor v některých topologie do dvoučlenný této sady. V podstatě se jedná o spojení mezi algebraický a topologické stránky teorie operátorů.

Formální prohlášení věty je následující:

Von Neumann Bicommutantova věta. Nechat M být algebra skládající se z ohraničených operátorů na Hilbertově prostoru H, obsahující operátora identity, a uzavřena sousední. Pak uzávěry z M v slabá topologie operátora a silná topologie operátora jsou si rovny a jsou zase stejné jako dvoučlenný M′′ z M.

Tato algebra se nazývá von Neumannova algebra generováno uživatelem M.

V prostoru omezených operátorů je několik dalších topologií a lze se zeptat, jaké jsou * -algebry uzavřené v těchto topologiích. Li M je uzavřen v topologie normy pak je to C * -algebra, ale ne nutně von Neumannova algebra. Jedním z takových příkladů je C * -algebra kompaktní operátory (na nekonečném dimenzionálním Hilbertově prostoru). Pro většinu ostatních běžných topologií jsou uzavřené * -algebry obsahující 1 von Neumannovy algebry; to platí zejména pro slabého operátora, silného operátora, * silného operátora, velmi slabý, velmi silný a * -vrcholné topologie.

Souvisí to s Jacobsonova věta o hustotě.

Důkaz

Nechat H být Hilbertovým prostorem a L(H) omezené operátory na H. Uvažujme o spojovacím prvku unital subalgebra M z L(H) (tohle znamená tamto M obsahuje sousední členy a operátor identity na H).

Věta je ekvivalentní kombinaci následujících tří příkazů:

(i) tř_Ž(M) ⊆ M′′

ii) tř_S(M) ⊆ cl_Ž(M)

(iii) M′ ′ ⊆ cl_S(M)

Kde Ž a S indexy znamenají uzávěry v slabý a silný topologie operátorů.

Důkaz o (i)

Podle definice topologie slabého operátora pro všechny X a y v H, mapa T → <Tx, y> je v této topologii spojitý. Proto pro každého operátora Ó (a nahrazením jednou y → Ó^∗y a jednou X → Vůl), stejně tak mapa

${ displaystyle T to langle Tx, O ^ {*} y rangle - langle TOx, y rangle = langle OTx, y rangle - langle TOx, y rangle.}$

Nechat S být libovolnou podmnožinou L(H), a S' své komutant. Pro každého operátora T ne v S′, <OTx, y> - <TOx, y> je pro některé nenulová Ó v S a nějaký X a y v H. Kontinuitou výše uvedeného mapování je otevřené sousedství T ve slabé topologii operátora, pro kterou je nenulová, proto toto otevřené sousedství také není S'. Tím pádem S' je Zavřeno u slabého operátora, tj. S' je slabě uzavřený. Tedy každý komutant je slabě uzavřený, a také je M′′; protože obsahuje M, také obsahuje své slabé uzavření.

Důkaz (ii)

To vyplývá přímo z toho, že topologie slabého operátora je hrubší než topologie silného operátora: pro každý bod X v tř_S(M), každé otevřené sousedství X v topologii slabého operátora je otevřená také v topologii silného operátoru, a proto obsahuje člena M; proto X je také členem tř_Ž(M).

Důkaz (iii)

Opravit X ∈ M′′. Ukážeme X ∈ cl_S(M).

Opravte otevřené sousedství U z X v silné topologii operátora. Podle definice silné topologie operátora U obsahuje konečnou křižovatku U(h₁, ε₁) ∩...∩U(h_n, ε_n) subbazických otevřených množin formuláře U(h, ε) = {Ó ∈ L(H): ||Ach - Xh|| <ε}, kde h je v H a ε> 0.

Opravit h v H. Zvažte uzavření cl (Mh) z Mh = {Mh : M ∈ M} s ohledem na normu H a vybavené vnitřním produktem z H. Je to Hilbertův prostor (jako uzavřený podprostor Hilbertova prostoru H), a má tedy odpovídající ortogonální projekce které označujeme P. P je ohraničený, takže je v L(H). Dále dokazujeme:

Lemma. P ∈ M′.

Důkaz. Opravit X ∈ H. Pak Px ∈ cl (Mh), takže je to limit sekvence Ó_nh s Ó_n v M pro všechny n. Pak pro všechny T ∈ M, NA_nh je také v Mh a tedy jeho limit je v cl (Mh). Kontinuitou T (protože je v L(H) a tudíž Lipschitz kontinuální ), tento limit je TPx. Od té doby TPx ∈ cl (Mh), PTPx = TPx. Z toho vyplývá, že PTP = TP pro všechny T v M.

Použitím uzávěru M pod adjunktem, který máme dále, pro každého T v M a všechno X, y ∈ H:

${ displaystyle langle x, TPy rangle = langle x, PTPy rangle = langle Px, TPy rangle = langle T ^ {*} Px, Py rangle = langle PT ^ {*} Px, y rangle = langle T ^ {*} Px, y rangle = langle Px, Ty rangle = langle x, PTy rangle}$

tím pádem TP = PT a P leží v M′.

Podle definice dvoučlenný XP = PX. Od té doby M je unital, h ∈ Mh, proto Xh = XPh = PXh ∈ cl (Mh). Tak pro každého ε > 0, tady existuje T v M s ||Xh − Čt|| < ε. Pak T leží v U(h, ε).^{[je zapotřebí objasnění ]}

Tedy v každém otevřeném sousedství U z X v silné topologii operátoru je člen Ma tak X je v silném uzavření topologie operátora M.

Neunitální případ

C * -algebra M jednající na H prý jedná nedegenerovaně pokud pro h v H, Mh = {0} naznačuje h = 0. V tomto případě to lze zobrazit pomocí přibližná identita v M že operátor identity Já spočívá v silném uzavření M. Závěr dvoukomutantní věty tedy platí M.

Reference

• W.B. Arveson, Pozvánka na C * -algebrySpringer, New York, 1976.