Poloviční operátor - Semisimple operator

v matematika, a lineární operátor T na vektorový prostor je polojednoduchý pokud každý T-invariantní podprostor má komplementární T-invariantní podprostor;[1] jinými slovy, vektorový prostor je a polojednoduché zastoupení provozovatele T. Ekvivalentně je lineární operátor poloviční, pokud je jeho minimální polynom produktem odlišných neredukovatelných polynomů.[2]

Lineární operátor v konečném dimenzionálním vektorovém prostoru nad algebraicky uzavřeno pole je částečně jednoduché, právě když je úhlopříčně.[1][3]

Přes perfektní pole, Jordan – Chevalleyův rozklad vyjadřuje endomorfismus jako souhrn polojednodušého endomorfismu s a a nilpotentní endomorfismus n takové, že oba s a n jsou polynomy v X.

Viz také

Poznámky

  1. ^ A b Lam (2001), p. 39
  2. ^ Jacobson 1979, Odstavec před Ch. II, § 5, věta 11.
  3. ^ To je podle definice triviální, pokud jde o minimální polynom, ale lze to vidět příměji následovně. Takový operátor má vždy vlastní vektor; pokud je navíc polojednoduchý, má doplňkový invariant nadrovina, který sám má vlastní vektor, a tedy indukcí je diagonalizovatelný. Naopak, diagonalizovatelné operátory lze snadno považovat za polojednodušé, protože invariantní podprostory jsou přímými součty vlastních prostorů a jakýkoli základ pro tento prostor lze rozšířit na vlastní základnu.

Reference

  • Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971). "Polojednodušší operátoři". Lineární algebra (2. vyd.). Englewood Cliffs, N.J .: Prentice-Hall, Inc. PAN  0276251.
  • Jacobson, Nathan, Lež algebry, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN  0-486-63832-4
  • Lam, Tsit-Yuen (2001). První kurz v nekomutativních kruzích. Postgraduální texty z matematiky. 131 (2. vyd.). Springer. ISBN  0-387-95183-0.