Explicitní vzorce pro funkce L. - Explicit formulae for L-functions

v matematika, explicitní vzorce pro L-funkce jsou vztahy mezi součty přes nuly komplexního čísla L-funkce a součty přes hlavní mocniny, zavedené Riemann (1859) pro Funkce Riemann zeta. Tyto explicitní vzorce byly použity také na otázky týkající se ohraničení diskriminuje algebraické číselné pole a vodič číselného pole.

Riemannova explicitní formule

Ve svém příspěvku z roku 1859O počtu prvočísel menších než daná velikost "Riemann načrtl výslovný vzorec (plně prokázán byl až v roce 1895 von Mangoldt, viz níže) pro normalizovanou funkci počítání prime π₀(X) který souvisí s funkce počítání prvočísel π (X) podle

${ displaystyle pi _ {0} (x) = { frac {1} {2}} lim _ {h až 0} left [, pi (x + h) + pi (xh) ,že jo],,}$

který bere aritmetický průměr limitu zleva a limitu zprava při diskontinuitách.^[A] Jeho vzorec byl uveden z hlediska související funkce

${ displaystyle f (x) = pi _ {0} (x) + { frac {1} {2}} , pi _ {0} (x ^ {1/2}) + { frac { 1} {3}} , pi _ {0} (x ^ {1/3}) + cdots}$

ve kterém je hlavní síla pⁿ počítá se jako¹⁄_n prvočísla. Normalizovanou funkci počítání prime lze z této funkce obnovit pomocí

${ displaystyle pi _ {0} (x) = součet _ {n} { frac {1} {n}} , mu (n) , f (x ^ {1 / n}) = f (x) - { frac {1} {2}} , f (x ^ {1/2}) - { frac {1} {3}} , f (x ^ {1/3}) - { frac {1} {5}} , f (x ^ {1/5}) + { frac {1} {6}} , f (x ^ {1/6}) - cdots,}$

kde μ(n) je Möbiova funkce. Riemannova formule je tedy

${ displaystyle f (x) = operatorname {li} (x) - součet _ { rho} operatorname {li} (x ^ { rho}) - log (2) + int _ {x} ^ { infty} { frac { operatorname {d} t} {~ t , (t ^ {2} -1) ~ log (t) ~}}}$

zahrnující součet přes netriviální nuly ρ funkce Riemann zeta. Součet není absolutně konvergentní, ale lze je vyhodnotit pomocí nul v pořadí podle absolutní hodnoty jejich imaginární části. Funkce li vyskytující se v prvním semestru je (unoffset) logaritmická integrální funkce dané Hodnota Cauchyho jistiny divergentního integrálu

${ displaystyle operatorname {li} (x) = int _ {0} ^ {x} { frac { operatorname {d} t} {, log (t) ,}} ,.}$

Podmínky li (X^ρ) zapojení nul funkce zeta vyžaduje určitou opatrnost při jejich definici jako li má odbočné body na 0 a 1 a jsou definovány analytické pokračování ve složité proměnné ρ v oblasti X > 1 a Re(ρ) > 0. Ostatní nuly také odpovídají nulám: dominantní pojem li (X) pochází z pólu v s = 1, považovaný za nulu multiplicity −1, a zbývající malé členy pocházejí z triviálních nul. Tento vzorec říká, že nuly Riemannovy zeta funkce řídí oscilace prvočísel kolem jejich „očekávaných“ poloh. (Grafy součtu prvních několika termínů této řady viz Zagier 1977.)

První důsledný důkaz výše uvedeného vzorce podal von Mangoldt v roce 1895: začal důkazem následujícího vzorce pro Čebyševova funkce ψ ^[1]

${ displaystyle psi _ {0} (x) = { dfrac {1} {2 pi i}} int _ { sigma -i infty} ^ { sigma + i infty} vlevo (- { dfrac { zeta '(s)} { zeta (s)}} vpravo) { dfrac {x ^ {s}} {s}} operatorname {d} s = x- součet _ { rho} { frac {~ x ^ { rho} ,} { rho}} - log (2 pi) - { dfrac {1} {2}} log (1-x ^ {- 2 })}$

kde LHS je inverzní Mellinova transformace

${ Displaystyle quad sigma> 1 ,, quad psi (x) = součet _ {p ^ {k} leq x} log p ,, quad}$ a ${ displaystyle quad psi _ {0} (x) = { frac {1} {2}} lim _ {h až 0} ( psi (x + h) + psi (x-h))}$

a RHS se získává z věta o zbytku a poté jej převést na vzorec, který Riemann sám nakreslil.

Tato řada je také podmíněně konvergentní a součet nad nulami by se měl znovu brát ve vzestupném pořadí imaginární části:^[2]

${ displaystyle sum _ { rho} { frac {x ^ { rho}} { rho}} = lim _ {T rightarrow infty} S (x, T) quad}$ kde ${ displaystyle quad S (x, T) = součet _ { rho: | Im rho | leq T} { frac {x ^ { rho}} { rho}} ,}$.

Chyba při zkrácení částky na S(X,T) je vždy menší než ln (X) v absolutní hodnotě, a když se dělí přirozený logaritmus z X, má absolutní hodnotu menší než ​^X⁄_T děleno vzdáleností od X na nejbližší hlavní sílu.^[3]

Weilův explicitní vzorec

Existuje několik mírně odlišných způsobů, jak uvést explicitní vzorec. André Weil je forma výslovného vzorce

${ displaystyle { begin {seřazeno} & Phi (1) + Phi (0) - sum _ { rho} Phi ( rho) = {} & sum _ {p, m} { frac { log (p)} {p ^ {m / 2}}} { Big (} F ( log (p ^ {m})) + F (- log (p ^ {m})) { Big)} - { frac {1} {2 pi}} int _ {- infty} ^ { infty} varphi (t) Psi (t) , dt end {zarovnáno}} }$

kde

• ρ běží přes netriviální nuly funkce zeta
• p běží přes pozitivní prvočísla
• m běží přes kladná celá čísla
• F je plynulá funkce, jejíž deriváty se rychle snižují
• ${ displaystyle varphi}$ je Fourierova transformace F:

${ displaystyle varphi (t) = int _ {- infty} ^ { infty} F (x) e ^ {itx} , dx}$

• ${ displaystyle Phi (1/2 + to) = varphi (t)}$
• ${ displaystyle Psi (t) = - log ( pi) + operatorname {Re} ( psi (1/4 + it / 2))}$, kde ${ displaystyle psi}$ je funkce digamma Γ′/ Γ.

Zhruba řečeno, explicitní vzorec říká, že Fourierova transformace nul funkce zeta je množina hlavních mocností plus některé základní faktory. Jakmile se to řekne, vzorec vychází ze skutečnosti, že Fourierova transformace je jednotkový operátor, takže skalární produkt v časové doméně se rovná skalárnímu produktu Fourierových transformací ve frekvenční doméně.

Výrazy ve vzorci vznikají následujícím způsobem.

• Výrazy na pravé straně pocházejí z logaritmické derivace

${ displaystyle zeta ^ {*} (s) = gama (s / 2) pi ^ {- s / 2} prod _ {p} { frac {1} {1-p ^ {- s} }}}$

s podmínkami odpovídajícími prvočíslu p pocházející z Eulerova faktoru pa termín na konci zahrnující Ψ pocházející z faktoru gama (Eulerův faktor v nekonečnu).

• Levá strana je součtem všech nul ζ ^* počítáno s multiplicitami, takže póly 0 a 1 se počítají jako nuly řádu −1.

Weilův explicitní vzorec lze chápat takto. Cílem je umět napsat, že:

${ displaystyle { frac {d} {du}} left [ sum _ {n leq e ^ {| u |}} Lambda (n) + { frac {1} {2}} ln ( 1-e ^ {- 2 | u |}) right] = sum _ {n = 1} ^ { infty} Lambda (n) left [ delta (u + ln n) + delta (u - ln n) right] + { frac {1} {2}} { frac {d ln (1-e ^ {- 2 | u |})} {du}} = e ^ {u} - sum _ { rho} e ^ { rho u}}$,

kde Λ je von Mangoldtova funkce.

Takže Fourierova transformace netriviálních nul se rovná symetrizované síle prvočísel plus vedlejšímu členu. Součet samozřejmě není konvergentní, ale trik spočívá v použití jednotné vlastnosti Fourierovy transformace, která spočívá v tom, že zachovává skalární součin:

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (u) g ^ {*} (u) , du = int _ {- infty} ^ { infty} F (t) G ^ {*} (t) , dt}$

kde ${ displaystyle F, G}$ jsou Fourierovy transformace ${ displaystyle f, g}$. Na první pohled se zdá, že jde o vzorec pouze pro funkce, ale ve skutečnosti v mnoha případech funguje i tehdy ${ displaystyle g}$ je distribuce. Proto nastavením ${ displaystyle g (u) = součet _ {n = 1} ^ { infty} Lambda (n) levý [ delta (u + ln n) + delta (u- ln n) pravý] }$ (kde ${ displaystyle delta (u)}$ je Diracova delta ) a pečlivým výběrem funkce ${ displaystyle f}$ a jeho Fourierova transformace, dostaneme vzorec výše.

Explicitní vzorce pro další aritmetické funkce

Riemann-Weylův vzorec^{[je zapotřebí objasnění ]} lze zobecnit na jiné aritmetické funkce, než je von Mangoldtova funkce. Například pro Möbiovu funkci, kterou máme

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} { sqrt {n}}} g ( log n) = sum _ { rho} { frac {h ( gamma)} { zeta '( rho)}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} { zeta' (-2n)}} int _ {- infty} ^ { infty} dxg (x) e ^ {- (2n + 1/2) x}}$.

Také pro funkci Liouville máme

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { lambda (n)} { sqrt {n}}} g ( log n) = sum _ { rho} { frac {h ( gamma) zeta (2 rho)} { zeta '( rho)}} + { frac {1} { zeta (1/2)}} int _ {- infty} ^ { infty} dx , g (x)}$.

Pro funkci Euler-Phi čte explicitní vzorec

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { varphi (n)} { sqrt {n}}} g ( log n) = { frac {6} { pi ^ {2}}} int _ {- infty} ^ { infty} dx , g (x) e ^ {3x / 2} + sum _ { rho} { frac {h ( gamma) zeta ( rho -1)} { zeta '( rho)}} + { frac {1} {2}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { zeta ( -2n-1)} { zeta '(-2n)}} int _ {- infty} ^ { infty} dx , g (x) e ^ {- x (2n + 1/2)}}$.

Ve všech případech součet souvisí s imaginární částí Riemannových nul ${ displaystyle rho = { frac {1} {2}} + i gamma}$ a funkce h souvisí s testovací funkcí G Fourierovou transformací, ${ displaystyle g (u) = { frac {1} {2 pi}} int _ {- infty} ^ { infty} h (x) exp (-iux)}$.

Pro funkci dělitele nultého řádu ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} sigma _ {0} (n) f (n) = sum _ {m = - infty} ^ { infty} sum _ {n = 1} ^ { infty} f (mn)}$.^{[je zapotřebí objasnění ]}

Pomocí testovací funkce formuláře ${ displaystyle g (x) = f (ye ^ {x}) e ^ {ax}}$ pro některé pozitivní A změní Poissonův součtový vzorec na vzorec zahrnující Mellinovu transformaci. Tady y je skutečný parametr.

Zobecnění

Funkce Riemannova zeta může být nahrazena a Dirichletova funkce L. a Dirichletova postava χ. Součet nad hlavními silami pak získá extrafactors χ(p ^m) a výrazy Φ (1) a Φ (0) zmizí, protože řada L nemá žádné póly.

Obecněji lze funkci Riemann zeta a řadu L nahradit funkcí Funkce Dedekind zeta algebraického číselného pole nebo a Řada Hecke L.. Součet za prvočísla je poté nahrazen součtem za hlavní ideály.

Aplikace

Riemannovo původní použití explicitního vzorce bylo poskytnout přesný vzorec pro počet prvočísel menší než dané číslo. Chcete-li to udělat, vezměte si F(log (y)) být y^1/2/ log (y) pro 0 ≤y ≤ X a 0 jinde. Pak je hlavním členem součtu vpravo počet prvočísel menší než X. Hlavní termín vlevo je Φ(1); což se ukazuje jako dominantní podmínky věta o prvočísle a hlavní korekce je součet netriviálních nul funkce zeta. (Při používání tohoto případu je menší technický problém, a to v té funkci F nesplňuje podmínku hladkosti.)

Hilbert-Pólya domněnka

Podle Hilbert-Pólya domněnka, komplexní nuly ρ by měl být vlastní čísla některých lineární operátor T. Součet nad nulami explicitního vzorce je pak (alespoň formálně) dán stopou:

${ displaystyle sum _ { rho} F ( rho) = operatorname {Tr} (F ({ widehat {T}})). !}$

Vývoj explicitních vzorců pro širokou třídu L-funkcí byl dán Weil (1952), který nejprve rozšířil myšlenku na místní funkce zeta, a formuloval verzi a zobecněná Riemannova hypotéza v tomto nastavení jako prohlášení o pozitivitě pro a zobecněná funkce na topologická skupina. Novější práce od Alain Connes zašel mnohem dále do funkčně-analytického pozadí a poskytl stopový vzorec, jehož platnost je ekvivalentní takové zobecněné Riemannově hypotéze. Trochu jiný úhel pohledu poskytl Meyer (2005), který odvodil explicitní Weilův vzorec pomocí harmonické analýzy na adelických prostorech.

Viz také

• Selbergův stopový vzorec

Poznámky pod čarou

Reference

• Ingham, A.E. (1990) [1932], Rozdělení prvočísel„Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics“, 30, znovu vydán s předmluvou R. C. Vaughan (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-39789-6, PAN  1074573, Zbl  0715.11045
• Lang, Serge (1994), Algebraická teorie čísel, Postgraduální texty z matematiky, 110 (2. vyd.), New York, NY: Springer-Verlag, ISBN  0-387-94225-4, Zbl  0811.11001
• Riemann, Bernhard (1859), „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse“, Monatsberichte der Berliner Akademie
• Weil, André (1952), „Sur les“ formuloval explicites „de la théorie des nombres premiers“ [O „explicitních vzorcích“ v teorii prvočísel], Comm. Sem. Matematika. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Rohož. Sem.] (ve francouzštině), Tome Supplémentaire: 252–265, PAN  0053152, Zbl  0049.03205
• von Mangoldt, Hans (1895), „Zu Riemanns Abhandlung“ Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse"„[Na Riemannově práci“ Počet prvočísel menší než daná velikost “], Journal für die reine und angewandte Mathematik (v němčině), 114: 255–305, ISSN  0075-4102, JFM  26.0215.03, PAN  1580379
• Meyer, Ralf (2005), „O reprezentaci skupiny ideálních tříd v souvislosti s prvočísly a nulami L-funkce ", Vévoda Math. J., 127 (3): 519–595, arXiv:matematika / 0311468, doi:10.1215 / s0012-7094-04-12734-4, ISSN  0012-7094, PAN  2132868, Zbl  1079.11044CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Zagier, Don (1977), „Prvních 50 milionů prvočísel“, Matematický zpravodaj, 1 (S2): 7–19, doi:10.1007 / bf03351556
• Garcia J.J Mellin Konvoluce a její rozšíření, Perronův vzorec a Explicitní vzorce doi = 10.20944 / preprints201801.0020.v1
• https://encyclopediaofmath.org/wiki/M%C3%B6bius_function#:~:text=The%20M%C3%B6bius%20function%20is%20an,M%C3%B6bius%20in%201832

Další čtení

• Edwards, H.M. (1974), Riemannova funkce zetaČistá a aplikovaná matematika, 58, New York-Londýn: Academic Press, ISBN  0-12-232750-0, Zbl  0315.10035
• Riesel, Hans (1994), Prvočísla a počítačové metody pro faktorizaciPokrok v matematice, 126 (2. vyd.), Boston, MA: Birkhäuser, ISBN  0-8176-3743-5, Zbl  0821.11001