Eisensteinova vzájemnost

v algebraická teorie čísel Eisensteinův zákon o vzájemnosti je zákon o vzájemnosti který rozšiřuje zákon kvadratické vzájemnosti a kubický zákon vzájemnosti na zbytky vyšších sil. Je to jeden z prvních a nejjednodušších zákonů o vyšší vzájemnosti a je důsledkem několika pozdějších a silnějších zákonů o vzájemnosti, jako je Artin zákon o vzájemnosti. To bylo představeno Eisenstein (1850 ), ačkoli Jacobi předtím oznámil (bez důkazů) podobný výsledek pro zvláštní případy 5., 8. a 12. moci v roce 1839.^[1]

Pozadí a notace

Nechat ${ displaystyle m> 1}$ být celé číslo a nechat ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {m}}$ být kruh celých čísel z m-th cyklotomické pole ${ displaystyle mathbb {Q} ( zeta _ {m}),}$ kde ${ displaystyle zeta _ {m} = e ^ {2 pi i { frac {1} {m}}}}$ je primitivní m-tý kořen jednoty.

Čísla ${ displaystyle zeta _ {m}, zeta _ {m} ^ {2}, tečky zeta _ {m} ^ {m} = 1}$ jsou Jednotky v ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {m}.}$ (Existují ostatní jednotky také.)

Primární čísla

Číslo ${ displaystyle alpha in { mathcal {O}} _ {m}}$ je nazýván hlavní^[2]^[3] pokud to není jednotka, je relativně prime na ${ displaystyle m}$ , a je v souladu s racionálním (tj. v ${ displaystyle mathbb {Z}}$ ) celé číslo ${ displaystyle { pmod {(1- zeta _ {m}) ^ {2}}}.}$

Následující lemma^[4]^[5] ukazuje, že primární čísla v ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {m}}$ jsou analogická kladným celým číslům v ${ displaystyle mathbb {Z}.}$

Předpokládejme to ${ displaystyle alpha, beta in { mathcal {O}} _ {m}}$ a to obojí ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ jsou relativně nejlepší ${ displaystyle m.}$ Pak

Existuje celé číslo ${ displaystyle c}$ tvorba ${ displaystyle zeta _ {m} ^ {c} alfa}$ hlavní. Toto celé číslo je jedinečné ${ displaystyle { pmod {m}}.}$
-li ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ jsou tedy primární ${ displaystyle alpha pm beta}$ je primární za předpokladu, že ${ displaystyle alpha pm beta}$ je coprime s ${ displaystyle m}$ .
-li ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ jsou tedy primární ${ displaystyle alpha beta}$ je primární.
${ displaystyle alpha ^ {m}}$ je primární.

Význam ${ displaystyle 1- zeta _ {m}}$ který se objeví v definici, je nejsnadněji vidět, když ${ displaystyle m = l}$ je prime. V tom případě ${ displaystyle l = (1- zeta _ {l}) (1- zeta _ {l} ^ {2}) tečky (1- zeta _ {l} ^ {l-1}).}$ Navíc, hlavní ideál ${ displaystyle (l)}$ z ${ displaystyle mathbb {Z}}$ je zcela rozvětvený ${ displaystyle mathbb {Q} ( zeta _ {l})}$
${ displaystyle (l) = (1- zeta _ {l}) ^ {l-1},}$
a ideální ${ displaystyle (1- zeta _ {l})}$ je první stupeň.^[6]^[7]

m-tý symbol zbytku energie

Pro ${ displaystyle alpha, beta in { mathcal {O}} _ {m},}$ the m-tý symbol zbytku energie pro ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {m}}$ je buď nula, nebo m-tý kořen jednoty:

{ displaystyle left ({ frac { alpha} { beta}} right) _ {m} = { begin {cases} zeta { mbox {where}} zeta ^ {m} = 1 & { mbox {if}} alpha { mbox {a}} beta { mbox {jsou relativně prestižní}} 0 & { mbox {jinak}}. end {případy}}}

To je m-tá výkonová verze klasické (kvadratická, m = 2) Jacobi symbol (za předpokladu ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$ jsou relativně nejlepší):

Li ${ displaystyle eta in { mathcal {O}} _ {m}}$ a ${ displaystyle alpha equiv eta ^ {m} { pmod { beta}}}$ pak ${ displaystyle left ({ frac { alpha} { beta}} right) _ {m} = 1.}$
Li ${ displaystyle left ({ frac { alpha} { beta}} right) _ {m} neq 1}$ pak ${ displaystyle alpha}$ není m-tá síla ${ displaystyle { pmod { beta}}.}$
Li ${ displaystyle left ({ frac { alpha} { beta}} right) _ {m} = 1}$ pak ${ displaystyle alpha}$ může, ale nemusí být m-tá síla ${ displaystyle { pmod { beta}}.}$

Výrok věty

Nechat ${ displaystyle m in mathbb {Z}}$ být lichý prime a ${ displaystyle a in mathbb {Z}}$ celé číslo relativně prime na ${ displaystyle m.}$ Pak

První doplněk

{ displaystyle left ({ frac { zeta _ {m}} {a}} right) _ {m} = zeta _ {m} ^ { frac {a ^ {m-1} -1} {m}}.}

^[8]

Druhý dodatek

{ displaystyle left ({ frac {1- zeta _ {m}} {a}} right) _ {m} = left ({ frac { zeta _ {m}} {a}} vpravo) _ {m} ^ { frac {m-1} {2}}.}

^[8]

Nechat ${ displaystyle alpha in { mathcal {O}} _ {m}}$ být primární (a tedy relativně primární) ${ displaystyle m}$ ), a předpokládejme, že ${ displaystyle alpha}$ je také relativně hlavní ${ displaystyle a}$ . Pak^[8]^[9]

{ displaystyle left ({ frac { alpha} {a}} right) _ {m} = left ({ frac {a} { alpha}} right) _ {m}.}

Důkaz

Věta je důsledkem Stickelbergerův vztah.^[10]^[11]

Weil (1975) podává historickou diskusi o některých zákonech o rané vzájemnosti, včetně důkazu o Eisensteinově zákonu pomocí Gaussových a Jacobiho součtů, který je založen na původním Eisensteinově důkazu.

Zobecnění

V roce 1922 Takagi dokázal, že pokud ${ displaystyle K supset mathbb {Q} ( zeta _ {l})}$ je libovolný algebraické číslo pole obsahující ${ displaystyle l}$ -té kořeny jednoty pro prvočíslo ${ displaystyle l}$ , pak Eisensteinův zákon pro ${ displaystyle l}$ -tá moc drží ${ displaystyle K.}$ ^[12]

Aplikace

První případ Fermatovy poslední věty

Předpokládat, že ${ displaystyle p}$ je liché prvočíslo ${ displaystyle x ^ {p} + y ^ {p} + z ^ {p} = 0 ; ;}$ pro párová relativně primární celá čísla (tj. v ${ displaystyle mathbb {Z}}$ ) ${ displaystyle x, y, z}$ a to ${ displaystyle p nmid xyz. ; ;}$

To je první případ Fermatovy poslední věty. (Druhý případ je, když ${ displaystyle p mid xyz. ;}$ ) Eisensteinovu vzájemnost lze použít k prokázání následujících vět

(Wieferich 1909)^[13]^[14] Za výše uvedených předpokladů ${ displaystyle 2 ^ {p-1} equiv 1 { pmod {p ^ {2}}}. ; ;}$

Jediné prvočísla pod 6,7 × 10¹⁵ které to splňují, jsou 1093 a 3511. Viz Wieferich připravuje pro podrobnosti a aktuální záznamy.

(Mirimanoff 1911)^[15] Za výše uvedených předpokladů ${ displaystyle 3 ^ {p-1} equiv 1 { pmod {p ^ {2}}}.}$

Analogické výsledky platí pro všechna prvočísla ≤ 113, ale důkaz nepoužívá Eisensteinův zákon. Vidět Wieferich prime # Spojení s Fermatovou poslední větou.

(Furtwängler 1912)^[16]^[17] Za výše uvedených předpokladů platí, že pro každé prvočíslo ${ displaystyle r mid x, ; ; ; r ^ {p-1} equiv 1 { pmod {p ^ {2}}}.}$

(Furtwängler 1912)^[18] Za výše uvedených předpokladů platí, že pro každé prvočíslo ${ displaystyle r mid (x-y), ; ; ; r ^ {p-1} equiv 1 { pmod {p ^ {2}}}.}$

(Vandiver)^[19] Za výše uvedených předpokladů, pokud navíc ${ displaystyle p> 3,}$ pak ${ displaystyle x ^ {p} equiv x, ; y ^ {p} equiv y}$ a ${ displaystyle z ^ {p} equiv z { pmod {p ^ {3}}}.}$

Powers mod většina prvočísel

Eisensteinův zákon lze použít k prokázání následující věty (Trost, Ankeny, Rogersi ).^[20] Předpokládat ${ displaystyle a in mathbb {Z}}$ a to ${ displaystyle l nmid a}$ kde ${ displaystyle l}$ je zvláštní prime. Li ${ displaystyle x ^ {l} equiv a { pmod {p}}}$ je řešitelný pro všechny, ale konečně mnoho prvočísel ${ displaystyle p}$ pak ${ displaystyle a = b ^ {l}.}$

Viz také

Poznámky

^ Lemmermeyer, str. 392.
^ Ireland & Rosen, ch. 14.2
^ Lemmermeyer, ch. 11.2, používá termín poloprimární.
^ Irsko a Rosen, lemma v kap. 14.2 (pouze první tvrzení)
^ Lemmereyer, lemma 11.6
^ Irsko a Rosen, rekvizita 13.2.7
^ Lemmermeyer, prop. 3.1
^ ^A ^b ^C Lemmermeyer, thm. 11.9
^ Ireland & Rosen, ch. 14 tis. 1
^ Ireland & Rosen, ch. 14.5
^ Lemmermeyer, ch. 11.2
^ Lemmermeyer, ch. 11 poznámek
^ Lemmermeyer, ex. 11,33
^ Irsko a Rosen, th. 14.5
^ Lemmermeyer, ex. 11,37
^ Lemmermeyer, ex. 11,32
^ Irsko a Rosen, th. 14.6
^ Lemmermeyer, ex. 11,36
^ Irsko a Rosen, poznámky k ch. 14
^ Ireland & Rosen, ch. 14,6, thm. 4. Toto je součást obecnější věty: Předpokládejme ${ displaystyle x ^ {n} equiv a { pmod {p}}}$ pro všechny ale konečně mnoho prvočísel ${ displaystyle p.}$ Pak i) pokud ${ displaystyle 8 nmid n}$ pak ${ displaystyle a = b ^ {n}}$ ale ii) pokud ${ displaystyle 8 | n}$ pak ${ displaystyle a = b ^ {n}}$ nebo ${ displaystyle a = 2 ^ { frac {n} {2}} b ^ {n}.}$

Reference

Eisenstein, Gotthold (1850), "Beweis der allgemeinsten Reciprocitätsgesetze zwischen reellen und komplexen Zahlen", Verhandlungen der Königlich Preußische Akademie der Wissenschaften zu Berlin (v němčině): 189–198, přetištěno v Mathematische Werke, svazek 2, strany 712–721
Irsko, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Klasický úvod do moderní teorie čísel (druhé vydání), New York: Springer Science + Business Media, ISBN 0-387-97329-X

Lemmermeyer, Franz (2000), Zákony o vzájemnosti: od Eulera po Eisenstein, Berlín: Springer Science + Business Media, ISBN 3-540-66957-4

Weil, André (1975), „La cyklotomie jadis et naguère“, Séminaire Bourbaki, sv. 1973/1974, 26ème année, Exp. Č. 452, Přednášky v matematice, 431, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 318–338, PAN 0432517

[1] Lemmermeyer, str. 392.

[2] Ireland & Rosen, ch. 14.2

[3] Lemmermeyer, ch. 11.2, používá termín poloprimární.

[4] Irsko a Rosen, lemma v kap. 14.2 (pouze první tvrzení)

[5] Lemmereyer, lemma 11.6

[6] Irsko a Rosen, rekvizita 13.2.7

[7] Lemmermeyer, prop. 3.1

[Lemmermeyer,_thm._11.9-8] A ^b ^C Lemmermeyer, thm. 11.9

[9] Ireland & Rosen, ch. 14 tis. 1

[10] Ireland & Rosen, ch. 14.5

[11] Lemmermeyer, ch. 11.2

[12] Lemmermeyer, ch. 11 poznámek

[13] Lemmermeyer, ex. 11,33

[14] Irsko a Rosen, th. 14.5

[15] Lemmermeyer, ex. 11,37

[16] Lemmermeyer, ex. 11,32

[17] Irsko a Rosen, th. 14.6

[18] Lemmermeyer, ex. 11,36

[19] Irsko a Rosen, poznámky k ch. 14

[20] Ireland & Rosen, ch. 14,6, thm. 4. Toto je součást obecnější věty: Předpokládejme ${ displaystyle x ^ {n} equiv a { pmod {p}}}$ pro všechny ale konečně mnoho prvočísel ${ displaystyle p.}$ Pak i) pokud ${ displaystyle 8 nmid n}$ pak ${ displaystyle a = b ^ {n}}$ ale ii) pokud ${ displaystyle 8 | n}$ pak ${ displaystyle a = b ^ {n}}$ nebo ${ displaystyle a = 2 ^ { frac {n} {2}} b ^ {n}.}$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]