Schurův rozklad - Schur decomposition

V matematický disciplína lineární algebra, Schurův rozklad nebo Schurova triangulace, pojmenoval podle Issai Schur, je maticový rozklad. Umožňuje psát libovolnou složitou matici jako jednotně ekvivalentní do horní trojúhelníková matice jehož diagonální prvky jsou vlastní čísla původní matice.

Prohlášení

Schurův rozklad zní následovně: pokud A je n × n čtvercová matice s komplex položky A lze vyjádřit jako^[1]^[2]^[3]

{ displaystyle A = QUQ ^ {- 1}}

kde Q je unitární matice (tak, aby jeho inverzní Q⁻¹ je také konjugovat transponovat Q* z Q), a U je horní trojúhelníková matice, kterému se říká a Schurova forma z A. Od té doby U je podobný na A, má to stejné spektrum, a protože je trojúhelníkový, je vlastní čísla jsou úhlopříčné položky U.

Schurův rozklad znamená, že existuje vnořená sekvence A-invariantní podprostory {0} = PROTI₀ ⊂ PROTI₁ ⊂ ... ⊂ PROTI_n = Cⁿ, a že existuje objednaný ortonormální základ (pro standard Poustevnická forma z Cⁿ) takové, že první i rozpětí základních vektorů PROTI_i pro každého i vyskytující se ve vnořeném pořadí. První část formulovaná poněkud odlišně říká, že a lineární operátor J na komplexním konečně-dimenzionálním vektorovém prostoru stabilizuje kompletní vlajka (PROTI₁,...,PROTI_n).

Důkaz

Konstruktivní důkaz Schurova rozkladu je následující: každý operátor A na komplexním konečně-dimenzionálním vektorovém prostoru má vlastní číslo λ, což odpovídá určitému vlastnímu prostoru PROTI_λ. Nechat PROTI_λ^⊥ být jeho ortogonálním doplňkem. Je zřejmé, že s ohledem na tento ortogonální rozklad A má maticovou reprezentaci (lze zde vybrat libovolné ortonormální báze Z₁ a Z₂ klenout se PROTI_λ a PROTI_λ^⊥ respektive)

{ displaystyle { begin {bmatrix} Z_ {1} & Z_ {2} end {bmatrix}} ^ {*} A { begin {bmatrix} Z_ {1} & Z_ {2} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} lambda , I _ { lambda} & A_ {12} 0 & A_ {22} end {bmatrix}}: { begin {matrix} V _ { lambda} oplus V_ { lambda} ^ { perp} end {matrix}} rightarrow { begin {matrix} V _ { lambda} oplus V _ { lambda} ^ { perp} end {matrix}}}

kde Já_λ je operátor identity na PROTI_λ. Výše uvedená matice by byla horní trojúhelníková s výjimkou A₂₂ blok. Přesně stejný postup lze ale použít i na podmatici A₂₂, zobrazeno jako operátor na PROTI_λ^⊥a jeho dílčí matice. Takto pokračujte nkrát. Tedy prostor Cⁿ bude vyčerpán a postup přinesl požadovaný výsledek.

Výše uvedený argument lze mírně zopakovat takto: let λ být vlastním číslem A, což odpovídá určitému vlastnímu prostoru PROTI_λ. A vyvolává operátora T na kvocientový prostor Cⁿ/PROTI_λ. Tento operátor je právě A₂₂ submatice shora. Jako dříve, T by měl vlastní prostor, řekněme Ž_μ ⊂ Cⁿ modulo PROTI_λ. Všimněte si předobrazu Ž_μ pod mapou kvocientu je invariantní podprostor z A který obsahuje PROTI_λ. Takto pokračujte, dokud výsledný kvocientový prostor nebude mít rozměr 0. Potom postupné preimages vlastních prostorů nalezené v každém kroku vytvoří příznak, který A stabilizuje.

Poznámky

Ačkoli každá čtvercová matice má Schurův rozklad, obecně tento rozklad není jedinečný. Například vlastní prostor PROTI_λ může mít rozměr> 1, v takovém případě jakýkoli ortonormální základ pro PROTI_λ by vedlo k požadovanému výsledku.

Napište trojúhelníkovou matici U tak jako U = D + N, kde D je úhlopříčka a N je přísně horní trojúhelníkový (a tedy a nilpotentní matice ). Diagonální matice D obsahuje vlastní čísla z A v libovolném pořadí (proto jeho Frobeniova norma, na druhou, je součet čtvercových modulů vlastních čísel A, zatímco Frobeniova norma z A, na druhou, je součet na druhou singulární hodnoty z A). Nilpotentní část N obecně také není jedinečný, ale jeho Frobeniova norma je jednoznačně určeno A (jen proto, že Frobeniova norma A se rovná Frobeniově normě A U = D + N).

Je jasné, že pokud A je normální matice, pak U z jeho Schurova rozkladu musí být a diagonální matice a sloupcové vektory Q jsou vlastní vektory z A. Schurův rozklad proto rozšiřuje spektrální rozklad. Zejména pokud A je pozitivní určitý, Schurův rozklad A, jeho spektrální rozklad a jeho rozklad singulární hodnoty shodovat se.

A dojíždění rodina {A_i} matic lze současně triangulovat, tj. existuje jednotná matice Q takové, že pro každého A_i v dané rodině, Q A_i Q * je horní trojúhelníkový. To lze snadno odvodit z výše uvedeného důkazu. Vezměte prvek A z {A_i} a znovu zvažte vlastní prostor PROTI_A. Pak PROTI_A je neměnný pod všemi maticemi v {A_i}. Proto všechny matice v {A_i} musí sdílet jeden společný vlastní vektor v PROTI_A. Indukce poté prokáže nárok. Důsledkem je, že každá rodina dojíždějících z normálních matic může být současně diagonálně.

V nekonečném dimenzionálním prostředí ne každý ohraničený operátor na Banachův prostor má neměnný podprostor. Horní triangulace libovolné čtvercové matice se však zobecňuje na kompaktní operátory. Každý kompaktní operátor na komplexu Banachův prostor má hnízdo uzavřených invariantních podprostorů.

Výpočet

Schurův rozklad dané matice je numericky počítán pomocí Algoritmus QR nebo jeho varianty. Jinými slovy, kořeny charakteristický polynom odpovídající matici nemusí být nutně vypočítány dopředu, aby se dosáhlo jejího Schurova rozkladu. Naopak Algoritmus QR lze použít k výpočtu kořenů libovolného daného charakteristický polynom nalezením Schurova rozkladu jeho doprovodná matice. Podobně Algoritmus QR se používá k výpočtu vlastních čísel libovolné dané matice, což jsou diagonální položky horní trojúhelníkové matice Schurova rozkladu. Viz část Nesymetrické vlastní problémy v LAPACK Uživatelská příručka.^[4]

Aplikace

Teorie lži aplikace zahrnují:

Každý invertibilní operátor je obsažen v a Skupina Borel.
Každý operátor opraví bod příznak potrubí.

Zobecněný Schurův rozklad

Vzhledem k čtvercové matice A a B, zobecněný Schurův rozklad faktorizuje obě matice jako ${ displaystyle A = QSZ ^ {*}}$ a ${ displaystyle B = QTZ ^ {*}}$ , kde Q a Z jsou unitární, a S a T jsou horní trojúhelníkový. Zobecněný Schurův rozklad se také někdy nazývá QZ rozklad.^[2]^:375

Zobecněný vlastní čísla ${ displaystyle lambda}$ které řeší zobecněný problém vlastních čísel ${ displaystyle Ax = lambda Bx}$ (kde X je neznámý nenulový vektor) lze vypočítat jako poměr diagonálních prvků S těm z T. To znamená, že pomocí indexů k označení prvků matice je izevšeobecněné vlastní číslo ${ displaystyle lambda _ {i}}$ splňuje ${ displaystyle lambda _ {i} = S_ {ii} / T_ {ii}}$ .

Reference

^ Horn, R.A. & Johnson, C.R. (1985). Maticová analýza. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2.(Oddíl 2.3 a dále na str. 79 )
^ ^A ^b Golub, G.H. & Van Loan, C.F. (1996). Maticové výpočty (3. vyd.). Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5414-8.(Část 7.7 v str. 313 )
^ Schott, James R. (2016). Maticová analýza pro statistiku (3. vyd.). New York: John Wiley & Sons. 175–178. ISBN 978-1-119-09247-6.
^ Anderson, E; Bai, Z; Bischof, C; Blackford, S; Demmel, J; Dongarra, J; Du Croz, J; Greenbaum, A; Hammarling, S; McKenny, A; Sorensen, D (1995). Uživatelská příručka LAPACK. Philadelphia, PA: Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku. ISBN 0-89871-447-8.

[horn1985-1] Horn, R.A. & Johnson, C.R. (1985). Maticová analýza. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2.(Oddíl 2.3 a dále na str. 79 )

[Golub1996-2] A ^b Golub, G.H. & Van Loan, C.F. (1996). Maticové výpočty (3. vyd.). Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5414-8.(Část 7.7 v str. 313 )

[3] Schott, James R. (2016). Maticová analýza pro statistiku (3. vyd.). New York: John Wiley & Sons. 175–178. ISBN 978-1-119-09247-6.

[4] Anderson, E; Bai, Z; Bischof, C; Blackford, S; Demmel, J; Dongarra, J; Du Croz, J; Greenbaum, A; Hammarling, S; McKenny, A; Sorensen, D (1995). Uživatelská příručka LAPACK. Philadelphia, PA: Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku. ISBN 0-89871-447-8.

[1]

[2]

[3]

[4]