Weyr kanonická forma - Weyr canonical form - Wikipedia

Obrázek ukazuje příklad obecné Weyrovy matice skládající se ze dvou bloků, z nichž každý je základní Weyrovou maticí. Základní Weyrova matice v levém horním rohu má strukturu (4,2,1) a druhá má strukturu (2,2,1,1).

v matematika, v lineární algebra, a Weyr kanonická forma (nebo, Weyr forma nebo Weyrova matice) je čtvercová matice splnění určitých podmínek. Říká se, že čtvercová matice je v Weyr kanonická forma jestliže matice splňuje podmínky definující Weyrův kanonický tvar. Weyrskou formu objevil čeština matematik Eduard Weyr v roce 1885.^[1]^[2]^[3] Weyrova forma se mezi matematiky nestala populární a byla zastíněna úzce související, ale odlišnou kanonickou formou známou pod jménem Jordan kanonická forma.^[3] Weyrova forma byla znovu objevena několikrát od Weyrova původního objevu v roce 1885.^[4] Tato forma byla různě nazývána jako upravená forma Jordan, doobjednaná forma Jordánska, druhá forma Jordan, a H-forma.^[4] Současná terminologie je připisována Shapirovi, který ji uvedl v příspěvku publikovaném v Americký matematický měsíčník v roce 1999.^[4]^[5]

Nedávno bylo nalezeno několik aplikací pro Weyrovu matici. Zvláště zajímavá je aplikace Weyrovy matice při studiu fylogenetické invarianty v biomatematika.

Definice

Základní Weyrova matice

Definice

Základní Weyrova matice s vlastní číslo ${ displaystyle lambda}$ je ${ displaystyle n krát n}$ matice ${ displaystyle W}$ v následující podobě: Existuje a rozdělit

{ displaystyle n_ {1} + n_ {2} + cdots + n_ {r} = n}

z

{ displaystyle n}

s

{ displaystyle n_ {1} geq n_ {2} geq cdots geq n_ {r} geq 1}

takové, že když ${ displaystyle W}$ je viděn jako ${ displaystyle r times r}$ bloková matice ${ displaystyle (W_ {ij})}$ , Kde ${ displaystyle (i, j)}$ blok ${ displaystyle W_ {ij}}$ je ${ displaystyle n_ {i} krát n_ {j}}$ matice, jsou k dispozici následující tři funkce:

Hlavní úhlopříčka bloky ${ displaystyle W_ {ii}}$ jsou ${ displaystyle n_ {i} krát n_ {i}}$ skalární matice ${ displaystyle lambda I}$ pro ${ displaystyle i = 1, ldots, r}$ .
První superdiagonální bloky ${ displaystyle W_ {i, i + 1}}$ jsou plné pořadí sloupců ${ displaystyle n_ {i} krát n_ {i + 1}}$ matice v redukovaná forma řady (tj matice identity následované nulovými řádky) pro ${ displaystyle i = 1, ldots, r-1}$ .
Všechny ostatní bloky Ž jsou nula (tj. ${ displaystyle W_ {ij} = 0}$ když ${ displaystyle j neq i, i + 1}$ ).

V tomto případě to říkáme ${ displaystyle W}$ má Weyrovu strukturu ${ displaystyle (n_ {1}, n_ {2}, ldots, n_ {r})}$ .

Příklad

Následuje příklad základní Weyrovy matice.

${ displaystyle W =}$ Základní Weyrova matice se strukturou (4,2,2,1) ${ displaystyle = { begin {bmatrix} W_ {11} & W_ {12} && & W_ {22} & W_ {23} & && W_ {33} & W_ {34} &&&__ {44} konec {bmatrix}}}$

V této matici ${ displaystyle n = 9}$ a ${ displaystyle n_ {1} = 4, n_ {2} = 2, n_ {3} = 2, n_ {4} = 1}$ . Tak ${ displaystyle W}$ má Weyrovu strukturu ${ displaystyle (4,2,2,1)}$ . Taky,

${ displaystyle W_ {11} = { begin {bmatrix} lambda & 0 & 0 & 0 0 & lambda & 0 & 0 0 & 0 & lambda & 0 0 & 0 & 0 & lambda end {bmatrix}} = lambda I_ {4}, quad W_ {22} = { begin {bmatrix} lambda & 0 0 & lambda & end {bmatrix}} = lambda I_ {2}, quad W_ {33} = { begin {bmatrix } lambda & 0 0 & lambda & end {bmatrix}} = lambda I_ {2}, quad W_ {44} = { begin {bmatrix} lambda end {bmatrix}} = lambda I_ {1}}$

a

${ displaystyle W_ {12} = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 0 & 0 0 & 0 end {bmatrix}}, quad W_ {23} = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}}, quad W_ {34} = { begin {bmatrix} 1 0 end {bmatrix}}.}$

Obecná Weyrova matice

Definice

Nechat ${ displaystyle W}$ být čtvercová matice a nechat ${ displaystyle lambda _ {1}, ldots, lambda _ {k}}$ být zřetelnými vlastními hodnotami ${ displaystyle W}$ . Říkáme to ${ displaystyle W}$ je ve Weyrově formě (nebo je Weyrova matice), pokud ${ displaystyle W}$ má následující podobu:

${ displaystyle W = { begin {bmatrix} W_ {1} &&& & W_ {2} && && ddots & &&& W_ {k} end {bmatrix}}}$

kde ${ displaystyle W_ {i}}$ je základní Weyrova matice s vlastním číslem ${ displaystyle lambda _ {i}}$ pro ${ displaystyle i = 1, ldots, k}$ .

Příklad

Následující obrázek ukazuje příklad obecné Weyrovy matice skládající se ze tří základních bloků Weyrovy matice. Základní Weyrova matice v levém horním rohu má strukturu (4,2,1) s vlastním číslem 4, střední blok má strukturu (2,2,1,1) s vlastním číslem -3 a ten v pravém dolním rohu roh má strukturu (3, 2) s vlastní hodnotou 0.

Vztah mezi Weyrem a Jordanem se formuje

Weyrská kanonická forma ${ displaystyle W = P ^ {- 1} JP}$ souvisí s Jordanskou formou ${ displaystyle J}$ jednoduchou obměnou ${ displaystyle P}$ pro každý základní blok Weyr následovně: První index každého podbloku Weyr tvoří největší Jordanův řetězec. Po přeškrtnutí těchto řádků a sloupců vytvoří první index každého nového podbloku druhý největší jordánský řetězec atd.^[6]

Weyrova forma je kanonická

To, že Weyrova forma je kanonickou formou matice, je důsledkem následujícího výsledku:^[3] Každá čtvercová matice ${ displaystyle A}$ přes algebraicky uzavřené pole je podobné Weyrově matici ${ displaystyle W}$ který je jedinečný až do permutace jeho základních bloků. Matice ${ displaystyle W}$ se nazývá Weyr (kanonická) forma ${ displaystyle A}$ .

Výpočet weyrské kanonické formy

Redukce na nilpotentní případ

Nechat ${ displaystyle A}$ být čtvercová matice řádu ${ displaystyle n}$ přes algebraicky uzavřené pole a nechte zřetelná vlastní čísla ${ displaystyle A}$ být ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, ldots, lambda _ {k}}$ . The Jordan – Chevalleyův rozklad věta říká, že ${ displaystyle A}$ je podobný do blokové diagonální matice formuláře

${ displaystyle A = { begin {bmatrix} lambda _ {1} I + N_ {1} &&& & lambda _ {2} I + N_ {2} && && ddots & &&& lambda _ {k} I + N_ {k} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} lambda _ {1} I &&& & lambda _ {2} I && && ddots & &&& lambda _ {k} I end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} N_ {1} &&& & N_ {2} && && ddots & &&& N_ {k} end {bmatrix}} = D + N}$

kde ${ displaystyle D}$ je diagonální matice, ${ displaystyle N}$ je nilpotentní matice, a ${ displaystyle [D, N] = 0}$ , odůvodňující snížení o ${ displaystyle N}$ do dílčích bloků ${ displaystyle N_ {i}}$ . Takže problém snižování ${ displaystyle A}$ Weyrova forma redukuje na problém redukce nilpotentních matic ${ displaystyle N_ {i}}$ do Weyrovy formy. To vede k zobecnění vlastní prostor věta o rozkladu.

Redukce nilpotentní matice na Weyrovu formu

Vzhledem k nilpotentní čtvercové matici ${ displaystyle A}$ řádu ${ displaystyle n}$ přes algebraicky uzavřené pole ${ displaystyle F}$ , následující algoritmus vytvoří invertibilní matici ${ displaystyle C}$ a Weyrova matice ${ displaystyle W}$ takhle ${ displaystyle W = C ^ {- 1} AC}$ .

Krok 1

Nechat ${ displaystyle A_ {1} = A}$

Krok 2

Vypočítat a základ pro prázdný prostor z ${ displaystyle A_ {1}}$ .
Rozšiřte základ nulového prostoru ${ displaystyle A_ {1}}$ jako základ pro ${ displaystyle n}$ -dimenzionální vektorový prostor ${ displaystyle F ^ {n}}$ .
Vytvořte matici ${ displaystyle P_ {1}}$ skládající se z těchto základních vektorů.
Vypočítat ${ displaystyle P_ {1} ^ {- 1} A_ {1} P_ {1} = { begin {bmatrix} 0 & B_ {2} 0 & A_ {2} end {bmatrix}}}$ . ${ displaystyle A_ {2}}$ je čtvercová matice velikosti ${ displaystyle n}$ - neplatnost ${ displaystyle (A_ {1})}$ .

Krok 3

Li ${ displaystyle A_ {2}}$ není nenulová, opakujte krok 2 ${ displaystyle A_ {2}}$ .

Vypočítejte základ nulového prostoru ${ displaystyle A_ {2}}$ .
Rozšiřte základ nulového prostoru ${ displaystyle A_ {2}}$ na základ pro vektorový prostor mající rozměr ${ displaystyle n}$ - neplatnost ${ displaystyle (A_ {1})}$ .
Vytvořte matici ${ displaystyle P_ {2}}$ skládající se z těchto základních vektorů.
Vypočítat ${ displaystyle P_ {2} ^ {- 1} A_ {2} P_ {2} = { begin {bmatrix} 0 & B_ {3} 0 & A_ {3} end {bmatrix}}}$ . ${ displaystyle A_ {2}}$ je čtvercová matice velikosti ${ displaystyle n}$ - neplatnost ${ displaystyle (A_ {1})}$ - neplatnost ${ displaystyle (A_ {2})}$ .

Krok 4

Pokračujte v procesech kroků 1 a 2 a získejte stále menší čtvercové matice ${ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, ldots}$ a související invertibilní matice ${ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, ldots}$ až do první nulové matice ${ displaystyle A_ {r}}$ je získáno.

Krok 5

Weyrova struktura ${ displaystyle A}$ je ${ displaystyle (n_ {1}, n_ {2}, ldots, n_ {r})}$ kde ${ displaystyle n_ {i}}$ = neplatnost ${ displaystyle (A_ {i})}$ .

Krok 6

Vypočítejte matici ${ displaystyle P = P_ {1} { begin {bmatrix} I & 0 0 & P_ {2} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} I & 0 0 & P_ {3} end {bmatrix}} cdots { begin {bmatrix} I & 0 0 & P_ {r} end {bmatrix}}}$ (zde ${ displaystyle I}$ jsou matice identity odpovídající velikosti).
Vypočítat ${ displaystyle X = P ^ {- 1} AP}$ . ${ displaystyle X}$ je matice v následující podobě:

{ displaystyle X = { begin {bmatrix} 0 & X_ {12} & X_ {13} & cdots & X_ {1, r-1} & X_ {1r} & 0 & X_ {23} & cdots & X_ {2, r-1 } & X_ {2r} &&& ddots & &&& cdots & 0 & X_ {r-1, r} &&&&& 0 end {bmatrix}}}

.

Krok 7

Pomocí operací základních řádků najděte invertibilní matici ${ displaystyle Y_ {r-1}}$ vhodné velikosti tak, aby produkt ${ displaystyle Y_ {r-1} X_ {r, r-1}}$ je matice formuláře ${ displaystyle I_ {r, r-1} = { begin {bmatrix} já O end {bmatrix}}}$ .

Krok 8

Soubor ${ displaystyle Q_ {1} =}$ diag ${ displaystyle (I, I, ldots, Y_ {r-1} ^ {- 1}, I)}$ a počítat ${ displaystyle Q_ {1} ^ {- 1} XQ_ {1}}$ . V této matici je ${ displaystyle (r, r-1)}$ -blok je ${ displaystyle I_ {r, r-1}}$ .

Krok 9

Najděte matici ${ displaystyle R_ {1}}$ vytvořen jako produkt základní matice takhle ${ displaystyle R_ {1} ^ {- 1} Q_ {1} ^ {- 1} XQ_ {1} R_ {1}}$ je matice, ve které jsou všechny bloky nad blokem ${ displaystyle I_ {r, r-1}}$ obsahovat pouze ${ displaystyle 0}$ je

Krok 10

Opakujte kroky 8 a 9 na sloupci ${ displaystyle r-1}$ konvertování ${ displaystyle (r-1, r-2)}$ -blokovat ${ displaystyle I_ {r-1, r-2}}$ přes časování nějakou invertibilní maticí ${ displaystyle Q_ {2}}$ . Tento blok použijte k vyčištění bloků výše konjugací produktu ${ displaystyle R_ {2}}$ elementárních matic.

Krok 11

Tyto procesy opakujte ${ displaystyle r-2, r-3, ldots, 3,2}$ sloupce pomocí konjugací od ${ displaystyle Q_ {3}, R_ {3}, ldots, Q_ {r-2}, R_ {r-2}, Q_ {r-1}}$ . Výsledná matice ${ displaystyle W}$ je nyní ve formě Weyr.

Krok 12

Nechat ${ displaystyle C = P_ {1} { text {diag}} (I, P_ {2}) cdots { text {diag}} (I, P_ {r-1}) Q_ {1} R_ {1 } Q_ {2} cdots R_ {r-2} Q_ {r-1}}$ . Pak ${ displaystyle W = C ^ {- 1} AC}$ .

Aplikace formuláře Weyr

Níže jsou uvedeny některé známé aplikace Weyrova formuláře:^[3]

Formulář Weyr lze použít ke zjednodušení důkazu Gerstenhaberovy věty, která tvrdí, že subalgebra generovaná dvěma dojíždění ${ displaystyle n krát n}$ matice má rozměr maximálně ${ displaystyle n}$ .
O sadě konečných matic se říká, že jsou přibližně současně diagonalizovatelné, pokud je lze narušit na současně diagonalizovatelné matice. Weyrova forma se používá k prokázání přibližné simultánní diagonalizovatelnosti různých tříd matic. Vlastnost přibližné simultánní diagonalizovatelnosti má uplatnění při studiu fylogenetické invarianty v biomatematika.
Weyrův formulář lze použít ke zjednodušení důkazů o neredukovatelnosti rozmanitosti všech k-tuple dojíždějících složitých matic.

Reference

^ Eduard Weyr (1885). „Répartition des matrices en espèces et creation de toutes les espèces“ (PDF). Comptes Rendus, Paříž. 100: 966–969. Citováno 10. prosince 2013.
^ Eduard Weyr (1890). „Zur Theorie der bilinearen Formen“. Monatshefte für Mathematik und Physik. 1: 163–236.
^ ^A ^b ^C ^d Kevin C. Meara; John Clark; Charles I. Vinsonhaler (2011). Pokročilá témata v lineární algebře: Problémy tkaní matic ve Weyrově formě. Oxford University Press.
^ ^A ^b ^C Kevin C. Meara; John Clark; Charles I. Vinsonhaler (2011). Pokročilá témata v lineární algebře: Problémy tkaní matic ve Weyrově formě. Oxford University Press. 44, 81–82.
^ Shapiro, H. (1999). „Weyrova charakteristika“. Americký matematický měsíčník. 106 (10): 919–929. doi:10.2307/2589746. JSTOR 2589746.
^ Sergeichuk, „Kanonické matice pro problémy lineární matice“, Arxiv: 0709 2485 [math.RT], 2007

[1] Eduard Weyr (1885). „Répartition des matrices en espèces et creation de toutes les espèces“ (PDF). Comptes Rendus, Paříž. 100: 966–969. Citováno 10. prosince 2013.

[2] Eduard Weyr (1890). „Zur Theorie der bilinearen Formen“. Monatshefte für Mathematik und Physik. 1: 163–236.

[Weyr-3] A ^b ^C ^d Kevin C. Meara; John Clark; Charles I. Vinsonhaler (2011). Pokročilá témata v lineární algebře: Problémy tkaní matic ve Weyrově formě. Oxford University Press.

[Weyr44-4] A ^b ^C Kevin C. Meara; John Clark; Charles I. Vinsonhaler (2011). Pokročilá témata v lineární algebře: Problémy tkaní matic ve Weyrově formě. Oxford University Press. 44, 81–82.

[5] Shapiro, H. (1999). „Weyrova charakteristika“. Americký matematický měsíčník. 106 (10): 919–929. doi:10.2307/2589746. JSTOR 2589746.

[sergeichuk-6] Sergeichuk, „Kanonické matice pro problémy lineární matice“, Arxiv: 0709 2485 [math.RT], 2007

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]