Speciální pravý trojúhelník - Special right triangle

Pozice některých speciálních trojúhelníků v Eulerův diagram typů trojúhelníků pomocí definice, že rovnoramenné trojúhelníky mají alespoň dvě stejné strany, tj. rovnostranné trojúhelníky jsou rovnoramenné.

A speciální pravý trojúhelník je pravoúhlý trojuhelník s nějakou běžnou funkcí, která provádí výpočty na Windows trojúhelník jednodušší, nebo pro které existují jednoduché vzorce. Například pravý trojúhelník může mít úhly, které tvoří jednoduché vztahy, například 45 ° –45 ° –90 °. Tomu se říká pravý trojúhelník „založený na úhlu“. „Postranní“ pravý trojúhelník je ten, ve kterém délky stran tvoří poměry celá čísla, například 3: 4: 5, nebo jiných speciálních čísel, jako je Zlatý řez. Znalost vztahů úhlů nebo poměrů stran těchto speciálních pravoúhlých trojúhelníků umožňuje rychle vypočítat různé délky geometrických problémů, aniž by se uchýlil k pokročilejším metodám.

Na základě úhlu

Pro vizualizaci a zapamatování jsou užitečné speciální trojúhelníky založené na úhlu zapsané do jednotkového kruhu trigonometrické funkce násobky 30 a 45 stupňů.

Speciální úhlové trojúhelníky „založené na úhlu“ jsou určeny vztahy úhlů, ze kterých je trojúhelník složen. Úhly těchto trojúhelníků jsou takové, že větší (pravý) úhel, který je 90 stupňů nebo π/2 radiánů, se rovná součtu ostatních dvou úhlů.

Délky stran se obecně odvozují od základu jednotkový kruh nebo jiný geometrický metody. Tento přístup lze použít k rychlé reprodukci hodnot trigonometrických funkcí pro úhly 30 °, 45 ° a 60 °.

Při výpočtu běžných trigonometrických funkcí se používají speciální trojúhelníky, jak je uvedeno níže:

45°–45°–90°

30°–60°–90°

Trojúhelník 45 ° –45 ° –90 °, trojúhelník 30 ° –60 ° –90 ° a rovnostranný / rovnostranný (60 ° –60 ° –60 °) trojúhelník jsou tři Möbiovy trojúhelníky v rovině, což znamená, že oni mozaiková deska letadlo prostřednictvím odrazů na jejich stranách; vidět Skupina trojúhelníků.

45 ° –45 ° –90 ° trojúhelník

Nastavit čtverec

Délky stran trojúhelníku 45 ° –45 ° –90 °

V rovinné geometrii má konstrukce úhlopříčky čtverce za následek trojúhelník, jehož tři úhly jsou v poměru 1: 1: 2, sčítáním až 180 ° nebo π radiány. Úhly tudíž měří 45 ° (π/4), 45° (π/4) a 90 ° (π/2). Strany v tomto trojúhelníku jsou v poměru 1: 1:√2, který bezprostředně vyplývá z Pythagorova věta.

Ze všech pravoúhlých trojúhelníků má trojúhelník 45 ° –45 ° –90 ° nejmenší poměr přepony k součtu nohou, a to √2/2.^{[1]:282, 355} a největší poměr výšky od přepony k součtu nohou, a to √2/4.^{[1]:str. 282}

Trojúhelníky s těmito úhly jsou jedinými možnými pravoúhlými trojúhelníky, které také jsou rovnoramenné trojúhelníky v Euklidovská geometrie. Nicméně v sférická geometrie a hyperbolická geometrie, existuje nekonečně mnoho různých tvarů pravoúhlých trojúhelníků.

30 ° –60 ° –90 ° trojúhelník

Nastavit čtverec

Délky stran trojúhelníku 30 ° –60 ° –90 °

Jedná se o trojúhelník, jehož tři úhly jsou v poměru 1: 2: 3 a příslušně měří 30 ° (π/6), 60° (π/3) a 90 ° (π/2). Boky jsou v poměru 1:√3  : 2.

Důkazem této skutečnosti je jasné použití trigonometrie. The geometrický důkaz je:

Nakreslete rovnostranný trojúhelník ABC s délkou strany 2 as hrotem D jako střed segmentu před naším letopočtem. Nakreslete čáru nadmořské výšky z A na D. Pak ABD je trojúhelník 30 ° –60 ° –90 ° s přeponou délky 2 a základnou BD délky 1.

Skutečnost, že zbývající noha INZERÁT má délku √3 vyplývá bezprostředně z Pythagorova věta.

Trojúhelník 30 ° –60 ° –90 ° je jediný pravý trojúhelník, jehož úhly jsou v aritmetické posloupnosti. Důkaz této skutečnosti je jednoduchý a navazuje na skutečnost, že pokud α, α + δ, α + 2δ jsou úhly v postupu pak součet úhlů 3α + 3δ = 180 °. Po vydělení 3 úhel α + δ musí být 60 °. Pravý úhel je 90 °, zbývající úhel je 30 °.

Postranní

Pravé trojúhelníky, jejichž strany jsou celé číslo délky, přičemž strany jsou souhrnně označovány jako Pytagorejské trojnásobky, mají úhly, které nemohou být všechny racionální čísla z stupňů.^[2] (To vyplývá z Nivenova věta.) Jsou nejužitečnější v tom, že si je lze snadno zapamatovat násobek stran vytváří stejný vztah. Při použití Euklidova vzorce pro generování pythagorovských trojek musí být strany v poměru

m² − n² : 2mn : m² + n²

kde m a n jsou všechna kladná celá čísla taková, že m > n.

Společné Pythagorovy trojice

Existuje několik pythagorejských trojic, které jsou dobře známé, včetně těch se stranami v poměrech:

3:	4	:5
5:	12	:13
8:	15	:17
7:	24	:25
9:	40	:41

Trojúhelníky 3: 4: 5 jsou jediné pravé trojúhelníky s hranami aritmetický postup. Trojúhelníky založené na Pythagorových trojcích jsou Heronský, což znamená, že mají celočíselnou plochu i celočíselné strany.

Možné použití trojúhelníku 3: 4: 5 v Starověký Egypt, s předpokládaným použitím uzlového lana k vyložení takového trojúhelníku, a otázka, zda byla v té době známa Pythagorova věta, byla hodně diskutována.^[3] Poprvé to předpokládal historik Moritz Cantor v roce 1882.^[3] Je známo, že ve starověkém Egyptě byly přesně vytyčeny pravé úhly; že jejich inspektoři používali k měření lana;^[3] že Plútarchos zaznamenáno v Isis a Osiris (kolem 100 n. l.), že Egypťané obdivovali trojúhelník 3: 4: 5;^[3] a to Berlínský papyrus 6619 z Střední království Egypta (před rokem 1700 př. n. l.) uvedl, že „plocha čtverce 100 se rovná ploše dvou menších čtverců. Strana jednoho je ½ + ¼ strana druhého.“^[4] Historik matematiky Roger L. Cooke poznamenává, že „je těžké si představit, že by se někdo o takové podmínky zajímal, aniž by znal Pythagorovu větu.“^[3] Cooke proti tomu poznamenává, že žádný egyptský text před rokem 300 před naším letopočtem ve skutečnosti nezmiňuje použití věty k určení délky stran trojúhelníku a že existují jednodušší způsoby, jak vytvořit pravý úhel. Cooke dochází k závěru, že Cantorova domněnka zůstává nejistá: tvrdí, že staří Egypťané pravděpodobně znali Pythagorovu větu, ale že „neexistují důkazy o tom, že ji použili ke konstrukci pravých úhlů“.^[3]

Níže jsou uvedeny všechny Pythagorovy trojité poměry vyjádřené v nejnižší formě (nad pěti nejmenšími v nejnižší formě v seznamu výše) s oběma stranami bez přepony menšími než 256:

11:	60	:61
12:	35	:37
13:	84	:85
15:	112	:113
16:	63	:65
17:	144	:145
19:	180	:181
20:	21	:29
20:	99	:101
21:	220	:221

Téměř rovnoramenní Pythagorovy se ztrojnásobí

Rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky nemohou mít strany s celočíselnými hodnotami, protože poměr přepony k druhé straně je √2, ale √2 nelze vyjádřit jako poměr dvou celých čísel. Avšak nekonečně mnoho téměř rovnoramenné pravé trojúhelníky existují. Jedná se o pravoúhlé trojúhelníky s integrálními stranami, pro které jsou délky okraje bez přepony se liší o jednu.^[5][6] Tyto téměř rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky lze získat rekurzivně,

A₀ = 1, b₀ = 2

A_n = 2b_n−1 + A_n−1

b_n = 2A_n + 5b_n−1

A_n je délka přepony, n = 1, 2, 3, .... Ekvivalentně,

${ displaystyle ({ tfrac {x-1} {2}}) ^ {2} + ({ tfrac {x + 1} {2}}) ^ {2} = y ^ {2}}$

kde {X, y} jsou řešení Pellova rovnice X² − 2y² = −1, s přeponou y být liché podmínky Pell čísla 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378 ... (sekvence A000129 v OEIS ) .. Nejmenší výsledné trojité pythagorejské trojky jsou:^[7]

3 :	4	: 5
20 :	21	: 29
119 :	120	: 169
696 :	697	: 985
4,059 :	4,060	: 5,741
23,660 :	23,661	: 33,461
137,903 :	137,904	: 195,025
803,760 :	803,761	: 1,136,689
4,684,659 :	4,684,660	: 6,625,109

Alternativně mohou být stejné trojúhelníky odvozeny z čtvercová trojúhelníková čísla.^[8]

Aritmetické a geometrické průběhy

A Keplerův trojúhelník je pravý trojúhelník tvořený třemi čtverci s plochami v geometrické posloupnosti podle Zlatý řez.

Keplerův trojúhelník je pravý trojúhelník, jehož strany jsou v a geometrický průběh. Pokud jsou strany vytvořeny z geometrického postupu A, ar, ar² pak jeho společný poměr r darováno r = √φ kde φ je zlatý řez. Jeho strany jsou tedy v poměru 1 : √φ : φ. Tvar Keplerova trojúhelníku je tedy jednoznačně určen (až do měřítka) požadavkem, aby jeho strany byly v geometrické posloupnosti.

Trojúhelník 3–4–5 je jedinečný pravý trojúhelník (do měřítka), jehož strany jsou v aritmetický postup.^[9]

Boky pravidelných mnohoúhelníků

Boky pětiúhelníku, šestiúhelníku a desetiúhelníku vepsané dovnitř shodný kruhy, tvoří pravý trojúhelník

Nechat A = 2 hříchy π/10 = −1 + √5/2 = 1/φ být délka strany pravidelného desetiúhelník vepsaný v jednotkovém kruhu, kde φ je Zlatý řez. Nechat b = 2 hříchy π/6 = 1 být délka strany pravidelného šestiúhelník v jednotkovém kruhu a necháme C = 2 hříchy π/5 = ${ displaystyle { sqrt { tfrac {5 - { sqrt {5}}} {2}}}}$ být délka strany pravidelného Pentagon v jednotkovém kruhu. Pak A² + b² = C², takže tyto tři délky tvoří strany pravoúhlého trojúhelníku.^[10] Stejný trojúhelník tvoří polovinu a zlatý obdélník. Může se také nacházet v rámci a pravidelný dvacetistěn délky strany C: nejkratší úsečka z jakéhokoli vrcholu PROTI do roviny svých pěti sousedů má délku Aa koncové body tohoto úsečkového segmentu spolu s jakýmkoli sousedem PROTI tvoří vrcholy pravoúhlého trojúhelníku se stranami A, b, a C.^[11]

Viz také

• Celočíselný trojúhelník
• Theodorova spirála

Reference

externí odkazy

• Trojúhelník 3: 4: 5
• 30–60–90 trojúhelník
• Trojúhelník 45–45–90 - s interaktivními animacemi