Bicommutant - Bicommutant

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Bicommutant"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v algebra, dvoučlenný a podmnožina S a poloskupina (například algebra nebo a skupina ) je komutant komutanta této podmnožiny. Je také známý jako dvojitý komutant nebo druhý komutant a je zapsán ${ displaystyle S ^ { prime prime}}$.

Dvoukomutant je zvláště užitečný v teorie operátorů, v důsledku von Neumann věta o dvojím komutátoru, který se týká algebraických a analytických struktur systému operátorské algebry. Konkrétně to ukazuje, že pokud M je jednotná algebra operátora s vlastním adjunktem v C * -algebra B (H), pro některé Hilbertův prostor H, pak slabé uzavření, silné uzavření a bicommutant z M jsou rovny. To nám říká, že jednotný C * -subalgebra M z B (H) je von Neumannova algebra pokud, a pouze pokud, ${ displaystyle M = M ^ { prime prime}}$, a pokud ne, von Neumannova algebra, kterou generuje, je ${ displaystyle M ^ { prime prime}}$.

Dvojkomentant z S vždy obsahuje S. Tak ${ displaystyle S ^ { prime prime prime} = left (S ^ { prime prime} right) ^ { prime} subseteq S ^ { prime}}$. Na druhou stranu, ${ displaystyle S ^ { prime} subseteq left (S ^ { prime} right) ^ { prime prime} = S ^ { prime prime prime}}$. Tak ${ displaystyle S ^ { prime} = S ^ { prime prime prime}}$, tj. komutant dvoukomutanta z S se rovná komutantovi z S. Indukcí máme:

${ displaystyle S ^ { prime} = S ^ { prime prime prime} = S ^ { prime prime prime prime prime} = ldots = S ^ {2n-1} = ldots}$

a

${ Displaystyle S subseteq S ^ { Prime Prime} = S ^ { Prime Prime Prime Prime} = S ^ { Prime Prime Prime Prime Prime Prime} = ldots = S ^ {2n} = ldots}$

pro n > 1.

Je jasné, že pokud S₁ a S₂ jsou podmnožiny poloskupiny,

${ displaystyle left (S_ {1} cup S_ {2} right) '= S_ {1}' cap S_ {2} '.}$

Pokud se předpokládá, že ${ displaystyle S_ {1} = S_ {1} '' ,}$ a ${ displaystyle S_ {2} = S_ {2} '' ,}$ (to je například případ von Neumannovy algebry ), pak výše uvedená rovnost dává

${ displaystyle left (S_ {1} ' cup S_ {2}' right) '' = left (S_ {1} '' cap S_ {2} '' right) '= left (S_ {1} cap S_ {2} right) '.}$

Viz také

• von Neumann věta o dvojím komutátoru

Tento abstraktní algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.