Identita Brahmaguptas - Brahmaguptas identity - Wikipedia

v algebra, Brahmaguptaova identita říká to, pro danou věc ${ displaystyle n}$ , součin dvou čísel formuláře ${ displaystyle a ^ {2} + nb ^ {2}}$ je sama o sobě číslem této formy. Jinými slovy, množina takových čísel je Zavřeno pod násobením. Konkrétně:

{ displaystyle { begin {aligned} left (a ^ {2} + nb ^ {2} right) left (c ^ {2} + nd ^ {2} right) & {} = left ( ac-nbd right) ^ {2} + n left (ad + bc right) ^ {2} &&& (1) & {} = left (ac + nbd right) ^ {2} + n left (ad-bc right) ^ {2}, &&& (2) end {aligned}}}

Obě (1) a (2) lze ověřit pomocí rozšiřování každou stranu rovnice. Rovněž (2) lze získat změnou z (1) nebo (1) z (2) b do -b.

Tato identita platí v obou kruh celých čísel a kruh racionálních čísel a obecněji v jakémkoli komutativní prsten.

Dějiny

Identita je zobecněním tzv Fibonacciho identita (kde n= 1) který se ve skutečnosti nachází v Diophantus ' Aritmetika (III, 19). Tuto identitu znovu objevil Brahmagupta (598–668), an Indický matematik a astronom, který to zobecnil a použil to ve své studii o tom, co se nyní nazývá Pellova rovnice. Jeho Brahmasphutasiddhanta byl přeložen z Sanskrt do arabština podle Mohammad al-Fazari, a následně byl přeložen do latinský v roce 1126.^[1] Totožnost se později objevila v Fibonacci je Kniha čtverců v roce 1225.

Aplikace na Pellovu rovnici

V původním kontextu uplatnil Brahmagupta svůj objev na řešení toho, čemu se později říkalo Pellova rovnice, jmenovitě X² − Ny² = 1. Použití identity ve formuláři

{ displaystyle (x_ {1} ^ {2} -Ny_ {1} ^ {2}) (x_ {2} ^ {2} -Ny_ {2} ^ {2}) = (x_ {1} x_ {2 } + Ny_ {1} y_ {2}) ^ {2} -N (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1}) ^ {2},}

dokázal „skládat“ trojky (X₁, y₁, k₁) a (X₂, y₂, k₂), která byla řešením X² − Ny² = k, vygenerovat nový triple

{ displaystyle (x_ {1} x_ {2} + Ny_ {1} y_ {2} ,, , x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1} ,, , k_ { 1} k_ {2}).}

To nejen poskytlo způsob, jak generovat nekonečně mnoho řešení X² − Ny² = 1 počínaje jedním řešením, ale také dělením takové kompozice k₁k₂často bylo možné získat celočíselná nebo „téměř celočíselná“ řešení. Obecná metoda řešení Pellovy rovnice daná Bhaskara II v roce 1150, a to chakravala (cyklická) metoda, byl také založen na této identitě.^[2]

Viz také

Reference

^ George G. Joseph (2000). The Crest of the Peacock, str. 306. Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8.
^ John Stillwell (2002), Matematika a její historie (2. vyd.), Springer, str. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6

externí odkazy

[1] George G. Joseph (2000). The Crest of the Peacock, str. 306. Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8.

[stillwell-2] John Stillwell (2002), Matematika a její historie (2. vyd.), Springer, str. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6

[1]

[2]