Hilbertův symbol - Hilbert symbol

v matematika, Hilbertův symbol nebo symbol zbytku normy je funkce (-, -) z K.^× × K.^× do skupiny nth kořeny jednoty v a místní pole K. jako jsou pole skutečné nebo p-adic čísla . Souvisí to s zákony o vzájemnosti, a lze jej definovat z hlediska Artin symbol z teorie místní třídy pole. Symbol Hilberta představil David Hilbert  (1897, oddíly 64, 131, 1998, Anglický překlad) v jeho Zahlbericht, s drobným rozdílem, že to definoval pro prvky globálních polí, spíše než pro větší místní pole.

Symbol Hilberta byl zobecněn na vyšší místní pole.

Kvadratický Hilbertův symbol

Přes místní pole K. jehož multiplikativní skupina nenulových prvků je K.^×, kvadratický Hilbertův symbol je funkce (-, -) z K.^× × K.^× do {−1,1} definované

${displaystyle (a, b) = {egin {cases} +1, & {mbox {if}} z ^ {2} = ax ^ {2} + od ^ {2} {mbox {má nenulové řešení} } (x, y, z) v K ^ {3}; - 1, & {mbox {jinak.}} konec {případů}}}$

Ekvivalentně ${displaystyle (a, b) = 1}$ kdyby a jen kdyby ${displaystyle b}$ se rovná norma prvku kvadratické extenze ${displaystyle K [{sqrt {a}}]}$^{[1] strana 109}.

Vlastnosti

Následující tři vlastnosti vyplývají přímo z definice výběrem vhodných řešení výše uvedené diofantické rovnice:

• Li A je čtverec, pak (A, b) = 1 pro všechny b.
• Pro všechny A,b v K.^×, (A, b) = (b, A).
• Pro všechny A v K.^× takhle A−1 je také v K.^×, my máme (A, 1−A) = 1.

(Bi) multiplikativita, tj.

(A, b₁b₂) = (A, b₁)·(A, b₂)

pro všechny A, b₁ a b₂ v K.^× je však obtížnější prokázat a vyžaduje vývoj místní teorie pole.

Třetí vlastnost ukazuje, že symbol Hilberta je příkladem a Steinbergův symbol a tedy faktory v průběhu druhé Milnor K-skupina ${displaystyle K_ {2} ^ {M} (K)}$, což je podle definice

K.^× ⊗ K.^× / (A ⊗ (1−A), A ∈ K.^× {1})

U první vlastnosti se dokonce převyšuje ${displaystyle K_ {2} ^ {M} (K) / 2}$. Toto je první krok k Milnor domněnka.

Interpretace jako algebra

Symbol Hilberta lze také použít k označení centrální jednoduchá algebra přes K. se základem 1,i,j,k a pravidla násobení ${displaystyle i ^ {2} = a}$, ${displaystyle j ^ {2} = b}$, ${displaystyle ij = -ji = k}$. V tomto případě algebra představuje prvek řádu 2 v Brauerova skupina z K., který je identifikován s -1, pokud se jedná o dělení algebry, a +1, pokud je izomorfní s algebrou 2 o 2 matice.

Hilbertovy symboly nad racionálními

Pro místo proti z pole racionálního čísla a racionální čísla A, b necháme (A, b)_proti označte hodnotu symbolu Hilberta v odpovídajícím dokončení Q_proti. Jako obvykle, pokud proti je ocenění spojené s prvočíslem p příslušným dokončením je p-adické pole a pokud proti je nekonečné místo, pak dokončení je reálné číslo pole.

Přes realitu, (A, b)_∞ je +1, pokud alespoň jeden z A nebo b je kladné a −1, pokud jsou oba záporné.

Přes p-adics s p zvláštní, psaní ${displaystyle a = p ^ {alpha} u}$ a ${displaystyle b = p ^ {eta} v}$, kde u a proti jsou celá čísla coprime na p, my máme

${displaystyle (a, b) _ {p} = (- 1) ^ {alpha eta epsilon (p)} vlevo ({frac {u} {p}} ight) ^ {eta} vlevo ({frac {v} { p}} ight) ^ {alpha}}$, kde ${displaystyle epsilon (p) = (p-1) / 2}$

a výraz zahrnuje dva Legendární symboly.

Přes 2-adics, opět psaní ${displaystyle a = 2 ^ {alpha} u}$ a ${displaystyle b = 2 ^ {eta} v}$, kde u a proti jsou lichá čísla, my máme

${displaystyle (a, b) _ {2} = (- 1) ^ {epsilon (u) epsilon (v) + alfa omega (v) + eta omega (u)}}$, kde ${displaystyle omega (x) = (x ^ {2} -1) / 8.}$

Je známo, že pokud proti se pohybuje na všech místech, (A, b)_proti je 1 pro téměř všechna místa. Proto následující vzorec produktu

${displaystyle prod _ {v} (a, b) _ {v} = 1}$

dává smysl. Je to ekvivalent k zákonu kvadratická vzájemnost.

Kaplansky radikál

Symbol Hilberta na poli F definuje mapu

${displaystyle (cdot, cdot): F ^ {*} / F ^ {* 2} imes F ^ {*} / F ^ {* 2} ightarrow mathop {Br} (F)}$

kde Br (F) je Brauerova skupina F. Jádro tohoto mapování, prvky A takový, že (A,b) = 1 pro všechny b, je Kaplansky radikál z F.^[2]

Radikál je podskupinou F^*/F^*2, identifikovaný s podskupinou F^*. Radikál se rovná F^* kdyby a jen kdyby F má u-invariantní maximálně 2.^[3] V opačném směru pole s radikálem F^*2 se nazývá a Hilbertovo pole.^[4]

Obecný Hilbertův symbol

Li K. je místní pole obsahující skupinu nth kořeny jednoty pro nějaké kladné celé číslo n připravit na charakteristiku K., potom je Hilbertův symbol (,) funkcí z K.*×K.* až μ_n. Pokud jde o symbol Artin, lze jej definovat pomocí^[5]

${displaystyle (a, b) {sqrt [{n}] {b}} = (a, K ({sqrt [{n}] {b}}) / K) {sqrt [{n}] {b}} }$

Hilbert původně definoval Hilbertův symbol před objevením Artinova symbolu a jeho definice (pro n prime) použil symbol zbytkového výkonu, když K. má zbytkovou charakteristiku coprime do n, a bylo to docela komplikované, když K. má zbytkové charakteristické dělení n.

Vlastnosti

Symbol Hilberta je (multiplikativně) bilineární:

(ab,C) = (A,C)(b,C)

(A,před naším letopočtem) = (A,b)(A,C)

zkosení symetrické:

(A,b) = (b,A)⁻¹

nedegenerovat:

(A,b) = 1 pro všechny b kdyby a jen kdyby A je v K.*ⁿ

Detekuje normy (odtud název zbytku normy):

(A,b) = 1 právě tehdy A je normou prvku v K.(ⁿ√b)

Má to "symbol" vlastnosti:

(A,1–A)=1, (A, –A) = 1.

Hilbertův zákon o vzájemnosti

Hilbertův zákon o vzájemnosti stanoví, že pokud A a b jsou v algebraickém číselném poli obsahujícím npak kořeny jednoty^[6]

${displaystyle prod _ {p} (a, b) _ {p} = 1}$

kde je produkt nad konečnými a nekonečnými prvočísly p číselného pole a kde (,)_p je Hilbertův symbol dokončení v p. Hilbertův zákon o vzájemnosti vyplývá z Artin zákon o vzájemnosti a definice Hilbertova symbolu ve smyslu Artinova symbolu.

Symbol zbytkové síly

Li K. je číselné pole obsahující nth kořeny jednoty, p je prvotřídní ideál, který se nedělí n, π je prvkem místního pole p, a A je coprime p, pak symbol zbytkové síly (^A
_p) souvisí se symbolem Hilberta od^[7]

${displaystyle {jin {a} {p}} = (pi, a) _ {p}}$

Symbol zbytku energie je rozšířen na zlomkové ideály pomocí multiplikativity a je definován pro prvky pole čísel uvedením (^A
_b)=(^A
_(b)) kde (b) je hlavní ideál generovaný b.Hilbertův zákon o vzájemnosti pak implikuje následující zákon o vzájemnosti pro symbol zbytku, pro A a b připravte se navzájem a n:

${displaystyle {iný {a} {b}} = {iný {b} {a}} prod _ {p | n, infty} (a, b) _ {p}}$

Viz také

• Azumaya algebra

externí odkazy

• "Symbol zbytku normy", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• HilbertSymbol na Mathworld

Reference

• Borevich, Z. I.; Shafarevich, I. R. (1966), Teorie číselAkademický tisk, ISBN  0-12-117851-X, Zbl  0145.04902
• Hilbert, David (1897), „Die Theorie der algebraischen Zahlkörper“, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (v němčině), 4: 175–546, ISSN  0012-0456
• Hilbert, David (1998), Teorie algebraických číselných polí, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62779-1, PAN  1646901
• Lam, Tsit-Yuen (2005), Úvod do kvadratických forem nad poli, Postgraduální studium matematiky, 67, Americká matematická společnost, ISBN  0-8218-1095-2, Zbl  1068.11023
• Milnor, John Willard (1971), Úvod do algebraiky K.-teorie, Annals of Mathematics Studies, 72, Princeton University Press, PAN  0349811, Zbl  0237.18005
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraická teorie číselGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322„Přeložil z němčiny Norbert Schappacher, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  3-540-65399-6, Zbl  0956.11021
• Serre, Jean-Pierre (1996), Kurz aritmetiky, Postgraduální texty z matematiky, 7, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-90040-5, Zbl  0256.12001
• Vostokov, S. V .; Fesenko, I. B. (2002), Místní pole a jejich rozšíření Překlady matematických monografií, 121„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-3259-2, Zbl  1156.11046