Věta o výběru - Selection theorem - Wikipedia

v funkční analýza, obor matematiky, a věta o výběru je věta, která zaručuje existenci jedné hodnoty funkce výběru z dané vícehodnotové mapy. Existují různé věty o výběru a jsou důležité v teoriích diferenciální inkluze, optimální ovládání, a matematická ekonomie.^[1]

Předkola

Vzhledem k tomu, dvě sady X a Y, nechť F být mapa s více hodnotami z X a Y. Ekvivalentně ${ displaystyle F: X rightarrow { mathcal {P}} (Y)}$je funkce z X do napájecí sada z Y.

Funkce ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ se říká, že je výběr z F, pokud

${ displaystyle forall x in X: , , , f (x) ve F (x) ,.}$

Jinými slovy, daný vstup X pro které původní funkce F vrátí více hodnot, novou funkci F vrací jednu hodnotu. Toto je speciální případ a funkce volby.

The axiom volby znamená, že funkce výběru vždy existuje; často je však důležité, aby výběr měl nějaké „pěkné“ vlastnosti, například kontinuální nebo měřitelné. Zde se uplatní věty výběru: zaručují, že pokud F splňuje určité vlastnosti, pak má výběr F který je spojitý nebo má jiné žádoucí vlastnosti.

Věty o výběru funkcí s oceněnou hodnotou

1. The Věta o Michaelově výběru^[2] říká, že pro existenci a. jsou dostatečné následující podmínky kontinuální výběr:

• X je paracompact prostor;
• Y je Banachův prostor;
• F je nižší polokontinuální;
• Pro všechny X v X, sada F(X) je neprázdné, konvexní a Zavřeno.

2. Věta Deutsch – Kenderov^[3] zobecňuje Michaelovu větu takto:

• X je paracompact prostor;
• Y je normovaný vektorový prostor;
• F je téměř nižší polokontinuální, tj. u každého ${ displaystyle x v X}$, pro každou čtvrť ${ displaystyle V}$ z ${ displaystyle 0}$ existuje sousedství ${ displaystyle U}$ z ${ displaystyle x}$ takhle ${ displaystyle cap _ {u in U} {F (u) + V } neq emptyset.}$
• Pro všechny X v X, sada F(X) je neprázdné a konvexní.

Tyto podmínky to zaručují ${ displaystyle F}$ má kontinuální přibližný výběr, tedy pro každou čtvrť ${ displaystyle V}$ z ${ displaystyle 0}$ v ${ displaystyle Y}$ existuje spojitá funkce ${ displaystyle f tračník X mapsto Y}$ takové, že pro každého ${ displaystyle x v X}$, ${ displaystyle f (x) v F (X) + V}$.^[3]

V pozdější poznámce Xu dokázal, že věta Deutsch – Kenderov je také platná, pokud ${ displaystyle Y}$ je lokálně konvexní topologický vektorový prostor.^[4]

3. Věta o výběru Yannelis-Prabhakar^[5] říká, že pro existenci a. jsou dostatečné následující podmínky kontinuální výběr:

• X je paracompact Hausdorffův prostor;
• Y je lineární topologický prostor;
• Pro všechny X v X, sada F(X) je neprázdné a konvexní.
• Pro všechny y v Y, inverzní množina F⁻¹(y) je otevřená sada v X.

4. The Kuratowski a Ryll-Nardzewski věta o měřitelném výběru říká, že pro existenci a. jsou dostatečné následující podmínky měřitelný výběr:

• ${ displaystyle X}$ je Polský prostor a ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ své Borel σ-algebra;
• ${ displaystyle Cl (X)}$ je sada neprázdných uzavřených podmnožin ${ displaystyle X}$.
• ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}})}$ A měřitelný prostor, a ${ displaystyle F: Omega to Cl (X)}$ A ${ displaystyle { mathcal {F}}}$- slabě měřitelná mapa (tj. pro každou otevřenou podmnožinu ${ displaystyle U subseteq X}$ my máme ${ displaystyle { omega in Omega: F ( omega) cap U neq emptyset } in { mathcal {F}}}$).

Pak ${ displaystyle F}$ má výběr to je ${ displaystyle ({ mathcal {F}}, { mathcal {B}})}$-měřitelný.^[6]

Viz také

Seznam vět o výběru

Reference