Věta o výběru - Selection theorem - Wikipedia
v funkční analýza, obor matematiky, a věta o výběru je věta, která zaručuje existenci jedné hodnoty funkce výběru z dané vícehodnotové mapy. Existují různé věty o výběru a jsou důležité v teoriích diferenciální inkluze, optimální ovládání, a matematická ekonomie.[1]
Předkola
Vzhledem k tomu, dvě sady X a Y, nechť F být mapa s více hodnotami z X a Y. Ekvivalentně je funkce z X do napájecí sada z Y.
Funkce se říká, že je výběr z F, pokud
Jinými slovy, daný vstup X pro které původní funkce F vrátí více hodnot, novou funkci F vrací jednu hodnotu. Toto je speciální případ a funkce volby.
The axiom volby znamená, že funkce výběru vždy existuje; často je však důležité, aby výběr měl nějaké „pěkné“ vlastnosti, například kontinuální nebo měřitelné. Zde se uplatní věty výběru: zaručují, že pokud F splňuje určité vlastnosti, pak má výběr F který je spojitý nebo má jiné žádoucí vlastnosti.
Věty o výběru funkcí s oceněnou hodnotou
1. The Věta o Michaelově výběru[2] říká, že pro existenci a. jsou dostatečné následující podmínky kontinuální výběr:
- X je paracompact prostor;
- Y je Banachův prostor;
- F je nižší polokontinuální;
- Pro všechny X v X, sada F(X) je neprázdné, konvexní a Zavřeno.
2. Věta Deutsch – Kenderov[3] zobecňuje Michaelovu větu takto:
- X je paracompact prostor;
- Y je normovaný vektorový prostor;
- F je téměř nižší polokontinuální, tj. u každého , pro každou čtvrť z existuje sousedství z takhle
- Pro všechny X v X, sada F(X) je neprázdné a konvexní.
Tyto podmínky to zaručují má kontinuální přibližný výběr, tedy pro každou čtvrť z v existuje spojitá funkce takové, že pro každého , .[3]
V pozdější poznámce Xu dokázal, že věta Deutsch – Kenderov je také platná, pokud je lokálně konvexní topologický vektorový prostor.[4]
3. Věta o výběru Yannelis-Prabhakar[5] říká, že pro existenci a. jsou dostatečné následující podmínky kontinuální výběr:
- X je paracompact Hausdorffův prostor;
- Y je lineární topologický prostor;
- Pro všechny X v X, sada F(X) je neprázdné a konvexní.
- Pro všechny y v Y, inverzní množina F−1(y) je otevřená sada v X.
4. The Kuratowski a Ryll-Nardzewski věta o měřitelném výběru říká, že pro existenci a. jsou dostatečné následující podmínky měřitelný výběr:
- je Polský prostor a své Borel σ-algebra;
- je sada neprázdných uzavřených podmnožin .
- A měřitelný prostor, a A - slabě měřitelná mapa (tj. pro každou otevřenou podmnožinu my máme ).
Pak má výběr to je -měřitelný.[6]
Viz také
Reference
- ^ Border, Kim C. (1989). Věty o pevném bodě s aplikacemi v ekonomii a teorii her. Cambridge University Press. ISBN 0-521-26564-9.
- ^ Michael, Ernest (1956). "Nepřetržitý výběr. I". Annals of Mathematics. Druhá série. 63 (2): 361–382. doi:10.2307/1969615. hdl:10338.dmlcz / 119700. JSTOR 1969615. PAN 0077107.
- ^ A b Deutsch, Frank; Kenderov, Petar (leden 1983). "Kontinuální výběry a přibližný výběr pro mapování s nastavenou hodnotou a aplikace pro metrické projekce". SIAM Journal on Mathematical Analysis. 14 (1): 185–194. doi:10.1137/0514015.
- ^ Xu, Yuguang (prosinec 2001). "Poznámka k teorému o spojitém přibližném výběru". Žurnál teorie přiblížení. 113 (2): 324–325. doi:10.1006 / jath.2001.3622.
- ^ Yannelis, Nicholas C .; Prabhakar, N. D. (01.12.1983). "Existence maximálních prvků a rovnováh v lineárních topologických prostorech". Journal of Mathematical Economics. 12 (3): 233–245. doi:10.1016/0304-4068(83)90041-1. ISSN 0304-4068.
- ^ V. I. Bogachev, „Teorie měření“ Svazek II, strana 36.