Hardy – Littlewoodova nerovnost - Hardy–Littlewood inequality

v matematická analýza, Hardy – Littlewoodova nerovnost, pojmenoval podle G. H. Hardy a John Edensor Littlewood, uvádí, že pokud F a G jsou negativní měřitelný skutečné funkce mizející v nekonečno které jsou definovány na n-dimenzionální Euklidovský prostor Rⁿ pak

{ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} f (x) g (x) , dx leq int _ { mathbb {R} ^ {n}} f ^ {*} ( x) g ^ {*} (x) , dx}

Důkaz

{ displaystyle f (x) = int _ {0} ^ { infty} chi _ {f (x)> r} , dr}

{ displaystyle g (x) = int _ {0} ^ { infty} chi _ {g (x)> s} , ds}

kde ${ displaystyle chi _ {f (x)> r}}$ označuje funkce indikátoru podmnožiny E_F dána

{ displaystyle E_ {f} = vlevo {x v X: f (x)> r vpravo }}

Analogicky, ${ displaystyle chi _ {g (x)> s}}$ označuje indikátorovou funkci podmnožiny E_G dána

{ displaystyle E_ {g} = vlevo {x v X: g (x)> s vpravo }}

{ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} f (x) g (x) , dx = displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {n}} int _ {0 } ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} chi _ {f (x)> r} chi _ {g (x)> s} , dr , ds , dx}

{ displaystyle = int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} int _ { mathbb {R} ^ {n}} chi _ {f (x)> r cap g (x)> s} , dx , dr , ds}

{ displaystyle = int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} mu left ( left {f (x)> r right } cap left {g (x)> s doprava } doprava) , dr , ds}

{ displaystyle leq int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} min left ( mu left (f (x)> r right); mu left (g (x)> s right) right) , dr , ds}

{ displaystyle = int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} min left ( mu left (f ^ {*} (x)> r right); mu left (g ^ {*} (x)> s right) right) , dr , ds}

{ displaystyle = int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} mu left ( left {f ^ { ast} (x)> r right } cap left {g ^ { ast} (x)> s right } right) , dr , ds}

{ displaystyle = int _ { mathbb {R} ^ {n}} f ^ {*} (x) g ^ {*} (x) , dx}