Stark – Heegnerova věta - Stark–Heegner theorem

v teorie čísel, Baker – Heegner – Starkova věta^[1] přesně stanoví, které kvadratická imaginární pole čísel připustit jedinečná faktorizace v jejich kruh celých čísel. Řeší zvláštní případ Gaussova problém s číslem třídy stanovení počtu imaginárních kvadratických polí, která mají danou pevnou hodnotu číslo třídy.

Nechat Q označit množinu racionální čísla a nechte d být non-square celé číslo. Pak Q(√d) je konečné prodloužení z Q stupně 2, který se nazývá kvadratická extenze. The číslo třídy z Q(√d) je počet třídy ekvivalence z ideály kruhu celých čísel Q(√d), kde dva ideály Já a J jsou rovnocenné kdyby a jen kdyby existují hlavní ideály (A) a (b) takové, že (A)Já = (b)J. Tedy kruh celých čísel Q(√d) je hlavní ideální doména (a tedy a jedinečná faktorizační doména ) tehdy a jen v případě, že číslo třídy Q(√d) se rovná 1. Baker – Heegner – Starkovu větu lze potom vyjádřit následovně:

Li d <0, pak číslo třídy Q(√d) se rovná 1 právě tehdy

${ displaystyle d in {, - 1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163 , }.}$

Tito jsou známí jako Heegnerova čísla.

Tento seznam je také napsán a nahrazuje −1 s −4 a −2 s −8 (což nemění pole), jako:^[2]

${ displaystyle D = -3, -4, -7, -8, -11, -19, -43, -67, -163, ,}$

kde D je interpretován jako diskriminující (jeden z pole s číslem nebo eliptická křivka s komplexní násobení ). To je standardnější, protože D jsou tedy základní diskriminující.

Dějiny

Tento výsledek nejprve předpokládal Gauss v § 303 jeho Disquisitiones Arithmeticae (1798). Bylo to v zásadě prokázáno Kurt Heegner v roce 1952, ale Heegnerův důkaz měl určité drobné mezery a věta byla přijata až Harold Stark podal úplný důkaz v roce 1967, který měl mnoho společných rysů Heegnerovy práce, ale dostatečně mnoho rozdílů, které Stark považuje za důkazy odlišné.^[3] Heegner „zemřel dříve, než kdokoli skutečně pochopil, co udělal“.^[4] Stark formálně zaplnil mezeru v Heegnerově důkazu v roce 1969 (jiné současné práce produkovaly různé podobné důkazy pomocí modulárních funkcí, ale Stark se soustředil na výslovné vyplnění Heegnerovy mezery).^[5]

Alan Baker poskytl úplně jiný důkaz o něco dříve (1966) než Starkova práce (nebo přesněji Baker zredukoval výsledek na konečné množství výpočtu, přičemž tento výpočet již poskytl Starkova práce ve své diplomové práci z let 1963/4) a vyhrál Fields Medal pro jeho metody. Stark později poukázal na to, že Bakerův důkaz zahrnující lineární formy ve 3 logaritmech lze snížit na pouhé 2 logaritmy, když o výsledku věděli již od roku 1949 Gelfond a Linnik.^[6]

Starkova kniha z roku 1969 (Stark 1969a ) také citoval text z roku 1895 od Heinrich Martin Weber a poznamenal, že kdyby Weber „pouze uvedl, že redukovatelnost [určité rovnice] by vedla k a Diophantine rovnice, problém třídy číslo jedna by byl vyřešen před 60 lety “. Bryan Birch konstatuje, že Weberova kniha, a v podstatě celá oblast modulárních funkcí, na půl století upadla ze zájmu: „Bohužel v roce 1952 nezůstal nikdo, kdo by byl dostatečně odborný na Weberovu Algebra ocenit Heegnerův úspěch. “^[7]

Deuring, Siegel a Chowla všichni poskytli mírně odlišné důkazy od modulární funkce v bezprostředních letech po Starkovi.^[8] V průběhu let se objevily i další verze tohoto žánru. Například v roce 1985 poskytl Monsur Kenku důkaz pomocí Kleinova kvartika (i když opět s využitím modulárních funkcí).^[9] A znovu, v roce 1999, Imin Chen dal další variantní důkaz modulárními funkcemi (podle obrysu Siegela).^[10]

Práce Grossa a Zagiera (1986) (Gross & Zagier 1986 ) v kombinaci s Goldfeldem (1976) také poskytuje alternativní důkaz.^[11]

Skutečný případ

Na druhou stranu není známo, zda jich je nekonečně mnoho d > 0 pro které Q(√d) má číslo třídy 1. Výpočtové výsledky naznačují, že existuje mnoho takových polí. Pole s číslem jedna poskytuje seznam některých z nich.

Poznámky

Reference

• Birch, Bryan (2004), „Heegner Points: The Beginnings“, Publikace MSRI, 49: 1–10[1]
• Chen, Imin (1999), „Na Siegelově modulární křivce úrovně 5 a problému číslo jedna“, J. Teorie čísel, 74 (2): 278–297, doi:10.1006 / jnth.1998.2320
• Chowla, S. (1970), „Heegner – Stark – Baker – Deuring – Siegelova věta“, Crelle, 241: 47–48[2]
• Darmon, Henri (2004), „Předmluva k Body Heegner a Rankin L-Series", Publikace MSRI, 49: ix – xiii[3]
• Elkies, Noam D. (1999), „Kleinova kvartika v teorii čísel“ (PDF), v Levy, Silvio (ed.), Osminásobná cesta: Krása Kleinovy ​​kvartické křivky Publikace MSRI, 35, Cambridge University Press, s. 51–101, PAN  1722413
• Goldfeld, Dorian (1985), „Gaussův problém s číslem třídy pro imaginární kvadratická pole“, Bulletin of the American Mathematical Society, 13: 23–37, doi:10.1090 / S0273-0979-1985-15352-2, PAN  0788386
• Gross, Benedict H.; Zagier, Don B. (1986), „Heegnerovy body a deriváty řady L“, Inventiones Mathematicae, 84 (2): 225–320, doi:10.1007 / BF01388809, PAN  0833192.
• Heegner, Kurt (1952), „Diophantische Analysis und Modulfunktionen“ [Diophantine Analysis and Modular Functions], Mathematische Zeitschrift (v němčině), 56 (3): 227–253, doi:10.1007 / BF01174749, PAN  0053135
• Kenku, M. Q. (1985), „Poznámka k integrálním bodům modulární křivky úrovně 7“, Mathematika, 32: 45–48, doi:10.1112 / S0025579300010846, PAN  0817106
• Levy, Silvio, ed. (1999), Osminásobná cesta: Krása Kleinovy ​​kvartické křivky Publikace MSRI, 35, Cambridge University Press
• Stark, H. M. (1969a), „Na mezeru v Heegnerově větě“ (PDF), Žurnál teorie čísel, 1: 16–27, doi:10.1016 / 0022-314X (69) 90023-7
• Stark, H. M. (1969b), „Historická poznámka ke složitým kvadratickým polím s třídou číslo jedna.“, Proc. Amer. Matematika. Soc., 21: 254–255, doi:10.1090 / S0002-9939-1969-0237461-X
• Stark, H. M. (2011), Původ domněnek „Starka“, objevit se v Aritmetika L-funkcí[4]