Sl2-triple - Sl2-triple

V teorii Lež algebry, an sl₂-trojnásobný je trojnásobek prvků Lieovy algebry, které uspokojují komutační vztahy mezi standardními generátory speciální lineární Lež algebra sl₂. Tento pojem hraje důležitou roli v teorii napůl jednoduché Lie algebry, zejména s ohledem na jejich nilpotentní oběžné dráhy.

Definice

Elementy {E,h,F} Lieovy algebry G pro muže sl₂-trojnásobný -li

${displaystyle [h, e] = 2e, quad [h, f] = - 2f, quad [e, f] = h.}$

Tyto komutační vztahy jsou generátory uspokojeny

${displaystyle h = {egin {bmatrix} 1 & 0 0 & -1end {bmatrix}}, quad e = {egin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0end {bmatrix}}, quad f = {egin {bmatrix} 0 & 0 1 & 0end {bmatrix}} }$

lži algebry sl₂ matice 2 x 2 s nulou stopa. Z toho vyplývá, že sl₂-triples in G jsou v bijektivní korespondenci s Lieovou algebrou homomorfismy z sl₂ do G.

Alternativní notace pro prvky an sl₂-triple je {H, X, Y}, s H souhlasí s h, X souhlasí s E, a Y souhlasí s F.

Vlastnosti

Předpokládat, že G je konečná trojrozměrná Lieova algebra nad a pole z charakteristická nula Z teorie reprezentace Lieovy algebry sl₂jeden dospěl k závěru, že Lieova algebra G rozkládá se do přímého součtu konečných trojrozměrných podprostorů, z nichž každý je isomorfní PROTI_j, (j + 1) -dimenzionální jednoduché sl₂-modul s nejvyšší váha j. Prvek h z sl₂-triple je poloviční, s jednoduchým vlastní čísla j, j − 2, …, −j na submodulu o G izomorfní s PROTI_j . Elementy E a F pohybovat se mezi různými vlastními prostory h, zvýšení vlastního čísla o 2 v případě E a jeho snížení o 2 v případě F. Zejména, E a F jsou nilpotentní prvky lži algebry G.

Naopak Jacobsonova věta orozov uvádí, že jakýkoli nilpotentní prvek E a polojednoduchá Lie algebra G lze zahrnout do sl₂-triple {E,h,F} a všechny tyto trojice jsou konjugovány pod působením skupiny Z_G(E), centralizátor z E v sousední Lieově skupině G odpovídající Lieově algebře G.

Polojediný prvek h ze všech sl₂-triple obsahující daný nilpotentní prvek E z G se nazývá a charakteristický z E.

An sl₂-triple definuje známku na G podle vlastních čísel h:

${displaystyle g = igoplus _ {jin mathbb {Z}} g_ {j}, quad [h, a] = ja {} {extrm {for}} {} ain g_ {j}.}$

The sl₂- volá se trojka dokonce i kdyby jen j vyskytují se v tomto rozkladu a zvláštní v opačném případě.

Li G je tedy polojednoduchá Lieova algebra G₀ je redukční Leží subalgebra G (obecně to není poloviční). Kromě toho přímý součet vlastních prostorů h s nezápornými vlastními hodnotami je a parabolická subalgebra z G s komponentou Levi G₀.

Pokud prvky sl₂- tři jsou pravidelný, pak se jejich rozpětí nazývá a hlavní subalgebra.

Viz také

• Afinní skupina Weyl
• Skupina konečných coxeterů
• Hasseův diagram
• Lineární algebraická skupina
• Nilpotentní oběžná dráha
• Kořenový systém
• Speciální lineární Lieova algebra
• Weylova skupina

Reference

• A. L. Onishchik, E. B. Vinberg, V. V. Gorbatsevich, Struktura Lieových skupin a Lieových algeber. Lie skupiny a Lie algebry, III. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 41. Springer-Verlag, Berlin, 1994. iv + 248 s. (Překlad Aktuální problémy matematiky. Základní směry. Sv. 41, Akad. Nauk SSSR, Vsesoyuz. Inst. Nauchn. I Tekhn. Inform., Moskva, 1990. Překlad V. Minachin. Překlad editoval AL Onishchik a EB Vinberg) ISBN  3-540-54683-9
• V. L. Popov, E. B. Vinberg, Invariantní teorie. Algebraická geometrie. IV. Lineární algebraické skupiny. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 55. Springer-Verlag, Berlin, 1994. vi + 284 s. (Překlad algebraické geometrie. 4, Akad. Nauk SSSR Vsesoyuz. Inst. Nauchn. I Tekhn. Inform., Moskva, 1989. Překlad editoval AN Parshin a IR Shafarevich) ISBN  3-540-54682-0