Kvartová vzájemnost - Quartic reciprocity

Quartic nebo dvojkvadratická vzájemnost je sbírka vět v základní a algebraický teorie čísel tento stát podmínky, za kterých shoda X⁴ ≡ str (mod q) je řešitelný; slovo „vzájemnost“ pochází z formy některých z těchto vět, protože se týkají řešitelnosti kongruence X⁴ ≡ str (mod q) k tomu z X⁴ ≡ q (mod str).

Dějiny

Euler učinil první domněnky o dvojkvadratické vzájemnosti.^[1] Gauss vydali dvě monografie o bikvadratické vzájemnosti. V prvním (1828) prokázal Eulerovu domněnku o dvojkvadratickém charakteru čísla 2. Ve druhém (1832) uvedl bikvadratický zákon vzájemnosti pro Gaussova celá čísla a prokázal doplňkové vzorce. Řekl^[2] že bude připravena třetí monografie s důkazem obecné věty, ale nikdy se neobjevila. Jacobi předložil důkazy ve svých přednáškách v Königsbergu z let 1836–37.^[3] První zveřejněné důkazy byly od Eisensteina.^[4][5][6][7]

Od té doby byla nalezena řada dalších důkazů o klasické (gaussovské) verzi,^[8] stejně jako alternativní prohlášení. Lemmermeyer uvádí, že došlo k výbuchu zájmu o racionální zákony o vzájemnosti od 70. let.^[A][9]

Celá čísla

A kvartální nebo bikvadratický zbytek (mod str) je jakékoli číslo shodné se čtvrtou mocninou celého čísla (mod str). Li X⁴ ≡ A (mod str) nemá celočíselné řešení, A je kvartální nebo dvojkvadratické reziduum (mod str).^[10]

Jak to v teorii čísel často bývá, je nejjednodušší pracovat s prvočísly modulo, takže v této části všechny moduly str, q, atd., se předpokládá kladná, lichá prvočísla.^[10]

Gauss

První věc, kterou si všimnete při práci v kruhu Z celých čísel je, že pokud je prvočíslo q je ≡ 3 (mod 4), pak zbytek r je kvadratický zbytek (mod q) právě tehdy, pokud se jedná o dvojkvadratický zbytek (mod q). Opravdu, první dodatek k kvadratická vzájemnost uvádí, že −1 je kvadratická rezidua (mod q), takže pro jakékoli celé číslo X, jeden z X a -X je kvadratický zbytek a druhý není reziduum. Pokud tedy r ≡ A² (mod q) je kvadratický zbytek, pak pokud A ≡ b² je zbytek, r ≡ A² ≡ b⁴ (mod q) je dvojkvadratický zbytek, a pokud A není zbytkem, -A je zbytek, -A ≡ b², a znovu, r ≡ (−A)² ≡ b⁴ (mod q) je dvojkvadratický zbytek.^[11]

Jediným zajímavým případem je tedy modul str ≡ 1 (mod 4).

Gauss dokázal^[12] to když str ≡ 1 (mod 4), potom nenulové zbytkové třídy (mod str) lze rozdělit do čtyř sad, z nichž každá obsahuje (str-1) / 4 čísla. Nechat E být kvadratickým zbytkem. První sada je kvartické zbytky; druhý je E krát čísla v první sadě, třetí je E² krát čísla v první sadě a čtvrtá je E³ krát čísla v první sadě. Další způsob, jak popsat toto rozdělení, je nechat G být primitivní kořen (mod str); pak první sada jsou všechna čísla, jejichž indexy vzhledem k tomuto kořenu jsou ≡ 0 (mod 4), druhá sada jsou všechna ta, jejichž indexy jsou ≡ 1 (mod 4) atd.^[13] Ve slovníku teorie skupin, první sada je podskupinou index 4 (multiplikativní skupiny Z/ strZ^×) a další tři jsou jeho kosety.

První sada je dvojkvadratické zbytky, třetí sada jsou kvadratické zbytky, které nejsou kvartickými zbytky, a druhá a čtvrtá sada jsou kvadratické zbytky. Gauss dokázal, že −1 je dvojkvadratický zbytek, pokud str ≡ 1 (mod 8) a kvadratický, ale ne bikvadratický zbytek, když str ≡ 5 (mod 8).^[14]

2 je kvadratický zbytek mod str kdyby a jen kdyby str ≡ ± 1 (mod 8). Od té doby str je také ≡ 1 (mod 4), to znamená str ≡ 1 (mod 8). Každé takové prvočíslo je součtem čtverce a dvakrát čtverce.^[15]

Gauss dokázal^[14]

Nechat q = A² + 2b² ≡ 1 (mod 8) je prvočíslo. Pak

2 je dvojkvadratický zbytek (mod q) právě tehdy A ≡ ± 1 (mod 8) a

2 je kvadratický, nikoli však bikvadratický zbytek (mod q) právě tehdy A ≡ ± 3 (mod 8).

Každý prime str ≡ 1 (mod 4) je součet dvou čtverců.^[16] Li str = A² + b² kde A je liché a b je vyrovnaný, dokázal Gauss^[17] že

2 patří do první (respektive druhé, třetí nebo čtvrté) třídy definované výše právě tehdy, když b ≡ 0 (resp. 2, 4 nebo 6) (mod 8). Prvním případem je jeden z Eulerových domněnek:

2 je dvojkvadratický zbytek prvočísla str ≡ 1 (mod 4) právě tehdy str = A² + 64b².

Dirichlet

Pro liché prvočíslo str a kvadratický zbytek A (mod str), Eulerovo kritérium tvrdí, že ${displaystyle a ^ {frac {p-1} {2}} ekvivalent 1 {pmod {p}},}$ takže když str ≡ 1 (mod 4), ${displaystyle a ^ {frac {p-1} {4}} ekvivalent pm 1 {pmod {p}}.}$

Definujte symbol racionálního kvartického zbytku pro prime str ≡ 1 (mod 4) a kvadratický zbytek A (mod str) tak jako ${displaystyle {Bigg (} {frac {a} {p}} {Bigg)} _ {4} = pm 1equiv a ^ {frac {p-1} {4}} {pmod {p}}.}$ Je snadné to dokázat A je dvoukvadratický zbytek (mod str) právě tehdy ${displaystyle {Bigg (} {frac {a} {p}} {Bigg)} _ {4} = 1.}$

Dirichlet^[18] zjednodušil Gaussův důkaz dvojkvadratického charakteru čísla 2 (jeho důkaz vyžaduje pouze kvadratickou vzájemnost pro celá čísla) a výsledek dal v následující podobě:

Nechat str = A² + b² ≡ 1 (mod 4) je prime a nech i ≡ b/A (mod str). Pak

${displaystyle {Bigg (} {frac {2} {p}} {Bigg)} _ {4} equiv i ^ {frac {ab} {2}} {pmod {p}}.}$ (Všimněte si, že i² ≡ −1 (mod str).)

Ve skutečnosti,^[19] nechat str = A² + b² = C² + 2d² = E² − 2F² ≡ 1 (mod 8) je prvočíslo a předpokládejme A je zvláštní. Pak

${displaystyle {Bigg (} {frac {2} {p}} {Bigg)} _ {4} = vlevo (-1ight) ^ {frac {b} {4}} = {Bigg (} {frac {2} { c}} {Bigg)} = vlevo (-1ight) ^ {n + {frac {d} {2}}} = {Bigg (} {frac {-2} {e}} {Bigg)},}$ kde ${displaystyle ({frac {x} {q}})}$ je obyčejný Legendární symbol.

Přesahující charakter 2, nechť připravit str = A² + b² kde b je sudý, a nechť q být takovým prvkem ${displaystyle ({frac {p} {q}}) = 1.}$ Kvadratická vzájemnost to říká ${displaystyle ({frac {q ^ {*}} {p}}) = 1,}$ kde ${displaystyle q ^ {*} = (- 1) ^ {frac {q-1} {2}} q.}$ Nechť σ² ≡ str (mod q). Pak^[20]

${displaystyle {Bigg (} {frac {q ^ {*}} {p}} {Bigg)} _ {4} = {Bigg (} {frac {sigma (b + sigma)} {q}} {Bigg)} .}$ Z toho vyplývá^[21] že

${displaystyle {Bigg (} {frac {q ^ {*}} {p}} {Bigg)} _ {4} = 1 {mbox {když a jen pokud}} {egin {cases} bequiv 0 {pmod {q} }; & {mbox {or}} aequiv 0 {pmod {q}} {mbox {and}} vlevo ({frac {2} {q}} ight) = 1; & {mbox {or}} aequiv mu b, ;; mu ^ {2} + 1equiv lambda ^ {2} {pmod {q}} {mbox {a}} vlevo ({frac {lambda (lambda +1)} {q}} ight) = 1. konec {případů}}}$

Prvních několik příkladů je:^[22]

${displaystyle {egin {aligned} left ({frac {-3} {p}} ight) _ {4} = 1 & {mbox {if and only if}} & b & equiv 0 {pmod {3}} left ({frac { 5} {p}} ight) _ {4} = 1 & {mbox {if and only if}} & b & equiv 0 {pmod {5}} left ({frac {-7} {p}} ight) _ {4} = 1 & {mbox {if and only if}} & ab & equiv 0 {pmod {7}} left ({frac {-11} {p}} ight) _ {4} = 1 & {mbox {if and only if}} & b (b ^ {2} -3a ^ {2}) & equiv 0 {pmod {11}} left ({frac {13} {p}} ight) _ {4} = 1 & {mbox {if and only if}} & b (b ^ {2} -3a ^ {2}) & equiv 0 {pmod {13}} left ({frac {17} {p}} ight) _ {4} = 1 & {mbox {if and only if} } ;;;; & ab (b ^ {2} -a ^ {2}) & ekviv. 0 {pmod {17}}. end {zarovnáno}}}$

Euler si domyslel pravidla pro 2, -3 a 5, ale žádné z nich neprokázal.

Dirichlet^[23] také dokázal, že pokud str ≡ 1 (mod 4) je prime a ${displaystyle ({frac {17} {p}}) = 1}$ pak

${displaystyle {Bigg (} {frac {17} {p}} {Bigg)} _ {4} {Bigg (} {frac {p} {17}} {Bigg)} _ {4} = {egin {cases} +1 {mbox {if and only if}} ;; p = x ^ {2} + 17y ^ {2} - 1 {mbox {if and only if}} 2p = x ^ {2} + 17y ^ {2 } konec {případů}}}$

Toto bylo rozšířeno z 17 na 17, 73, 97 a 193 Brownem a Lehmerem.^[24]

Burde

Existuje řada ekvivalentních způsobů, jak vyjádřit Burdeův racionální bikvratický zákon vzájemnosti.

Všichni to předpokládají str = A² + b² a q = C² + d² jsou prvočísla kde b a d jsou sudé, a to ${displaystyle ({frac {p} {q}}) = 1.}$

Gossetova verze je^[9]

${displaystyle {Bigg (} {frac {q} {p}} {Bigg)} _ {4} ekviv {Bigg (} {frac {a / bc / d} {a / b + c / d}} {Bigg) } ^ {frac {q-1} {4}} {pmod {q}}.}$

Pronájem i² ≡ −1 (mod str) a j² ≡ −1 (mod q), Frölichův zákon je^[25]

${displaystyle {Bigg (} {frac {q} {p}} {Bigg)} _ {4} {Bigg (} {frac {p} {q}} {Bigg)} _ {4} = {Bigg (} { frac {a + bj} {q}} {Bigg)} = {Bigg (} {frac {c + di} {p}} {Bigg)}.}$

Burde uvedl své v podobě:^[26][27][28]

${displaystyle {Bigg (} {frac {q} {p}} {Bigg)} _ {4} {Bigg (} {frac {p} {q}} {Bigg)} _ {4} = {Bigg (} { frac {ac-bd} {q}} {Bigg)}.}$

Všimněte si, že^[29]

${displaystyle {Bigg (} {frac {ac + bd} {p}} {Bigg)} = {Bigg (} {frac {p} {q}} {Bigg)} {Bigg (} {frac {ac-bd} {p}} {Bigg)}.}$

Rozmanitost

Nechat str ≡ q ≡ 1 (mod 4) je prvočíslo a předpokládejme ${displaystyle ({frac {p} {q}}) = 1}$. Pak E² = p f² + q g² má netriviální celočíselná řešení a^[30]

${displaystyle {Bigg (} {frac {p} {q}} {Bigg)} _ {4} {Bigg (} {frac {q} {p}} {Bigg)} _ {4} = left (-1ight) ^ {frac {fg} {2}} vlevo ({frac {-1} {e}} vpravo).}$

Nechat str ≡ q ≡ 1 (mod 4) je prvočíslo a předpokládejme str = r² + q s². Pak^[31]

${displaystyle {Bigg (} {frac {p} {q}} {Bigg)} _ {4} {Bigg (} {frac {q} {p}} {Bigg)} _ {4} = vlevo ({frac { 2} {q}} ight) ^ {s}.}$

Nechat str = 1 + 4X² buď připraven, ať A být libovolné liché číslo, které rozděluje Xa nechte ${displaystyle a ^ {*} = left (-1ight) ^ {frac {a-1} {2}} a.}$ Pak^[32] A^* je dvoukvadratický zbytek (mod str).

Nechat str = A² + 4b² = C² + 2d² ≡ 1 (mod 8) bude prime. Pak^[33] všichni dělitelé C⁴ − p a² jsou dvoukvadratické zbytky (mod str). Totéž platí pro všechny dělitele d⁴ − p b².

Gaussova celá čísla

Pozadí

Ve své druhé monografii o dvojkvadratické vzájemnosti Gauss uvádí některé příklady a vytváří domněnky, které implikují výše uvedené věty o dvojkvadratickém charakteru malých prvočísel. Uvádí několik obecných poznámek a připouští, že v práci neexistuje žádné zjevné obecné pravidlo. Dále říká

Věty o dvoukvadratických zbytcích se lesknou s největší jednoduchostí a ryzí krásou, pouze když je pole aritmetiky rozšířeno na imaginární čísla, takže bez omezení jsou čísla formuláře A + bi tvoří předmět studia ... nazýváme taková čísla integrální komplexní čísla.^[34] [tučně v originále]

Tato čísla se nyní nazývají prsten z Gaussova celá čísla, označeno Z[i]. Všimněte si, že i je čtvrtý kořen z 1.

V poznámce pod čarou dodává

Teorie kubických zbytků musí být podobným způsobem založena na zvážení čísel formy A + bh kde h je imaginární kořen rovnice h³ = 1 ... a podobně teorie zbytků vyšších sil vede k zavedení dalších imaginárních veličin.^[35]

Čísla vytvořená z krychle kořene jednoty se nyní nazývají prsten Eisensteinova celá čísla. „Dalšími imaginárními veličinami“ potřebnými pro „teorii zbytků vyšších sil“ jsou celá čísla z cyklomotická číselná pole; Gaussova a Eisensteinova celá čísla jsou jejich nejjednoduššími příklady.

Fakta a terminologie

Gauss rozvíjí aritmetickou teorii „celých komplexních čísel“ a ukazuje, že je docela podobná aritmetice běžných celých čísel.^[36] Zde byly do matematiky zavedeny pojmy jednotka, spolupracovník, norma a primární.

The Jednotky jsou čísla, která rozdělují 1.^[37] Jsou 1, i, -1 a -i. Jsou podobné 1 a -1 v běžných celých číslech, protože dělí každé číslo. Jednotky jsou pravomocí i.

Vzhledem k číslu λ = A + bi, své sdružené je A − bi a jeho spolupracovníci jsou čtyři čísla^[37]

λ = +A + bi

  iλ = -b + ai

−λ = -A − bi

−iλ = +b − ai

Pokud λ = A + bi, norma z λ, napsané Nλ, je číslo A² + b². Pokud λ a μ jsou dvě Gaussova celá čísla, Nλμ = Nλ Nμ; jinými slovy, norma je multiplikativní.^[37] Norma nula je nula, norma jakéhokoli jiného čísla je kladné celé číslo. ε je jednotka právě tehdy, když Nε = 1. Druhá odmocnina normy λ, nezáporné reálné číslo, které nemusí být Gaussovo celé číslo, je absolutní hodnotou lambda.

Gauss to dokazuje Z[i] je jedinečná faktorizační doména a ukazuje, že prvočísla spadají do tří tříd:^[38]

• 2 je speciální případ: 2 = i³ (1 + i)². Je to jediný prime in Z dělitelné čtvercem prvočísla v Z[i]. V algebraické teorii čísel se říká, že 2 se rozvětvuje Z[i].
• Pozitivní prvočísla v Z ≡ 3 (mod 4) jsou také prvočísla v Z[i]. V algebraické teorii čísel se říká, že tato prvočísla zůstávají inertní Z[i].
• Pozitivní prvočísla v Z ≡ 1 (mod 4) jsou součinem dvou konjugovaných prvočísel v Z[i]. V algebraické teorii čísel se říká, že se tato prvočísla rozdělují Z[i].

Inertní prvočísla jsou tedy 3, 7, 11, 19, ... a faktorizace dělených prvočísel je

 5 = (2 + i) × (2 − i),

13 = (2 + 3i) × (2 − 3i),

17 = (4 + i) × (4 − i),

29 = (2 + 5i) × (2 − 5i), ...

Přidružení a konjugát prvočísla jsou také prvočísla.

Všimněte si, že norma inertního prime q je Nq = q² ≡ 1 (mod 4); tedy norma všech prvočísel jiných než 1 + i a jeho spolupracovníci jsou ≡ 1 (mod 4).

Gauss zavolá na číslo Z[i] zvláštní pokud je jeho normou liché celé číslo.^[39] Tedy všechna prvočísla kromě 1 + i a jeho spolupracovníci jsou lichí. Součin dvou lichých čísel je lichý a konjugát a asociace lichého čísla jsou liché.

Abychom mohli uvést teorém o jedinečné faktorizaci, je nutné mít způsob, jak rozlišit jednoho ze spolupracovníků čísla. Gauss definuje^[40] liché číslo hlavní pokud je ≡ 1 (mod (1 + i)³). Je jednoduché ukázat, že každé liché číslo má právě jednoho primárního spolupracovníka. Liché číslo λ = A + bi je primární, pokud A + b ≡ A − b ≡ 1 (mod 4); tj., A ≡ 1 a b ≡ 0 nebo A ≡ 3 a b ≡ 2 (mod 4).^[41] Součin dvou primárních čísel je primární a konjugát primárního čísla je také primární.

Unikátní faktorizační věta^[42] pro Z[i] je: pokud λ ≠ 0, pak

${displaystyle lambda = i ^ {mu} (1 + i) ^ {u} pi _ {1} ^ {alpha _ {1}} pi _ {2} ^ {alpha _ {2}} pi _ {3} ^ {alpha _ {3}} tečky}$

kde 0 ≤ μ ≤ 3, ν ≥ 0, π_is jsou primární prvočísla a α_is ≥ 1 a toto vyjádření je jedinečné, až do pořadí faktorů.

Pojmy shoda^[43] a největší společný dělitel^[44] jsou definovány stejným způsobem v Z[i] jako jsou pro běžná celá čísla Z. Protože jednotky rozdělují všechna čísla, kongruence (mod λ) je také pravdivá modulo libovolného spolupracovníka λ a jakýkoli spolupracovník GCD je také GCD.

Charakter křemenného zbytku

Gauss dokazuje analogii Fermatova věta: pokud α není dělitelné lichým prvočíslem π, pak^[45]

${displaystyle alpha ^ {Npi -1} ekvivalent 1 {pmod {pi}}}$

Protože Nπ ≡ 1 (mod 4), ${displaystyle alpha ^ {frac {Npi -1} {4}}}$ dává smysl a ${displaystyle alpha ^ {frac {Npi -1} {4}} ekvivalent i ^ {k} {pmod {pi}}}$ pro jedinečnou jednotku i^k.

Tato jednotka se nazývá kvartální nebo dvojkvadratický zbytek α (mod π) a je označen^[46][47]

${displaystyle left [{frac {alpha} {pi}} ight] = i ^ {k} ekvivalent alfa ^ {frac {Npi -1} {4}} {pmod {pi}}.}$

Má formální vlastnosti podobné těm z Legendární symbol.^[48]

Shoda ${displaystyle x ^ {4} ekvivalent alfa {pmod {pi}}}$ je řešitelný v Z[i] právě tehdy${displaystyle left [{frac {alpha} {pi}} ight] = 1.}$^[49]

${displaystyle {Bigg [} {frac {alpha eta} {pi}} {Bigg]} = {Bigg [} {frac {alpha} {pi}} {Bigg]} {Bigg [} {frac {eta} {pi} } {Bigg]}}$

${displaystyle {overline {{Bigg [} {frac {alpha} {pi}} {Bigg]}}} = {Bigg [} {frac {overline {alpha}} {overline {pi}}} {Bigg]}}$ kde sloupec označuje komplexní konjugace.

pokud π a θ jsou společníci,${displaystyle {Bigg [} {frac {alpha} {pi}} {Bigg]} = {Bigg [} {frac {alpha} {heta}} {Bigg]}}$

pokud α ≡ β (mod π),${displaystyle {Bigg [} {frac {alpha} {pi}} {Bigg]} = {Bigg [} {frac {eta} {pi}} {Bigg]}}$

Bikvadratický znak lze ve „jmenovateli“ rozšířit na lichá složená čísla stejným způsobem, jako je symbol Legendre zobecněn na Jacobi symbol. Stejně jako v tom případě, pokud je „jmenovatel“ složený, může se symbol rovnat jednomu, aniž by byla kongruence řešitelná:

${displaystyle left [{frac {alpha} {lambda}} ight] = left [{frac {alpha} {pi _ {1}}} ight] ^ {alpha _ {1}} left [{frac {alpha} {pi _ {2}}} ight] ^ {alpha _ {2}} tečky}$ kde${displaystyle lambda = pi _ {1} ^ {alpha _ {1}} pi _ {2} ^ {alpha _ {2}} pi _ {3} ^ {alpha _ {3}} tečky}$

Li A a b jsou obyčejná celá čísla, A ≠ 0, |b| > 1, gcd (A, b) = 1, tedy^[50]    ${displaystyle left [{frac {a} {b}} ight] = 1.}$

Výroky věty

Gauss uvedl zákon dvojkvadratické vzájemnosti v této podobě:^[2][51]

Nechť π a θ jsou odlišné primární prvočísla Z[i]. Pak

pokud buď π nebo θ nebo oba jsou ≡ 1 (mod 4), pak ${displaystyle {Bigg [} {frac {pi} {heta}} {Bigg]} = left [{frac {heta} {pi}} ight],}$ ale

jestliže π a θ jsou ≡ 3 + 2i (mod 4), pak ${displaystyle {Bigg [} {frac {pi} {heta}} {Bigg]} = - left [{frac {heta} {pi}} ight].}$

Stejně jako zákon kvadratické vzájemnosti pro symbol Legendre platí i pro symbol Jacobi, není požadavek, aby čísla byla prvočíslem, nutný; stačí, že jsou to liché relativně primární jednotky.^[52] Pravděpodobně nejznámější výrok je:

Nechť π a θ jsou primární relativně primární jednotky. Pak^[53]

${displaystyle {Bigg [} {frac {pi} {heta}} {Bigg]} vlevo [{frac {heta} {pi}} ight] ^ {- 1} = (- 1) ^ {{frac {Npi -1 } {4}} {frac {N heta -1} {4}}}.}$

Existují doplňující věty^[54][55] pro jednotky a poloviční i prime 1 + i.

pokud π = A + bi je tedy primární prime

${displaystyle {Bigg [} {frac {i} {pi}} {Bigg]} = i ^ {- {frac {a-1} {2}}}, ;;; {Bigg [} {frac {1 + i } {pi}} {Bigg]} = i ^ {frac {ab-1-b ^ {2}} {4}},}$

a tudíž

${displaystyle {Bigg [} {frac {-1} {pi}} {Bigg]} = (- 1) ^ {frac {a-1} {2}}, ;;; {Bigg [} {frac {2} {pi}} {Bigg]} = i ^ {- {frac {b} {2}}}.}$

Také pokud π = A + bi je primární prime, a b Then 0 potom^[56]

${displaystyle {Bigg [} {frac {overline {pi}} {pi}} {Bigg]} = {Bigg [} {frac {-2} {pi}} {Bigg]} (- 1) ^ {frac {a ^ {2} -1} {8}}}$ (li b = 0 symbol je 0).

Jacobi definoval π = A + bi být primární, pokud A ≡ 1 (mod 4). S touto normalizací má zákon formu^[57]

Nechť α = A + bi a β = C + di kde A ≡ C ≡ 1 (mod 4) a b a d jsou dokonce relativně prvotřídními jednotkami. Pak

${displaystyle left [{frac {alpha} {eta}} ight] left [{frac {eta} {alpha}} ight] ^ {- 1} = (- 1) ^ {frac {bd} {4}}}$

Následující verze byla nalezena v Gaussových nepublikovaných rukopisech.^[58]

Nechť α = A + 2bi a β = C + 2di kde A a C jsou liché být relativně prvočíselné jednotky. Pak

${displaystyle left [{frac {alpha} {eta}} ight] left [{frac {eta} {alpha}} ight] ^ {- 1} = (- 1) ^ {bd + {frac {a-1} {2 }} d + {frac {c-1} {2}} b}, ;;;; vlevo [{frac {1 + i} {alpha}} ight] = i ^ {{frac {b (a-3b)} {2}} - {frac {a ^ {2} -1} {8}}}}$

Zákon lze konstatovat bez použití konceptu primárního:

Pokud je λ liché, nechť ε (λ) je jedinečná jednotka shodná s λ (mod (1 + i)³); tj. ε (λ) = i^k ≡ λ (mod 2 + 2i), kde 0 ≤ k ≤ 3. Potom^[59] pro liché a relativně prvočíselné α a β, ani jedna jednotka,

${displaystyle left [{frac {alpha} {eta}} ight] left [{frac {eta} {alpha}} ight] ^ {- 1} = (- 1) ^ {{frac {Nalpha -1} {4} } {frac {N eta -1} {4}}} epsilon (alfa) ^ {frac {N eta -1} {4}} epsilon (eta) ^ {frac {Nalpha -1} {4}}}$

Pro liché λ, nechť ${displaystyle lambda ^ {*} = (- 1) ^ {frac {Nlambda -1} {4}} lambda.}$ Pokud jsou pak λ a μ relativně primární jednotky, prokázal Eisenstein^[60]

${displaystyle left [{frac {lambda} {mu}} ight] = {Bigg [} {frac {mu ^ {*}} {lambda}} {Bigg]}.}$

Viz také

• Kvadratická vzájemnost
• Kubická vzájemnost
• Octická vzájemnost
• Eisensteinova vzájemnost
• Artin vzájemnost

Poznámky

• A.^ Zde „racionální“ znamená zákony, které jsou uvedeny ve smyslu běžných celá čísla spíše než z hlediska celých čísel některých algebraické číslo pole.

Reference

Literatura

Odkazy na původní práce Eulera, Dirichleta a Eisensteina byly zkopírovány z bibliografií od Lemmermeyera a Coxe a nebyly použity při přípravě tohoto článku.

Euler

• Euler, Leonhard (1849), Tractatus de numeroroum doctrina capita sedecim quae supersunt, Komentář. Aritmetika. 2

Toto bylo ve skutečnosti napsáno 1748–1750, ale bylo publikováno až posmrtně; Je ve svazku V, str. 182–283 z

• Euler, Leonhard (1911–1944), Opera Omnia, řada prima, svazky I – V, Lipsko a Berlín: Teubner

Gauss

Dvě monografie Gauss publikované o dvojkvadratické vzájemnosti mají postupně očíslované oddíly: první obsahuje §§ 1–23 a druhá §§ 24–76. Poznámky pod čarou, které na ně odkazují, mají tvar „Gauss, BQ, § nPoznámky pod čarou odkazující na Disquisitiones Arithmeticae mají formu „Gauss, DA, čl. n".

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima, Göttingen: Komentář. Soc. regiae sci, Göttingen 6

• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda, Göttingen: Komentář. Soc. regiae sci, Göttingen 7

Ty jsou v Gaussově Werke, Sv. II, str. 65–92 a 93–148

Německé překlady jsou uvedeny na str. 511–533 a 534–586 následujících textů, které rovněž obsahují Disquisitiones Arithmeticae a další Gaussovy články o teorii čísel.

• Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (překladatel do němčiny) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae a další články o teorii čísel) (druhé vydání), New York: Chelsea, ISBN  0-8284-0191-8

Eisenstein

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844), Lois de réciprocité (PDF)J. Reine Angew. Matematika. 28, str. 53–67 (Crelle's Journal)

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844), Einfacher Beweis und Verallgemeinerung des Fundamentaltheems pro biquadratischen ResteJ. Reine Angew. Matematika. 28 s. 223–245 (Crelle's Journal)

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1845), Aplikace de l'algèbre à l'arithmétique transcendanteJ. Reine Angew. Matematika. 29 s. 177–184 (Crelle's Journal)

• Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1846), Beiträge zur Theorie der elliptischen Funktionen I: Ableitung des biquadratischen Fundamentation theorems aus der Theorie der Lemniskatenfunctionen, nebst Bemerkungen zu den Multiplications- und TransformationsformelnJ. Reine Angew. Matematika. 30 s. 185–210 (Crelle's Journal)

Všechny tyto dokumenty jsou v jeho svazku I. Werke.

Dirichlet

• Dirichlet, Pierre Gustave LeJeune (1832), Démonstration d'une propriété analogue à la loi de Réciprocité qui existe entre deux nombres premiers quelconquesJ. Reine Angew. Matematika. 9 s. 379–389 (Crelle's Journal)

• Dirichlet, Pierre Gustave LeJeune (1833), Untersuchungen über die Theorie der quadratischen Formen, Abh. Königl. Preuss. Akad. Wiss. 101–121

oba jsou v jeho svazku I. Werke.

Moderní autoři

• Cox, David A. (1989), Prvočísla tvaru x² + n y², New York: Wiley, ISBN  0-471-50654-0

• Irsko, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Klasický úvod do moderní teorie čísel (druhé vydání), New York: Springer, ISBN  0-387-97329-X

• Lemmermeyer, Franz (2000), Zákony o vzájemnosti: od Eulera po Eisenstein, Berlín: Springer, doi:10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN  3-540-66957-4

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Bikvadratická věta o vzájemnosti“. MathWorld.

Tyto dva dokumenty Franze Lemmermeyera obsahují důkazy o Burdeově zákoně a souvisejících výsledcích:

• Racionální kvartální vzájemnost
• Racionální kvartální vzájemnost II